книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

2.1.3.Некоторые типовые преобразования Лапласа

Всправочниках табулировано большое число функций и их изменений, приведем некоторые из них:

2.2.Законы Ома и Кирхгофа

воператорной форме

Рассмотрим цепь (рис. 2.1). Второй закон Кирхгофа во временной области (для оригиналов):

Каждое слагаемое уравнения (2.4) заменим операторным изображением и выразим ток I(p):

92

Полученное выражение является аналогом записи II закона Кирхгофа для цепей постоянного тока Rk Ik Ek .

Таким образом, при описании цепей при нулевых начальных условиях просматривается полная аналогия с цепями постоянного тока. При ненулевых начальных условиях появляются отличия, заключающиеся в необходимости введения операторных ЭДС, учитывающих и отображающих ненулевой запас энергии магнитного поля Wм виндуктивностииэнергииэлектрическогополяWэл вемкости.

Отсюда следует важный вывод: весь изученный применительно к цепям постоянного тока расчетный аппарат работает и при анализе переходных процессов, но только в операторной форме. При этом необходимо учесть, что задающие воздействия источников ЭДС и задающие токи источников тока также должны записываться в виде изображений по Лапласу.

2.3. Эквивалентные операторные схемы

При расчете переходных процессов операторным методом удобно составить предварительно операторную схему. В каждой ветви, содержащей накопители энергии L и C, должны быть при ненулевых начальных условиях учтены две дополнительные внутренние ЭДС Li(0) и uC(0)/p. На рис. 2.2 показаны переходы от элементов с мгновенными значениями токов и напряжений

кэлементам операторной схемы.

2.4.Порядок расчета переходных процессов операторным методом

1.Анализ независимых начальных условий (для этого необ-

ходимо рассчитать режим работы докоммутационной цепи в момент времени t = 0–).

2.Составление эквивалентной операторной схемы.

94

1. Использование обратного преобразования Лапласа:

которое представляет собой решение интегрального уравнения (2.1) относительно неизвестной функции f(t) и может быть получено методами теории функций комплексного переменного. Интеграл (2.9) вычисляется по прямой на плоскости комплексного переменного p, параллельной мнимой оси и расположенной правее всех особенностей (в частности, простых и кратных полюсов) функции F(p). Такойспособвприкладныхзадачах электротехникинеиспользуется.

2.Табличный метод. Подробные таблицы оригиналов и соответствующих им изображений приводятся в математических и электротехнических справочниках. При использовании этого способа возникают трудности, связанные с распознаванием и сведением функций к табличному виду.

3.Использованиетеоремыовычетахилитеоремыразложения. Для каждой функции времени, входящей в уравнение Кирх-

гофа, описывающего расчетную цепь, устанавливается в соответствие операторное изображение, после чего система линейных дифференциальных уравнений переписывается в виде системы алгебраических уравнений (также получаем операторную схему замещения). Система алгебраических уравнений рассчитывается относительно операторного изображения искомой величины, по которому с помощью теоремы разложения находится оригинал.

Теорема разложения имеет две модификации в зависимости

где n – порядок цепи, pi – простые корни характеристического уравнения F2(p) = 0;

F2 ( p) dF2 ( p) . dp

96

Операторное изображение вида (2.10) соответствует сигна-

где pi – корни характеристического уравнения F3(p) = 0.

В этом случае знаменатель имеет один нулевой корень, на это указывает наличие в составе знаменателя множителя p. Теорема разложения в форме (2.11) позволяет определять оригиналы сигналов, имеющих принужденную составляющую.

Если уравнение F2(p) = 0 имеет комплексные сопряженные корни pi и pi* , то достаточно вычислить слагаемое сумм (2.10)

или (2.11) только для корня pi , а для корня pi* взять значение, сопряженное этому слагаемому, т.е.

Если среди корней многочлена F2(p) = 0 есть q простых корней (p1, p2, …, pq), корень pr кратности r и корень ps кратности s, то можно записать теорему разложения с двойной суммой в правой части (одна сумма – по числу корней, а вторая – для каждого корня по порядку его кратности):

Если нужно вычислить начальное (при t = 0+) и установившееся (при t = ) значения оригинала, т.е. f(0+) и f( ), то можно воспользоваться формулами (2.10) и (2.11). Однако начальное и установившееся значения оригинала в случае, если установившийся процесс непериодический, определяются достаточно просто по так называемым предельным соотношениям:

Рассмотримспецифические особенности применения метода. Пример 1. Рассмотрим заряд конденсатора при подключении RC-цепи на постоянное напряжение (рис. 2.3, а). Определим за-

кон изменения uC (t) в переходном режиме.

Цепь с нулевыми начальными условиями. Соответствующая операторная схема замещения представлена на рис. 2.3, б.

Операторное изображение напряжения на конденсаторе определим по закону Ома:

UC ( p) pC1 I ( p).

Изображение тока в операторной схеме замещения:

98

Для отыскания uC (t) воспользуемся теоремой разложения в форме (2.11):

Используя предельные соотношения (2.15), (2.16), определим соответственно начальное и установившееся значения напряжения на конденсаторе:

Аналогичные значения будут получены по формуле, описывающей закон изменения uC (t) в переходном режиме:

99

ток в ветви с индуктивностью – по формуле

напряжение на емкости

uC (0 ) i1 (0 )Rab i1 (0 ) 22R 2 B.

2. Эквивалентная операторная схема замещения представлена на рис. 2.6.

100