Решение

Угловую скорость ω найдем, взяв первую производную от углового пути φ по времени  = = 20 – 4t . В момент времени = 4 c, = 20 – 4 · 4 = 4 . Угловое ускорение ε найдем, взяв первую производную от угловой скорости ω по времени ε = =  4 . Угловая скорость и угловое ускорение направлены вдоль оси вращения в разные стороны, так как движение равнозамедленное. Полное ускорение точки, движущейся по окружности, равно векторной сумме тангенциального (касательного) ускорения , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения , направленного к центру окружности Так как векторы и взаимно перпендикулярны, то модуль полного ускорения Тангенциальное и нормальное ускорения точки вращающегося тела выражаются формулами: , тогда

Подставляя значения R, ε, ω, получим .

В момент остановки , так как  = 20 – 4t , то с, то есть через 5 с после начала движения тело остановится.

Определим, сколько оборотов сделало тело до полной остановки. Угловой путь φ равен с другой стороны φ = 2 π N, где N – число оборотов. Приравняв эти выражения, найдем N:

Подставляя значения , , t получим .

Ответ: = 4 ;  =  4 ; =1,65 ; t = 5 c; N = 8.

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1. Движение двух материальных точек выражается уравнениями = 20 + 2 t – 4 м и = 2 + 2 t + 0,5 м. В какой момент времени скорости этих точек будут одинаковыми? Чему равны скорости и ускорения точек в этот момент?

Ответ: t = 0; 2 , = 8 , = 1 _.

Задача 2. Две материальные точки движутся согласно уравнениям = 4t + 8 – 16 м и = 2t – 4 + м. В какой момент времени ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости точек в этот момент.

Ответ: t = 0,235 c; = 5,1 _, = 0,286 _.

Задача 3. Движение материальной точки задано уравнением x = 4t – 0,05 м. Определить момент времени, в который скорость точки равна нулю. Найти координату и ускорение точки в этот момент. Построить графики координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени.

Ответ: t = 40 c; x = 80 м; a =  0,1 _.

Задача 4. Определить скорость и ускорение точки, движущейся по прямой, к концу пятой секунды, если уравнение движения имеет вид x = 5 + 2 + 8 t, где x – в метрах, t – в секундах.

Ответ: = 403 _, a = 154 _.

Задача 5. Скорость частицы, движущейся по прямой, изменяется по закону = 15 + 4 t + 8 _. Определить путь s, который пройдёт частица за время t = 2 с.

Ответ: s = 64 м.

Задача 6*.. Движение точки по прямой задано уравнением x = 2 t - м. Определить среднюю скорость движения точки в интервале времени от = 1 c до = 3 с.

Ответ:

Задача 7. Машинист пассажирского поезда, который шёл со скоростью 30 увидел впереди товарный поезд, идущий на 180 м впереди с постоянной скоростью 9 . Машинист сразу затормозил, причём тормоза вызвали ускорение пассажирского поезда, равное  1,2 . Произойдёт ли крушение? Реакция машиниста мгновенна.

Ответ: Крушение произойдёт, столкнутся через 15 с.

Задача 8. Поезд тронулся с места и на некотором участке пути двигался равноускоренно с ускорением 0,2 . Определить его скорость в конце второй минуты и путь, пройденный им за это время. Начертить графики координаты, пути и скорости.

Ответ: = 24 ; s = 1440 м.

Задача 9. Самолёт садится на посадочную дорожку длиной 360 м. Какова скорость в момент приземления, если, двигаясь с постоянным отрицательным ускорением, самолёт останавливается в конце дорожки через 30 с после приземления?

Ответ: = 24 .

Задача 10. С какой высоты упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t = 0,1 с?

Ответ: h = 5,51 м.

Задача 11. Камень падает с высоты h = 1200 м. Какой путь пройдёт камень за последнюю секунду своего падения?

Ответ: s = 150 м.

Задача 12. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью

= 20 _. а) Через сколько секунд камень будет находиться на высоте h = 15 м? б) Какова будет скорость камня на этой высоте? Сопротивлением воздуха пренебречь. Принять g = 10 .

Ответ: = 1 c, = 10 (вверх); = 3 c, = 10 (при падении).

Задача 13. Вертикально вверх брошен камень с начальной скоростью = 20 . Через 1с после этого брошен вертикально вверх второй камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

Ответ: h = 19,2 м.

Задача 14*. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте 8,6 м два раза с интервалом 3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенного тела.

Ответ: = 13 .

Задача 15. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью = 5 . Через 2 с мячик упал на землю. Определить высоту h балкона над землёй и скорость мячика в момент удара о землю.

Ответ: h = 9,6 м; = 15 .

