2781.Всеобщее Управление Качеством

Так как эти значения при измерении пробивного напряжения 160 струк­ тур не наблюдались, то их частоты равны нулю. То же самое справедливо для числа 210, замыкающего упорядоченный ряд. Если воспользоваться третьим способом, то получим интервальный ряд распределения с числом классов к = 12 и шириной класса, равной 2,9 В. Такой ряд приведен в табл. 3.5.

Удобно представлять статистический материал числовыми значениями, которые до некоторой степени отражают существенные характеристики ста­ тистического ряда — характеристики положения и рассеивания случайной вели­ чины.

Важнейшей характеристикой положения случайной величины является средняя арифметическая величина наблюдаемых значений (или просто средняя), которую для характеристики выборки называют выборочной средней арифме­

тической и обозначают через х . Если в результате п измерений получены зна­ чения х,, х2,... хп, то

/ = 1

* = 905/5 = 181 В.

В случае статистического ряда (когда значению параметра соответствует какая-либо частота) средняя арифметическая

В этом случае среднюю называют средней взвешенной.

Пример 2. Для упорядоченного ряда, приведенного в табл. 3.3, число интервалов к = 32:

х = (1/160) (179-1+180-1+...+209-2+2HM) = 31196/160 = 194,975 В.

Аналогично вычисляется средняя арифметическая интервального ряда табл. 3.5, с той только разницей, что в качестве значения параметра следует принимать середины интервалов:

х = (1/160) (178* 1+181 •3+...+208-5+211-1) = 31192/160 = 194,95 В.

Вследствие различной ширины интервалов рассматриваемых рядов обе средние частично не совпадают.

Следует подчеркнуть, что средняя только в том случае является обобща­ ющей характеристикой, когда она применяется к однородной совокупности статистического материала.

Кроме важнейшей характеристики положения — средней — при анализе и контроле процесса приходится встречаться и с другими характеристиками положения, в частности медианой и модой случайной величины.

Если полученные при измерениях значения расположить в возрастаю­ щем или убывающем порядке, то медианой будет значение Me, занимающее серединное значение в ряду. Таким образом, медиана — это значение парамет­ ра, которое делит упорядоченный ряд на две равные по объему группы. При нечет­ ном числе измерений, т.е. при п = 2/+1, значение параметра для случая /+1 будет медианным. При четном числе измерений (20 медианой является сред­ няя арифметическая двух значений, расположенных в середине ряда.

Таким образом, формулы для вычисления медианы имеют следующий

Пример 3. Возьмем из табл. 3.4 пять первых значений пробивного напряжения (х, = 179, = 180, Xj * 181, х4 = 182, х3 = 183), т.е. нечетное число измерений, расположенных в возрастаю­ щем порядке. Находим медиану: (2/+1) = 5, откуда 2/ = 4, / = 2. По формуле (3.5) получим

Me = xl+l » Xj+| = Xj = 181 В.

Если из табл. 3.3 взять только четыре первых значения пробивного напряжения (х, = 179, х, = 180,

х, = 181, х4 = 182), т.е. четное число измерений, то 2/ = 4, / = 2. По формуле (3.6) Me = (х, + хж)/2 = (х, + х,)/2 = (180 + 181)/2 = 180,5 В.

Значение медианы легко определяется графически с помощью куму­ лятивной кривой. Так как по оси ординат отложены накопленные частоты, то, разделив отрезок ординаты, соответствующий 100 % наблю дений, по­ полам и восстановив из его середины перпендикуляр, получим медиану геометрически как абсциссу точки пересечения перпендикуляра с кумуля­ тивной кривой.

Модой случайной величины называется ее значение, которое наиболее часто встречается в данном ряду. Условимся обозначать моду через Мо. Для дискрет­ ного ряда мода определяется по частотам наблюдаемых значений контролиру­ емого параметра качества и соответствует значению параметра с наибольшей частотой. Так, на рис. 3.1 модальное значение совпадает со средним значением

случайной величины х .

При непрерывном распределении с равными интервалами модальный (т.е. содержащий моду) интервал определяется по наибольшей частоте, при неравных интервалах — по наибольшей плотности. Плотность вычисляется как отношение частоты к продолжительности интервала.

Средние величины, характеризуя однородную совокупность одним чис­ лом, не учитывают рассеивание наблюдаемых значений параметра качества. Для отображения рассеивания в математической статистике применяют ряд характеристик. Самой простой из них является размах R. Размах представляет собой величину неустойчивую, зависящую от случайных обстоятельств и по­ этому применяемую, как правило, в качестве приблизительной оценки рассе­ ивания. Однако размах бывает очень удобно применять в контрольных картах. Он сравнительно легко вычисляется как разность между наибольшим и наи­

Другая статистическая характеристика рассеивания наблюдаемых значе­ ний показывает, как тесно группируются отдельные значения вокруг средней арифметической или как они рассеиваются вокруг этой средней. Так как алгеб­ раическая сумма отклонения отдельных значений xt от средней арифметичес­

кой х равна нулю и непригодна в качестве меры рассеивания, за меру рассе­ ивания принимают сумму квадратов отклонений отдельных значений от сред­ ней арифметической, деленную на число наблюдений, уменьшенное на еди­ ницу. Эту меру называют выборочной дисперсией и обозначают через i2. Для про­ стой статистической совокупностиI

~\2

I ( X j - х )

(3.8)

