книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

В наиболее общей форме изложенные соображения можно сформулировать следующим образом. Представим себе две статически эквивалентные системы сил Si и S2. Для того чтобы установить их* равноценность (равнознач­ ность) для рассматриваемой модели, нужно образовать самоуравновешенную разность St — S2 и выяснить, совер­ шает ли эта разность работу на возможных перемеще­ ниях модели. Если окажется, что возможная работа равна нулю, то системы равнозначны и, следовательно, пол­ ностью обоснована их взаимная замена. В таких случаях при любых выкладках, относящихся к рассматриваемой модели, системы Si и S2 вообще неразличимы. Именно это и можно видеть в приведенном выше решении Кирх­ гофа.

Г л а в а 2

О С О Б Е Н Н О С Т И П Р Е Д Е Л Ь Н Ы Х П Е Р Е Х О Д О

§ 8. О предельных переходах в механике

Предельные переходы в механике представляют собой с п е ц и а л и з а ц и ю , при которой из найденного общего решения выявляются результаты, относящиеся к неким крайним (предельным) частным случаям. Нередко резуль­ таты для предельных задач, как более простых по поста­ новке, получаются независимо от анализа общего случая и заранее известны; тогда предельные переходы могут служить полезным (хотя, возможно, и не радикальным) средством контроля правильности найденных общих ре­ шений.

Языком механики служит математика, и предельные переходы в механике описываются также на этом языке. Однако каждый такой переход — не только «игра» абст­ рактных количеств, но и некоторое, пусть умозрительное, преобразование физических образов: за устремлением не­ которого числа к нулю (или к бесконечности) может скрываться, скажем, переход от упругой опоры к абсо­ лютно жесткой, от вязкоупругой системы к упругой, от стержня с криволинейной осью к стержню с прямой осью, от пластины, имеющей форму правильного многоуголь­ ника, к круглой пластине и т. и. Поэтому естественно, что в рамках механики говорят не только о предельных значениях некоторых величии, но и о предельных меха­ нических образах, а вырожденную механическую си­ стему трактуют как предел для соответствующего общего случая.

Чаще всего предельные переходы вполне ясны по за­ мыслу, просты в смысле выкладок, а в их результатах трудно усмотреть что-либо удивительное. Но бывает и по-иному, когда предельные переходы непросты по своей сути и приводят к неожиданным выводам. Тогда обсуж­ дение переходов может натолкнуть на важные заключе­ ния — вплоть до вывода о непригодности, казалось бы, вполне добротной теории. Таким особенно интересным

случаям посвящены следующие параграфы этой главы;

длина нити (рис. 8.1).

Пользуясь известными способами теории сопротивле­

8i + 3EJlu/(EnFHls)

иизгибающий момепт в защемленном сечении балки

Рассмотрим два предельных перехода. Если нить имеет весьма большую'жесткость, то в выражениях (8.1) и (8.2) можно положить Fя °о. Это приводит к известным ре­ зультатам для балки, правая опора которой абсолютно жесткая в вертикальном направлении,

N = 3^/8, М = дР/8.

Если же пить отсутствует, то в выражениях 4(8.1) и (8.2) достаточно положить Ея==■0; тогда получится

N = 0, M ^qlV 2

— результат, соответствующий, консольной балке.

Даже в этом простом случае имеется одна любопыт­ ная деталь, на которой стоит задержаться. Из выражения (8.1) видно, что с неограниченным уменьшением площади

сечения нити и уменьшением усилия в . ней до нуля напряжение в сечении нити стремится к конечному пределу

жение в ней имеет вполне определенное значение! Однако ничего особенно странного в этом нет. Пред­

ставим себе, что правый конец достаточно жесткой балки подвешен к весьма податливой, скажем, тонкой резино­ вой нити. В этом случае поддерживающее действие нити будет практически неощутимым, т. е. прогиб правого конца балки можно без заметной ошибки вычислять по выражению

/ ~ qV'/(8EJ),

соответствующему консольной балке. Практически той же величине равно и удлинение нити, следовательно, ее относительное удлинение можно определить по выраже­

возникнуть неопределенность; как правило, она легко раскрывается. Примером может служить предельный пе­

Пусть для простоты рассматривается стержень с прямо­ угольным сечением размерами b и /г; если М — заданный изгибающий момент, г — радиус кривизны оси центров тя­ жести сечепий, то для наибольшего нормального напря­ жения в теории сопротивления материалов устанавлива­ ется выражение

Выражение (8.4) соответствует приближенной теории Винклера*) (1867 г.), которая поныне излагается во всех учебниках сопротивления материалов. В основе этой теории лежит предположение о том, что продольные во­ локна испытывают одноосное растяжение или сжатие; взаимное надавливание волокон в этой теории не учиты­ вается.

Естественно ожидать, что при неограниченном увели­ чении . радиуса г записанное выражение перейдет в вы­ ражение, соответствующее стержню с прямой осью. Хотя в данном случае подстановка г-*®° сначала приводит к неопределенности в выражениях (8.4) и (8.5), но эта неопределенность немедленно раскрывается после заме­ ны в (8.5) натурального логарифма двумя выписанными членами разложения

что решение непредставимо в замкнутой форме и запи­ сывается, например, через бесконечные ряды* из-за этого переход к предельному случаю в аналитическом виде может оказаться затруднительным. Однако и в этой си­ туации полезно* внимательно рассмотреть результаты вы­ числений для частных случаев, чтобы судить о том, достаточно ли естественно ведет себя решение при по­ степенном приближении к ранее изученному предельному случаю.

