Решение
Определим
направление углового ускорения и момента
силы
,
применяя правило правого винта. Если
смотреть с конца вектора
,
вращение будет происходить против
часовой стрелки. Момент сил трения будет
тормозить вращение, значит, будет
направлен против вращающего момента
вдоль оси вращения. Угловое ускорение
будет направлено в сторону главного
момента всех сил, т.е. в сторону
алгебраической суммы моментов
и
.
Тогда можно записать основной закон
динамики вращательного движения так:
М Мтр = J,
где М = FR.
Момент
инерции диска (сплошной цилиндр) J
равен
Получаем
=
,
откуда
.
Подставляя численные значения, получаем
=
7,5 кг.
Ответ: масса диска m = 7,5 кг.
Задача 6. Две гири массой = 2 кг и = 1 кг связаны нитью, перекинутой через блок. Радиус блока R = 0,1 м, масса m = 1 кг. Найти ускорение, с которым движутся грузы и силы натяжения нитей Т1 и Т2. Нить нерастяжима и невесома. Блок – однородный цилиндр (рис. 2.10).
Д
ано:
= 2 кг
= 1кг
m =1 кг
R = 0,1 м
а - ?, Т1 -?, Т2 - ?
Рис. 2.10
Решение
На грузы действуют силы
и
и
На
блок действуют силы натяжения нити
и
которые
равны соответственно
и
по третьему закону Ньютона. Ускорения
грузов одинаковы, т.к. нить невесома и
нерастяжима.
Силы
и
создают
момент силы
и
,
направленные вдоль оси блока в
противоположные стороны:
.
2) Составим систему уравнений для грузов и блоков:
3) Силы и моменты сил для каждого тела коллинеарные, следовательно, можно переписать уравнение в скалярной форме:
Решим полученную систему уравнений, учитывая, что
Подставим эти выражения в уравнение (3):
т.е.
Просуммируем первые два уравнения системы:
Тогда
или
откуда
= 2,8
.
Из уравнения (1)
Н.
Из уравнения (2)
Ответ: а = 2,8 ; Т1 = 14 Н; Т2 = 12,6 Н.
Задача 7. С наклонной плоскости без скольжения скатывается однородное тело. Найти ускорение тела и силу трения, если угол наклона плоскости к горизонту 300. Масса тела 0,8 кг, тело – обруч (рис. 2.11).
Д
ано:
m = 0,8 кг
= 300
J
= m
а - ? Fтр - ?
Рис. 2.11
Решение
1)
Ускорение точки обода равно ускорению центра масс, т.к. движение происходит без скольжения.
В проекциях на оси координат:
Решаем систему уравнений. Из уравнения (2)
Fтр = m a.
Тогда
mg sin m a = m a; mg sin = 2 m a.
a
=
.
Fтр = m a; Fтр = 0,8 . 2,5 = 2 H.
Ответ: а = 2,5 ; Fтр = 2 H.