Решение

В течение всего времени, пока камень движется, его движение совершается по одному и тому же закону. Действительно, ускорение камня равное ускорению свободного падения, если пренебречь сопротивлением воздуха, все время остается неизменным, следовательно, движение камня является равнопеременным движением с отличной от нуля начальной скоростью. Закон движения не меняется в тот момент, когда скорость изменяет свое направление на противоположное первоначальному.

Движение камня проходит по закону

(1.16)

его скорость

(1.17)

Знаки начальной скорости и ускорения и численное значение определяются выбором положительного направления оси и начала отсчета.

Рассмотрим эту задачу в трех случаях.

1 ) Ось OY направлена вверх, начало отсчета помещается на уровне земли (рис. 1.5) Тогда при .

Уравнения (1.16) и (1.17) примут вид

при t = τ, y = -h

2) Ось OY направлена вниз, начало отсчета на

уровне земли (рис 1.5). Тогда при .

Уравнения имеют вид

при t = τ y = + h

3) Ось OY направлена вверх, начало отсчета на уровне дна колодца (рис. 1.6). Тогда при

Уравнение движения имеет вид

при t = τ, y = 0, тогда

Все три варианта дают одинаковые уравнения движения при t = τ

Для определения решим квадратное уравнение

Корень его не учитываем, так как он не имеет физического смысла.

а) Можно найти максимальную высоту подъема камня, исходя из того, что дискриминант

Тогда а максимальное значение

м;

б) Найти время, по истечении которого камень находится в любой промежуточной точке своего пути.

При , имеет два значения, так как в каждой точке камень бывает дважды за время движения.

Задача 5. Найти максимальную высоту подъема и дальность полета снаряда, выпущенного со скоростью 200 м/с под углом 45⁰ к горизонту. Через какое время ( ) снаряд окажется на высоте 40 м?

Дано: Решение

= 200 м/с Выполним чертеж (рис. 1.7).

 = 45⁰

g = 9,8 м/с²

h = 40 м

Н_т - ? S_m - ?

- ?

Снаряд участвует в двух движениях: равномерном движении вдоль оси ox со скоростью и равнопеременном вдоль оси oy с начальной скоростью .

Уравнения движения снаряда: , ( = 0, по горизонтали);

, ( = 0, по вертикали).

Следовательно,

.

Так как а ,

(1.18)

где t – время движения снаряда до падения;

, (1.19)

где t_в – время взлета снаряда.

Найдем время взлета снаряда.

Очевидно, что время взлета равно времени падения, т.е. .

Так как вдоль оси OY движение равнопеременное, то в верхней точке траектории проекция скорости на ось OY равна нулю, следовательно, .

Откуда

.

Подставим время взлета во второе равенство:

;

; м.

Определим дальность полета, для этого общее время движения подставим в равенство (1.18):

.

м.

Чтобы ответить, когда тело окажется на высоте h, запишем уравнение движения тела вдоль оси OY:

.

Решим это уравнение относительно t:

;

;

;

,

где t₁ – время взлета тела на высоту h; t₂ – время, когда тело вновь оказалось на высоте h, уже начав спускаться после прохождения максимальной высоты подъема.

с;

с.

Ответ: Н_т = 1020 м; S_т = 16327 м; t₁ = 0,3 с; t₂ = 29 с.

Задача 6. Тело вращается вокруг неподвижной оси по закону φ = 10 + 20 t – 2 t² рад. Найти: 1) Угловую скорость, угловое ускорение и полное ускорение точки, находящейся на расстоянии R = 0,1 м от оси вращения, для момента времени = 4 с (рис. 1.8). 2) Через сколько времени тело остановится? 3) Сколько оборотов сделает до остановки?

Дано: φ = 10 + 20 t –2 t2, рад R = 0,1 м = 4 c  = 0	Рис. 1.8
- ? ε - ? a -? t - ? N - ?