Обратимся к примеру. О. М. Сапонджяну. принадле­ жит решение задачи об изгибе защемленной по контуру пластины, имеющей форму правильного ^-угольника, под действием равномерно распределенной нагрузки [53].

*) Э. Винклер (1835—1888)— профессор теории сооружений и мостов в Дрездене, Праге, Вене и Берлине. Автор технической тео­ рии изгиба стержня с круговой осью, ряда работ по расчету балок на упругом основании, неразрезных балок и арок.

Для прогиба цептра пластины найдено следующее выражение:

^шах — ОЬдЯD_4 ’

в котором q интенсивность нагрузки, R — радиус опи-

от числа сторон многоугольника к, как это видно из сле­ дующей таблицы:

а0,00151 0,00507 0,00798 0,0100 0,01230

Последовательность точек, показанных на рис. 8.2 в осях А, а, наглядно показывает, что с увеличением к коэффициент а плавно и закономерно приближается к

ос= 0,01563

0Д5-

0,010-

Рис. 8.2. С увеличением числа сторон пластины, имеющей форму правильного многоугольника, прогиб центра стремится к значению, соответствующему круглой пластине

ранее известному и независимо найденпому значению 0,01563 для круглой пластины; ее естественно рассмат­ ривать как предел, к которому стремится fc-угольная пла-г стина при к о о.

Впрочем, в подобных случаях нужен более тщатель­ ный анализ всех обстоятельств предельного перехода и, в частности, проверка того, что граничные условия в об-' щем случае и в предельном случае — одни и те же. Для рассматриваемой здесь жестко защемленной /с-угольной пластины при любом к в каждой точке контура выпол­ няются условия

(ш —- прогиб, п — направление нормали к контуру). Поскольку условия на контуре жестко защемленной круг­ лой пластины — те же самые, то в данном случае нет оснований сомневаться в том, что решение для /с-уголь- ной пластины при к -+■ °о должно перейти в решение для круглой пластины, как об этом и свидетельствует рис. 8.2.

Хотя в каждом из рассмотренных выше случаев можно найти заслуживающие внимания детали, но никаких па­ радоксов принципиального характера мы пока не встре­ тили. Однако в действительности бывают и такие случаи, когда при предельных переходах обнаруживаются серьез­ ные и заранее непредугадываемые особенности. Этому посвящены последующие параграфы настоящей главы.

§ 9. Предельный переход в одной схеме поперечного изгиба балок

Для балки, показанной на рис. 9.1, а, согласно техни­ ческой теории изгиба можно найти прогиб точки С в виде

Здесь Р — значение силы, приложенной к концу, I — рас­ стояние между опорой А д точкой С, а — абсцисса опо­ ры 2?, Е — модуль упругости материала, / — момент инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси. Выражение (9.1) справедливо и в случае, когда опора В находится левее опоры А (а < 0). Коэффициент жесткости балки (с = P/f) определяется выражением

ж существенно зависит от абсциссы опоры а. Считая

величины EJ и I заданными, рассмотрим зависимость ко­ эффициента жесткости с от величины а (рис. 9.1,6).

Естественно, что при all — 1, когда^правая опора на­ ходится под силой Р, прогиб равен нулю и коэффициент жесткости оказывается бесконечно большим. Неудиви­ тельно и то, что с уменьшением а коэффициент жесткости постепенно уменьшается. Но, совсем странно, почему при

Рис. 9.1. Балка с копсолью: а) схема нагружения; б) зависимость коэффициента жесткости от расстояния между опорами (без учета сдвигов)

а 0 коэффициент жесткости оказывается отличным от нуля — ведь в этом предельном случае, когда обе опоры точно совпадают, система становится геометрически из­ меняемой и ее жесткость должна быть равна пулю. Под­ чиняясь очевидности, мы должны отказаться от соотно­

углы наклона касательных в пределах этого участка малы (рис. 9.2). Получается, что названный участок длиной а

случае именно это следует из технической теории изгиба. Но чем меньше я, тем большими становятся опорные реакции, а вместе с этим возрастают и поперечные силы

при весьма малых зпачениях all (рис. 9.3). Как и долж­ но быть, с* стремится к нулю при неограниченном убы­ вании а.

Здесь ясно видно, что учет сдвигов принципиально исправляет кривую изменения коэффициента жесткости

c*L3

Рис. 9.3. Зависимость коэффициента жесткости от расстояния меж­ ду опорами балки (с учетом сдвигов)

и вместе с тем устраняет неясности, возникающие в пре­ дельном переходе в рамках технической теории.

Разобранный случай напоминает о хорошо известном правиле: если результаты предельного перехода абсурд­

только этим, в общем, довольно банальным заключением. В нашем примере отчетливо видно и другое — теория, правильность которой оказалась под сомнением в резуль­ тате предельного перехода, будучи «локально неверной», с практической точки зрения может оказаться «глобаль­

кие случаи могут иметь практическое значение.) Коротко говоря, обнаружив при предельном переходе, что контро­ лируемая теория неверна, и построив уточненную тео­ рию, всегда полезно сделать еще один шаг, а именно оценить рамки, в которых действительно необходима замена одной теории другой; часто эти рамки оказыва­ ются довольно узкими.

§ 10. Парадокс Сапонджяна

Бывает так, что результаты предельного перехода удивляют нас — но только в первую минуту; затем, вдумавшись в нестандартную ситуацию, мы начинаем понимать, что они вполне естественны.