II часть Примеры решения задач

Задача 1. Необходимо сжать воздух от объема 10^–2 м³ до объема 2 ^.10^–3 м³. Как выгоднее сжимать: адиабатически или изотермически?

Дано: Решение

Для решения задачи необходимо сравнить работы адиабатического и изотермического сжатия.

Задачу можно решить: 1) качественно, построив графики адиабатического и изотермического сжатия; 2) аналитически, вычислив отношение работ

V₁ = 10^–2 м³

V₂ = 2 ^.10^–3 м³

1. Построим графики изотермического и адиабатического сжатия в координатах p,V.

Начальное состояние воздуха определяется параметрами p₁ V₁T_1. Объем V₂ для обоих процессов является конечным и задан в условии задачи.

Уравнение адиабаты .

Уравнение изотермы .

П оказатель адиабаты где i = 5, так как воздух состоит в основном из двухатомных газов;  = 1,4. Отсюда следует, что адиабата круче изотермы; при сжатии давление в адиабатическом процессе изменяется на большую величину, т. е. р₂^I > p₂ (рис. 6.1).

Работа в любом процессе может быть найдена как Интеграл графически изображается и может быть вычислен как площадь криволинейной трапеции, образованной кривой и ординатами V₁ и V₂. Из графика видно, что площадь, ограниченная адиабатой больше, чем площадь под изотермой. Следовательно, работа адиабатического сжатия больше, чем изотермического. Поскольку работу при сжатии газа совершают внешние силы, то сжимать газ выгоднее изотермически.

2. Аналитическое решение задачи позволяет найти численное отношение работ А₁ и А₂ (А₁ – работа изотермического сжатия; А₂ – работа адиабатического сжатия):

Вычислим отношение:

.

Задача 2. Двухатомный газ занимает объем V₁ = 0,5 л при давлении = 0,5 ^.10⁵ Па. Газ сжимают адиабатически до некоторого давления и объема V₂, затем при постоянном объеме V₂ охлаждают до первоначальной температуры. При этом давление становится равным = 10⁵ Па. 1) Начертите график этого процесса; 2) найдите объем V₂ и давление .

Д ано:

= 0,5 ^. 10⁵ Па

= 10⁵ Па

V₁ = 0,5 л = 0,5 ^. 10^–3 м³

V₂ - ? - ?

Рис. 6.2

Решение

При построении графика нужно учесть: 1) газ сжимается, т. е. V₂ < V₁ 1 - 2 - адиабата; 2) в процессе охлаждения V₂ = V₃ = const, следовательно, процесс изохорный, давление р уменьшается; 3) так как по условию Т₃ = Т₁, то через точки 1 и 3 можно провести изотерму. При решении используем уравнение изотермы рV = const, или V₁ = V₂ (V₂ = V₃, так как процесс 2 - 3 изохорный).

Тогда

м³.

Давление найдем из уравнения адиабаты:

.

Показатель адиабаты , так как i = 5 (газ двухатомный).

Па.

Ответ: V₂ = 0,25 ^.10^–3 м³; Р₂ = 1,32 ^.10⁵ Па.

Задача 3. В сосуде под поршнем находится гремучий газ, занимающий объем 10^–4 м³ при нормальных условиях. При быстром сжатии газ воспламеняется. Найти температуру воспламенения гремучего газа, если работа сжатия равна 47,3 Дж.

Дано: Решение

Гремучий газ представляет собой смесь двухатомных газов – кислорода и водорода, число степеней свободы i = 5.

Процесс сжатия проходит быстро, теплообмен с окружающей средой не успевает произойти, следовательно, Q = 0, т. е. процесс можно считать адиабатическим.

V = 10^–4 м³

= 10⁵ Па

Т₁ = 273 К

А = 47,3 Дж

Т₂- ?

Применив первое начало термодинамики к адиабатическому процессу, получим

Q = 0; U = A.

Сжатие совершают внешние силы, работа внешних сил считается отрицательной; внутренняя энергия газа возрастает за счет совершенной внешними силами работы. Температура газа повышается

,

где Т = Т₂ – Т₁.