книги / Механика деформируемого твердого тела.-1

Отсюда следует характеристическое уравнение

(Я2 + к2 —со2)2 + (2оЛ)2 = 0,

ний певращающегося вала к). Полученный вывод спра­

может служить признаком устойчивости состояния отно­ сительного покоя при в с е х угловых скоростях со Ф к.

Мы пишем несколько уклончиво «может служить» по­ тому, что случай, когда корни характеристического урав­ нения чисто мнимые, относится к числу сомнительных — неизвестно, во что превратятся чисто мнимые корни при учете дополнительных факторов (в частности, трения); если корни станут комплексными, то устойчивость опре­ делится знаками вещественных частей, а предвидеть эти знаки в рамках упрощенного анализа невозможно. (По этому поводу см. § 18.)

В заключение остановимся (сознательно немного по­ вторяясь) па двух обстоятельствах.

1. Описанная выше ошибка в оценке устойчивости возникла из-âa неправильного «усечения» числа степеней свободы системы при анализе возмущенного движения: из того, что в стационарном режиме т)^ = 0, вовсе не сле­ дует, что можно принять 0г( = 0 в возмущенном дви­ жении.

Вообще рискованно анализировать устойчивость ме­ ханической системы, не выходя за рамки описания соб­ ственно стационарного режима*. Приведем простой при­ мер, относящийся к системе с одной степенью свободы. Известно, что амплитуда установившихся вынужденных колебаний линейной системы определяется выражением

частота, со— частота возбуждения, п — коэффициент вяз­ кого трения.

Обратим внимание на любопытную, обычпо незаме­ чаемую (во всяком случае — неотмечаемую) особенность выражения (30.12) — оно остается неизменным при из­ менении знака п па обратный. Получается, что амплиту­ да вынужденных колебании не зависит. от знака силы трения, т. е. от того, направлена ли сила трения против направления скорости (как в обычных случаях) или по направлению скорости («отрицательное» трение). Хотя мы ясно понимаем, что от такой перемены должны корен­ ным образом измениться свойства механической системы, но было бы тщетным обнаружить это изменение, рассмат­ ривая только само выражение (30.12).

Парадокс немедленно разъясняется, как только мы вспомним, что выражение (30.12) описывает амплитуду «чисто вынужденных» колебаний, представляющих собой

возрастающие колебания; именно в этом отразится заме­ на обычного трения «отрицательным». После такой заме­ ны само состояпне равновесия системы становится не­ устойчивым, и невозможно говорить об ее установивших­ ся колебаниях около этого состояния.

2. Как оказалось, простой перёход от неподвижной си­ стемы' отсчета к подвижной привел к тому, что неавто­ номная механическая система приобрела свойства авто­ номности.

Здесь вообще нужно отметить, что о многовариантно­ сти выбора систем отсчета (и координатных систем) ча­ ще всего говорят только в связи с соображениями удоб­ ства и простоты соответствующих выкладок; редко отме­ чается, что при переходе от одной системы к другой мо­ гут измениться оценки таких, казалось бы, фундамен­ тальных свойств, пак автономность или неавтопомность механического объекта. Как видно, это свойство вовсе не абсолютно — оно относится не к рассматриваемому меха­ ническому объекту, а скорее к его описанию в той или ипой системе отсчета.

Попутно скажем, что то же относится и к понятию устойчивости — в зависимости от принятого описания

движения, . т. е. от выбора координатной системы, могут измениться оценки устойчивости движения рассматрива­ емой механической системы. Это обстоятельство, как правило, не упоминается в технической литературе, но учитывается в более строгих сочинениях, где предпочи­ тают говорить об устойчивости решений дифференциаль­ ных уравнений, а не об устойчивости соответствующих механических объектов. Приведем цитату из знаменитой книги А. М. Ляпунова*) [30]: «Если материальная точ­ ка, притягиваемая неподвижным центром обратно про­ порционально квадрату расстояния, описывает круговую траекторию, то движение ее по отношению к радиусувектору, проведенному из центра притяжения, а также по. отношению к ее скорости устойчиво. То же движение по отношению к Прямоугольным координатам неустойчиво.