Задача 16. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью = 10 . Высота балкона над поверхностью Земли h = 12,5 м. Написать уравнение движения и определить среднюю скорость с момента бросания до момента падения на Землю.

Ответ: = 6,4 .

Задача 17. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через 2 с камень упал на землю на расстоянии 40 м от основания вышки. Определить начальную и конечную скорости камня.

Ответ: = 20 ; = 28 .

Задача 18. Тело, брошенное в горизонтальном направлении со скоростью = 20 , упало на землю на расстоянии s (от основания башни), вдвое большем, чем высота башни h. Найти высоту башни.

Ответ: h = 20,4 м.

Задача 19*. Тело брошено под углом  к горизонту. Найти величину этого угла, если горизонтальная дальность полёта s в 4 раза больше, максимальной высоты подъёма H.

Ответ:  = 45⁰.

Задача 20. Пули пущена с начальной скоростью = 200 под углом  = 60⁰ к плоскости горизонта. Определить наибольшую высоту подъёма H, дальность полёта s и радиус кривизны R траектории пули в её наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: H = 1530 м; s = 3535 м; R = 1020 м.

Задача 21*. Два тела движутся по одной прямой с ускорениями = 1 , = 3 Некоторую точку А пути второе тело проходит спустя  = 14 с после первого тела в том же направлении. В точке А скорость первого тела = 22 , скорость второго u_a = 10 . Через сколько времени после прохождения первым телом точки А оба тела столкнутся?

Ответ: = 51 с (второе тело догоняет первое).

Задача 22*. Поезд начинает движение из состояния покоя и равномерно увеличивает свою скорость. На первом километре она возросла на 10 . На сколько она возрастает на втором километре?

Ответ: = 4,1 .

Задача 23*. Автомобиль начинает движение из состояния покоя и, двигаясь по прямой, проходит первый километр с ускорением , а второй – с ускорением . При этом на первом километре его скорость увеличивается на 10 , а на втором километре – на 5 . Какое ускорение больше: или ?

Ответ: = 0,05 ; = 0,0625 .

Задача 24*. Камень брошен вертикально вверх. Какой должна быть его начальная скорость, чтобы подъём на высоту 29,4 м занял 6 с? Как изменится это число, если сократить время подъёма до 3 с? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: 1) = 34,3 ; 2) = 24,5 м.

Задача 25*. Ускорение материальной точки изменяется по закону а = 3 . Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет находиться в момент времени t = 1 c, если = 0, = 0.

Ответ: x = 0,25 м.

Задача 26*. Мяч, брошенный горизонтально, ударяется о стенку, находящуюся на расстоянии 5 м от места бросания. Высота места удара мяча о стенку на 1 м меньше высоты, с которой брошен мяч. 1) С какой скоростью был брошен мяч? 2) Под каким углом мяч подлетает к поверхности стенки? Сопротивление воздуха не учитывать.

Ответ: 1) = 11,1 ; 2)  = .

Задача 27*. Камень брошен горизонтально со скоростью = 15 . Найти нормальное и тангенциальное ускорение камня через 1 с после начала движения.

Ответ: a_ = 5,4 ; a_n = 8,2 .

Задача 28. Камень, брошенный со скоростью = 12 под углом  = 45⁰ к горизонту, упал на Землю на расстоянии s от места бросания. С какой высоты h надо бросить камень в горизонтальном направлении, чтобы он упал на то же место при той же начальной скорости ?

Ответ: h = 7,4 м.

Задача 29*. Под каким углом к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы поразить цель, находящуюся на расстоянии 10 км, если начальная скорость снаряда = 500 ? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ:  = 11,5⁰ или 78,5⁰.

Задача 30*. На высоте h = 5000 м летит прямолинейно самолёт с постоянной скоростью = 100 . В момент, когда самолёт находится над зенитной батареей, производится выстрел. Начальная скорость снаряда

= 500 . Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) Под каким углом к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы снаряд попал в самолёт (произошло пересечение траекторий)? б) На какую продолжительность полёта нужно поставить взрыватель, чтобы снаряд разорвался в момент встречи? в) На каком расстоянии от места встречи отстоит батарея?

Ответ: а)  = 78,5⁰; б) t = 11,5 с; в) s = 1150 м.

Задача 31. С вершины горы под углом  = 36⁰ к горизонту бросает камень с начальной скоростью = 5 . Угол наклона горы к горизонту также составляет 36⁰. На каком расстоянии l от точки бросания упадёт камень?

Ответ: l = 6,02 м.

Задача 32. Скорость частицы, движущейся по прямой, изменяется по закону = 3 +2 t . Определить путь, который частица пройдёт за 1 с.

Ответ: s = 4 м.

Задача 33*. На листе бумаги начерчен прямой угол. Линейка, оставаясь всё время перпендикулярной биссектрисе этого угла, движется по бумаги со скоростью 10 . Концы линейки пересекают стороны начерченного угла. С какой скоростью движутся по сторонам угла точки их пересечения с линейкой.