л - 1

Рассмотрим случайную величину X, которая может принимать дискрет­ ные значения xv х2, х3,..., х.,..., хп с соответствующими вероятностями pv р2, р3,..., рп..., рп их попадания в выборку, сделанную из бесконечного множества значений X. Нам требуется охарактеризовать каким-то числом положение зна­ чений случайной величины на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различные вероятности появления их затем в выборке. Для этой цели воспользуемся формулой для средней взвешенной, где каждое значение х. при усреднении должно учитываться с “весом”, пропорциональным вероятности этого значения. Тогда генеральное среднее арифметическое значение случайной величины X, которое обозначим М(х), может быть подсчитано по формуле

п

или, учитывая, что £ р.= 1, / = 1

Вычисленная на основании формул (3.3) и (3.4), выборочная средняя всегда будет содержать элемент случайности, в то время как математическое ожидание, представляющее среднее значение случайной величины в генераль­ ной совокупности, является величиной постоянной для данной генеральной совокупности. При большом количестве наблюдаемых значений выборочная средняя приближается к математическому ожиданию.

Дисперсию случайной величины X в генеральной совокупности, которую будем обозначать через а 2 , подсчитывают по следующим формулам:

если значения х. в генеральной совокупности не повторяются,

если значения х. повторяются,

к

где п = £ т .

/ = 1 '

Чаще на практике вместо дисперсии применяют стандартное откло­ нение ст(х), которое вычисляется как корень квадратный из (3.14) или (3.15). И менно стандартное отклонение ст приведено в качестве характери­ стики рассеяния на рис. 3.1.

Важнейшим этапом, предшествующим принятию решения при управле­ нии процессом, является определение закона распределения исследуемой слу­ чайной величины по выборочным данным. Процедура проверки соответствия предполагаемого исследователем экспериментального закона распределения на основании выборочных данных теоретическому закону в настоящее время хо­ рошо отработана [8], и поэтому мы не будем его рассматривать. В то же время следует остановиться на одном законе распределения, который сравнительно часто встречается на практике, — это гауссовский закон распределения. Именно гауссовское распределение приведено на рис. 3.3.

Ш ирокое распространение гауссовского закона распределения находит теоретическое объяснение в центральной предельной теореме, смысл которой заключается в следующем. Предположим, что параметр качества Уисследуемо­ го объекта зависит от к действующих на него независимых между собой (или слабо зависящих) факторов Хх, Х2, Xv ..., Хк, образующих в каждый фиксиро­ ванный момент времени совокупность п случайных независимых (или слабо зависимых) случайных величин х,, х2, х3,..., хл, одновременно воздействую­ щих на качество процесса. Если число этих независимых случайных величин велико (приближается в пределе к бесконечности) и среди них отсутствуют случайные величины с резко отличающимися от других случайных величин средними квадратическими отклонениями (или, как говорят в этом случае, отсутствуют превалирующие факторы), то в соответствии с центральной пре­ дельной теоремой распределение значений параметра качества будет стре­ миться к гауссовскому закону. При этом каждая из воздействующих на каче­ ство объекта случайных величин может подчиняться каким угодно законам распределения. Таким образом, существует три условия центральной предель­ ной теоремы:

•случайные величины должны быть независимыми (или слабо зависимыми); их число должно стремиться к бесконечности;

•среди случайных величин должны отсутствовать превалирующие.

Рис. 3.3. Кривая распределения случайной величины, подчиняющаяся гауссовскому закону

Можно утверждать, что если процесс отлажен и контролируем, то рас­ пределение значений параметра качества на каждой операции будет близко к гауссовскому. Особенно часто встречается гауссовский закон при измерениях. Такие случайные величины, как ошибки измерений, могут быть представлены как сумма большого числа сравнительно малых слагаемых — элементарных ошибок, каждая из которых вызвана действием отдельной величины, не зави­ сящей от остальных. Каким бы законам распределения не были подчинены отдельные элементарные ошибки, особенности этих распределений в сумме большого числа слагаемых нивелируются и сумма оказывается подчиненной закону, близкому к гауссовскому. Основное ограничение, налагаемое на сум­ мируемые ошибки, состоит в том, чтобы все они в общей сумме равномерно играли относительно малую роль, т.е. должно выполняться третье условие цен­ тральной предельной теоремы. Если это условие не выполняется и, например, одна из случайных ошибок окажется по своему влиянию на сумму слагаемых ошибок резко превалирующей над всеми другими, то закон распределения этой превалирующей ошибки повлияет на сумму и определит в основных чертах ее закон распределения.

Гауссовский закон распределения характеризуется плотностью веро­ ятности

Для определенного распределения М(х) и а — величины постоянные. Они являются параметрами гауссовского распределения. Графически функция (3.16) представлена на рис. 3.3. Поясним с помощью этого рисунка физичес­ кий смысл плотности вероятности Дх). Предположим, что случайная величина х представляет собой время работы изделия до отказа (время безотказной рабо­ ты). Зададимся вполне определенным значением времени отказа изделия, рав­ ным а, и поставим вопрос следующим образом: какова вероятность того, что данное изделие откажет именно в момент времени х= а? Поставленный таким образом вопрос является некорректным в теории вероятностей. И поэтому от­ вет будет однозначным: вероятность того, что отказ произойдет в определенный момент времени х = а, равна нулю. Если же вблизи а взять малый интервал АХ, то вероятность того, что случайная величина х попадет в этой интервал,

При малых АХ правая часть уравнения (3.17) представляет собой площадь пря­ моугольника со сторонами Да) и АХ. Если обе части уравнения (3.17) разде­ лить на АХ, то получим вероятность, приходящуюся на единицу длины, т.е. плотность вероятности (аналогично тому, что плотность — это масса на едини­ цу объема):

В этом и заключается физический смысл плотности вероятности.