Если же рассматриваемая точка описывает эллипти­ ческую траекторию, то движение* ее неустойчиво не толь­ ко по отношению к прямоугольным координатам, но и п@ отношению к радиусу-вектору и скорости. Но оно устой­ чиво, например, по отношению к величине

1+ ecos ф’

где р н е — параметр и эксцентриситет эллипса, описы­ ваемого точкой в невозмущеином движении, а г и ф — ра­

связи с изменением координатной системы. Например, для рассматриваемых в этой главе задач о вращающихся валах* оценки устойчивости не зависят от выбора коорди­ натной системы (сравните результаты, полученные в § 29 и в настоящем параграфе).

Добавим к сказанному, что такие свойства, как кон­ сервативность и линейность, в- некотором смысле также не абсолютны и могут меняться при преобразованиях ко­

*) Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918) — русский ма­ тематик и механик, академик Петербургской академии наук (с 1901 г.). Создал современную теорию устойчивости равновесия

идвижения механических систем. Труды А. М. Ляпунова относят­ ся также к теории дифференциальных уравнений, гидродинамике

итеории вероятностей.

ординат — преобразованиях, в одних случаях явно содер­ жащих время, и нелинейных — в других случаях. Впро­ чем, эти вопросы далеко выходят' за рамки нашей темы, и больше на них мы задерживаться не будем.

§ 3 1 . С а м о у р а в н о в е п ш в а н и е р о то р о в и р о т о р н ы х с и с те м

Конечно, тенденция к самоцентрированию неуравно­ вешенного ротора, обнаруживаемая при неограниченном возрастании угловой скорости, способствует снижению

вала и динамические давления на подшипники к нулю не стремятся.

Лучшие результаты могут быть достигнуты с помощью

автоматических балансировщиков (автобалансиров) — весьма остроумных и в то же время не слишком сложных дополнительных устройств, автоматически обеспечиваю­ щих уравновешивание несбалансированного диска при различных, заранее нефиксированных величинах дебалан­ са и любых угловых скоростях, превосходящих крити­ ческое значение. Благодаря этому уравновешиванию при любых значениях угловой скорости вал остается неизог­ нутым, а динамические давления на подшипники отсут­ ствуют. В этом состоит выгодное отличие самоуравновешивания от самоцентрирования.

Один из вариантов автоматического балансировщика показан на рис. 31.1, а. Балансировщиками служат до­ полнительно введенные в модель Феппля два маятника, которые могут свободно вращаться на том же валу. Мы знаем, что при отсутствии маятников в принципе су­ ществуют две различные равновесные конфигурации (см. рис. 31.1,6 и 31.1, в); в каждой из них характерные тоЯки системы О (след линии подшипников), М (центр сечения вала) и С (центр тяжести диска) располагаются на одной вращающейся прямой. При каждом заданном значении угловой скорости со существует только одна из этих конфигураций, а именно показанная на рис. 31, б при со < со,ф, и конфигурация 31.1, в — при со > сокр.

Очевидно, что относительное равновесие системы с ма­ ятниками также возможно, если оси маятников направ­ лены вдоль той же прямой; это приводит к четырем вариантам взаимного расположения характерных точек. Варианты г и д возникают из схемы, данной на

в *

Рис. 31.1.' а) Схема автобалансировщика; б) первая равновесная конфигурация для модели Феппля; в) вторая равновесная конфи­ гурация для модели Феппля; г) и д) первая пара равновесных конфигураций для системы с автобалансировщиком; е) и ж) вторая пара равновесных конфигураций для системы с автобалансировщи­ ком; з) конфигурация, соответствующая полному уравновешива­

нию ротора

рис. 31.1, б, и различаются относительным расположени­ ем центров тяжести маятников — точек Z), D; тем же различаются варианты е й ж, соответствующие схеме, показанной на рис. 31.1, в.

Однако, кроме указанных четырех вариантов, .возмо­ жен еще один, пятый вариант, соответствующий полной балансировке вала, когда центр сечения вала. М совпа­ дает с точкой О, т. е. располагается на линии подшип­

сила, развиваемая диском, уравновешивается центробеж­ ными силами маятников; угол между осями маятников у определяется из условия равновесия названных центро­ бежных сил, т. е. зависит от заданного эксцентриситета е. Необходимым условием осуществления рассматриваемого варианта служит очевидное неравенство 2т^1^> те, в ко­ тором I — длина маятника, т%— его масса, т — масса диска. При нарушении этого неравенства центробежные силы, развиваемые маятниками, окажутся недостаточны­ ми для уравновешивания центробежной силы диска.

