Занятие 7 закон кулона. Теорема остроградского – гаусса Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. Дайте определение, назовите основные свойства и единицу измерения электростатического заряда.

2. Сформулируйте и запишите закон сохранения заряда.

3. Сформулируйте и запишите закон Кулона.

4. Что называется электростатическим полем? Каковы его характеристики?

5. Что называется напряженностью? От чего зависит величина напряженности? Какова единица измерения напряженности в СИ?

6. Сформулируйте и поясните принцип суперпозиции электростатических полей.

7. Напишите выражение, устанавливающее связь между вектором электрического смещения и вектором напряженности. В чем измеряется электрическое смещение в СИ?

8. Дайте определение потока электрического смещения, назовите единицу измерения в СИ.

9. Сформулируйте теорему Остроградского – Гаусса.

10. Напишите выражения для вычисления напряженности электростатических полей:

• точечного заряда (заряженной сферы);

• заряженной нити (длинного цилиндра);

• заряженной плоскости.

Краткие теоретические сведения и основные формулы

Электрический заряд – физическая величина, определяющая интенсивность электромагнитного взаимодействия заряженных частиц. Единица электрического заряда в СИ – кулон (Кл). 1 Кл – электрический заряд, проходящий через поперечное сечение проводника при токе силой 1 А за время 1 с,

q = I t. (7.1)

Опытным путём американский физик Р. Милликен установил, что электрический заряд дискретен, т.е. заряд любого тела составляет целое кратное от элементарного электрического заряда е (е = 1,6 ^.10^-19 Кл). Электрон (m_e = 9,11 кг) и протон (m_p = 1,67 кг) являются соответственно носителями элементарных отрицательного и положительного зарядов.

Из обобщения опытных данных был установлен фундаментальный закон природы, впервые сформулированный английским физиком М. Фарадеем, закон сохранения заряда: алгебраическая сумма электрических зарядов любой замкнутой системы остаётся постоянной, какие бы процессы ни происходили внутри этой системы:

(7.2)

Замкнутой называется система, не обменивающаяся зарядами с внешними телами.

Точечным называется заряд, сосредоточенный на теле, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с расстоянием до других заряженных тел, с которыми он взаимодействует.

Взаимодействие точечных зарядов подчиняется закону Кулона.

Закон Кулона. Сила взаимодействия между двумя точечными зарядами пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

(7.3)

где  – относительная диэлектрическая проницаемость среды – величина, показывающая во сколько раз сила взаимодействия между зарядами в данной среде меньше силы взаимодействия между ними в вакууме:

(7.4)

Для вакуума = F и  = 1.  – величина безразмерная, табличная; k – коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В СИ он принимается равным где = 8,85 – электрическая постоянная.

Тогда

(7.5)

Сила направлена по прямой, соединяющей центры взаимодействующих зарядов, то есть является центральной. Она соответствует притяжению (F 0) в случае разноимённых зарядов и отталкиванию (F  0) в случае одноимённых зарядов (рис. 7.1).

Рис. 7.1

Особый вид материи, являющейся носителем взаимодействия неподвижных электрически заряженных тел, называется электростатическим полем.

Электростатическое поле исследуется с помощью пробных зарядов. Пробным зарядом называется заряженное тело, настолько малое, что оно практически не вызывает (вследствие индукции) перераспределения зарядов на окружающих телах.

Электростатическое поле имеет две характеристики: силовую – напряжённость , энергетическую – потенциал .

Напряженность электростатического поля в данной точке есть физическая величина, определяемая силой, действующей на единичный положительный пробный заряд, помещенный в эту точку поля:

. (7.6)

Направление вектора совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд. Единица напряженности электростатического поля – Ньютон на Кулон (Н/Кл): 1 Н/Кл – напряженность электростатического поля в точке, в которой на пробный заряд 1 Кл действует сила 1 Н (1 Н/Кл = 1 В/м).

Напряженность поля точечного заряда q выражается формулой

(7.7)

Напряженность пропорциональна заряду, создающему поле, и характеризует электростатическое поле в той точке, где пробный заряд находится, но не зависит от пробного заряда.

Для наглядности электростатическое поле изображают с помощью линий напряженности (силовых линий), которые проводят так, чтобы касательные к ним в каждой точке пространства совпадали по направлению с вектором напряженности в данной точке поля (рис. 7.2).

Густота силовых линий принимается за величину напряженности.

Рис. 7.2

Принцип суперпозиции электрических полей: напряженность результирующего поля, создаваемого системой зарядов, равна геометрической сумме напряженностей полей, создаваемых в данной точке А каждым из зарядов в отдельности:

(7.8)

Принцип суперпозиции лежит в основе одного из методов расчёта электростатических полей.

Напряженность электрического поля зависит от свойств среды: нормальная составляющая напряженности поля при переходе из вакуума в среду всегда уменьшается во столько раз, во сколько возрастает диэлектрическая проницаемость. Вектор напряженности, переходя через границу диэлектриков, претерпевает скачкообразное изменение, создавая тем самым неудобства при расчете электростатических полей.

Чтобы сохранить геометрическое изображение поля при наличии нескольких сред, вводят вспомогательное векторное поле, характеризуемое вектором электрического смещения (вектором электрической индукции) .

Для электрически изотропной среды

(7.9)

Электрическое смещение измеряется в СИ в .

В отличие от напряженности вектор электрического смещения не зависит от свойств среды.

Как и поле поле изображается с помощью линий электрического смещения (линий индукции).

Линии индукции проводят так, чтобы в каждой точке их направление совпадало с направлением в этой точке, а число линий (поток электрического смещения F_е), проходящих через единицу площади поверхности, перпендикулярной линиям индукции (густота линий индукции), равнялось бы численному значению вектора в данной точке:

(7.10)

Электрический поток через элементарную площадку dS

(7.11)

где – площадь проекции элементарной поверхности dS на плоскость, перпендикулярную к вектору ; – единичный вектор, нормальный к площадке dS; a = .

Полный поток F_е электрического смещения через поверхность S называется алгебраическая сумма электрических потоков через элементарные площадки, на которые может быть разбита поверхность S:

(7.12)

Поток электрического смещения величина скалярная. В СИ измеряется в кулонах [Кл].

Для поля также имеет место принцип суперпозиции: вектор электрической индукции суммарного поля нескольких зарядов равен геометрической сумме векторов электрической индукции, создаваемых в той же точке каждым из зарядов в отдельности, а поток электрического смещения равен алгебраической сумме потоков каждого из этих зарядов:

(7.13)

(7.14)

Кроме принципа суперпозиции в основе расчета электростатических полей лежит также теорема Остроградского – Гаусса.

Поток вектора электростатического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов:

(7.15)