Ответ: = 14,1 .

Задача 34. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости  = 20 через N = 10 об после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

Ответ:  = 3,2 .

Задача 35. Маховое колесо спустя t = 1 мин после начала вращения приобретает скорость, соответствующую  = 12 . Найти угловое ускорение колеса и число оборотов за эту минуту.

Ответ:  = 1,26 ; N = 360 об.

Задача 36. Колесо, вращаясь равнозамедленно, при торможении уменьшило свою скорость за 1 мин с 300 до 180 . Найти угловое ускорение колеса и число оборотов, сделанных им за это время.

Ответ:  =  0,21 , N = 240 об.

Задача 37. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 15 . После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 оборотов. Сколько времени прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

Ответ: t = 10 с.

Задача 38. Вал вращается с постоянной скоростью, соответствующей частоте 180 . С некоторого момента вал тормозится и вращается равнозамедленно с угловым ускорением, численно равны 3 . Через сколько времени вал остановится? Сколько оборотов он сделает до остановки?

Ответ: а) t = 6,3 с; б) N = 9,4 об.

Задача 39*. Маховик, вращавшийся с постоянной угловой скоростью, соответствующей частоте 10 , при торможении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение снова стало равномерным, но уже с частотой 6 . Определить угловое ускорение маховика и продолжительность торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N = 50 оборотов.

Ответ:  =  4 ; t = 6,25 с.

Задача 40. Колесо вращается с постоянным угловым ускорением

 = 2 . Через t = 0,5 с после начала движения полного ускорение колеса стало равным а = 13,6 . Найти радиус колеса.

Ответ: R = м.

Задача 41*. Найти угловое ускорение колеса, если через 2 см после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 60⁰ с направлением линейной скорости этой точки.

Ответ:  = 0,43 .

Задача 42*. Точка движется по окружности радиусом R = 0,2 м с постоянным тангенциальным ускорением а_ = 5 . Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение а_n точки будет: а) равно тангенциальному; б) вдвое больше тангенциального?

Ответ: а) t = 2 с; б) t = 2,8 с.

Задача 43. Точка движется по окружности радиусом R = 4 м. Закон движения выражается уравнением s = 8 – 2 м. Определить момент времени t, когда нормальное ускорение точки а_n равно 9 . Найти скорость , тангенциальное а_ и полное а ускорения точки в тот момент времени t.

Ответ: t = 1,5 c; =  6 ; а_ =  4 ; а = 9,84 .

Задача 44*. Точка движется по окружности R = 0,1 м с постоянным тангенциальным ускорением а_. Найти тангенциальное ускорение точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала 0,79 .

Ответ: а_ = 0,1 .

Задача 45. Колесо радиусом R = 0,1 м вращается с постоянным угловым ускорением  = 3,14 . Найти для точек на ободе колесо к концу первой секунды после начала движения: угловую скорость, линейную скорость, тангенциальное, нормальное и полное ускорения и угол, составляемый направлением полного ускорения с радиусом колеса.

Ответ:  = 3,14 ; = 0,314 ; а_ = 0,314 ; а_n = 0,986 ; а = 1,03 ;  = 17⁰ .

Задача 46. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени задана уравнением S = 0,1 см. Найти нормальное и тангенциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки равна 0,3 .

Ответ: а_n = 4,5 _, а_ = 0,06 .

Задача 47. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м согласно уравнению S = 2 м. В какой момент времени t нормальное ускорение а_n точки будет равно тангенциальному а_? Чему равно полное ускорение а в этот момент времени?

Ответ: t = 0,87 с, а = 14,67 .

Задача 48. Движение точки по окружности радиусом R = 4 м задано уравнением x = 10 – 2 t + м. Найти тангенциальное а_, нормальное а_n и полное а ускорения точки в момент времени t = 2 с.

Ответ: а_ = 12 ; а_n = 25 ; а = 27,73 .

Задача 49. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением а_ = 0,5 . Определить полное ускорение точки на участке кривой с радиусом кривизны R = 3 м, если точка движется на этом участке со скоростью = 2 .

Ответ: а = 1,42 .

Задача 50. По дуге окружности радиусом R = 0,1 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки а_n = 4,9 , вектор полного ускорения образует в этот момент с вектором нормального ускорения угол 60⁰. Найти скорость и тангенциальное ускорение а_ точки.

Ответ: = 0,7 ; а_ = 8,5 .

Задача 51*. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за 3 с опустился на 1,5 м. Определить угловое ускорение цилиндра, если его радиус 4 см.

Ответ:  = 8,3 .