Хотя каждому из перечисленных вариантов соответ­ ствует состояние относительного равновесия, но не все эти состояния устойчивы. Теоретический анализ и экспе­ рименты показывают, что если 2т*1>те, то при со > сокр устойчив только вариант з, т. е. в закритической области система двух маятников служит автоматическим устрой­ ством, которое удерживает ось вала от изгиба. Если Эк­ сцентриситет е по какой-либо причине увеличивается, то маятники сходятся ближе и угол у уменьшается — на­ столько, насколько это нужно для уравновешивания воз­

рис. 31.1, а. Так как при этом центробежные силы маят­ ников направлены в ту же сторону, что и центробежная сила диска, т. е. увеличивают прогиб вала, то при реаль­ ном конструировании роторов с автоматическими балан­ сировщиками нужны специальные меры по «выключе­ нию» маятников в докритической области, где они при­ носят не пользу, а вред:

На рис. 31.2 показана схема автоматического балан­ сировщика, применяемого в некоторых конструкциях сти­ ральных машин (для таких машин типична неопределен­ ность расположения центра тяжести загрузки бака, а следовательно, и эксцентриситета). Здесь маятниками

лы колец относительно малы и кольца лежат на дне кожуха, т. е. балансировщик в ы к л ю ч е н . Поверхность

днища. кожуха профилируется таким образом, чтобы при é = о>кр центробежные силы колец' оказались достаточны­ ми для «всплытия» колец и произошло в к л ю ч е н и е балансировщика. В некоторых конструкциях шлифоваль­ ных станков автоматическая балансировка обеспечивается не кольцами, а шарами, так­ же заключенными в специ­ альный кожух.

Самоуравновешивание ро­ тора с автоматическим ба­ лансировщиком, так же как и самоцентрирование ротора, не снабженного таким уст­ ройством,— эффекты, выра­ жающие некое общее свой­ ство роторных систем, ' а именно их способность к «саморазгрузке» при доста­ точно высоких частотах воз­ буждения, превосходящих собственную частоту системы.

Эффект того же типа об­ наруживается в системе двух роторов, показанных на

рис. 31.3. Ее основой служит упругозак|>епленная плат­ форма, способная перемещаться в горизонтальном на­ правлении. На платформе установлены два одинаковых неуравновешенных ротора, которые приводятся во вра­ щение с одинаковыми угловыми ешь

Если угловая скорость со меньше собственной частоты платформы, то разность фаз постепенно приближается к нулю и в пределе возникает синфазный режим вращения, которому соответствует удвоение вынуждающей силы. Если же величина со превосходит собственную частоту платформы, то устанавливается разность фаз, равная я, т. е. роторы вращаются в противофазе, как это показа­ но на рисунке. При этом происходит взаимная компенса­ ция горизонтальных проекций обеих вынуждающих сил и платформа находится в покое, не испытывая внешнего возбуждения.

Понятно, что если платформа имеет больше чем одну степень свободы, то два ротора с несовпадающими осями не могут оказаться в режиме самоуравновешенности. Однако такой режим может установиться, например, при четырех одинаковых роторах, установленных на упругозакрепленной платформе, способной совершать плоскопа­ раллельное движение. В данном случае платформа обла­ дает тремя степенями свободы и соответственно тремя собственными частотами к{ < к 2< к 3; режим с самоуравновешиванием устойчив только при со > к3. В других случаях устанавливаются опасные синфазные режимы с удвоением (или учетверением) вынуждающей силы

вольно неочевидных свойств многороторных систем, ког­ да от типа устойчивой взаимной фазировки зависит ре­ зультат сложения нескольких вынуждающих сил.

Описанпые выше и многие родственные им эффекты установлены с помощью строгого теоретического анализа* надежно подкрепленного модельными и натурными эк­ спериментами. В настоящее время эти эффекты целена­ правленно используются при конструировании многих машин. Основополагающие работы в этой области при­ надлежат И. И. Блехману (см. книги [9, 10]).

Мы не будем углубляться в теорию, но отметим пред­ ложенный в работе [8] своеобразный и эффективный спо­ соб выявления устойчивых режимов. Способ опирается па то обстоятельство, что при некоторых условиях (в ча­ стности, если угловая скорость со достаточно отличается от каждой из собственных частот) устойчивым стацио­ нарным режимам соответствует минимум средней за пе­ риод 2л/со разности кинетической и потенциальной энер­