Задача 52. Диск радиусом 10 см начал вращаться из состояния покоя с постоянным угловым ускорением  = 0,5 . Каковы были тангенциальное, нормальное и полное ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения?

Ответ: а_ = 0,05 ; а_n = 0,1 ; а = 0,11 .

Задача 53. Диск радиусом 20 см вращается согласно уравнения  = 3 – t + 0,1 рад. Определить полное ускорение точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

Ответ: а = 168 .

Задача 54. Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска = 3 точки, расположенные на 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость = 2 . Сколько оборотов в секунду делает диск?

Ответ:  = 1,6 .

Задача 55. Найти радиус вращающегося колеса, если линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.

Ответ: R = 8,3 см.

Задача 56*. Точка движется по окружности радиусом 10см с постоянным тангенциальным ускорением. Найти нормальное ускорение точки через 20 с после начала движения, если к концу пятого оборота после начала движения линейная скорость точки равна 10 .

Ответ: а_n = 0,01 .

Задача 57*. Шкив радиусом 20 см приводится во вращение грузом, подвешенным на нити, постепенно сматывающейся со шкива. В начальный момент груз был неподвижен, а затем стал опускаться с ускорением

а = 2 . Какова угловая скорость  шкива в тот момент, когда груз пройдёт путь 1 м? Каково ускорение точек, лежащих на ободе шкива в этот момент?

Ответ:  = 1 ; а = 0,2 .

Задача 58*. Точка движется по окружности так, что зависимость пути от времени задана уравнением S = 20 – 2 t + t² м. Найти линейную скорость точки, её тангенциальное, нормальное и полное ускорения через 3 с после начала движения, если нормальное ускорение через 2 с было 0,5 .

Ответ: = 4 ; а _ = 2 ; а_n = 2 ; а = 2,83 .

Задача 59. Колесо радиусом 0,1 м вращается вокруг оси по закону

 = 4 + 2 t + рад. Для точек, лежащих на ободе колеса, найти через 2 с после начала движения угловую скорость, линейную скорость, угловое ускорение, тангенциальное, нормальное и полное ускорения.

Ответ: = 1,4 ;  = 14 ;  =12 ; а_ = 1,2 ; а_n = 19,6 ; а = 20 .

Задача 60*. Колесо радиусом 0,1 м вращается так, что зависимость линейной скорости точек, лежащих на ободе колеса, от времени задаётся уравнением = 3 t + Найти угол, составляемый вектором полного ускорения с радиусом колеса в моменты времени t = 0, 1, 2, 3, 4, 5 с после начала движения.

Ответ: tg = ;  = 90⁰; 72⁰; 35⁰; 15,5⁰; 8⁰; 4,5⁰.

Задача 61. Колесо вращается так, что зависимость угла поворота от времени задана уравнением  = 2 + t + + рад. Найти радиус колеса, если к концу второй секунды движения нормальное ускорение точек, лежащих на ободе, равно а_n = 346 .

Ответ: R = 1,2 м.

Задача 62. Найти, во сколько раз нормальное ускорение точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, больше её тангенциального ускорения для того момента, когда вектор полного ускорения этой точки составляет угол 30⁰ с вектором её линейной скорости.

Ответ: = 0,58.

Задача 63. Якорь электромотора, вращавшийся со скоростью  = 50 , двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав N = 1680 оборотов. Найти угловое ускорение якоря.

Ответ:  = 4,7 .

Задача 64. Определить линейную скорость точек земной поверхности на экваторе, на широте  = 60⁰ и на полюсе.

Ответ: = 466 ; 233 ; 0.

Задача 65*.. Найти угловое ускорение лопатки турбины, расположенной на расстоянии 1 м от оси вращения, через 15 с после пуска турбины, если зависимость линейной скорости лопатки от времени выражена уравнением = 2 t + 0,8 _.

Ответ:  = 26 .

Занятие 2

ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО

И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Контрольные вопросы для подготовки к занятию

1. В чём заключается основная задача динамики?

2. Дайте определение силы и поясните основные признаки и свойства силы.

3. Что понимается под массой?

4. Сформулируйте и объясните законы Ньютона. Запишите основное равнение динамики.

5. Что называется инерциальными системами отсчёта?

6. Что называется импульсом тела? Импульсом силы? Их единицы измерения?

7. Что называется замкнутой (изолированной) системой тел?

8. Что называется моментом инерции материальной точки относительно оси вращения?

9. Дайте физическое толкование момента инерции тела. От чего он зависит? Единица измерения.

10. Что называется моментом силы относительно оси вращения? Как определить направление момента силы?

11. Запишите и сформулируйте основное уравнение динамики вращательного движения.

1 2. Определите направление углового ускорения в следующих примерах (рис. 2.1, 2.2, 2.3):

Рис. 2.1 Рис. 2.2 Рис. 2.3