книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

В этой формуле u1 (0) 0 , а поскольку на участке от t1 до t2 функция u2(t) = 100 В постоянна, то и u2 ( ) 0. В результате получаем:

При t = t2 входное напряжение делает скачок вниз до нуля. После этого цепь остается подключенной к идеальному источнику напряжения. Следовательно, конденсатор будет разряжаться через замкнутую цепь (R). Рассмотриминтеграл Дюамеля наэтомучастке.

На промежутке t2 t в общем случае интеграл Дюамеля будет иметь вид

iC (t2 4 10 3 ) 0,41A .

Полученное выражение для iC(t) описывает разряд конденсатора через резистор R. Постоянная времени при этом

RC 200 10 10 6 2 10 3 c ,

а значение тока через конденсатор при t = t2 в конце второго интервала было равно 0,088 А. Значение тока в начале третьего

161

интервала iC (t2 4 10 3 ) 0,41A , т.е. ток изменяется скачком в момент времени t = t2. Для t 4 10 3 ток изменяется по закону

iC (t) 3,05e 500t .

Для построения графика изменения iC(t) найдем значения тока на всех трех интервалах:

График изменения тока iC(t), совмещенный с графиком входного напряжения, показан на рис. 4.26.

iC(t)

– 0,4

Рис. 4.26

162

5. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ЧАСТОТНЫМ (СПЕКТРАЛЬНЫМ) МЕТОДОМ

В теории переходных процессов встречаются задачи с нулевыми начальными условиями, когда в некоторый момент времени, обычно принимаемый за начало отсчета, к источнику некоторого непериодического воздействия подключается невозбужденная цепь. Расчет переходных процессов в таком случае можно вести частотным методом, базирующимся на спектральном представлении входного и выходного сигнала. Применение метода целесообразно для тех задач, в которых токи и напряжения переходного процесса связываются с частотными характеристиками цепи, в частности, для расчета переходных процессов в фильтрах.

Метод применяется преимущественно к цепям сложной структуры, для которых передаточную функцию можно определить экспериментально. Для таких цепей это единственный способ расчета.

Ценность метода заключается в том, что расчет переходных процессов сводится к расчету установившихся гармонических режимов и, следовательно, к возможности получения результата без составления и решения дифференциальных уравнений. Этот метод в чистом или приближенном виде широко применяется в теории автоматического регулирования и радиотехнике.

5.1. Применение преобразования Фурье для определения спектра сигнала

Спектр любой непериодической функции f (t) , удовлетво-

ряющей условиям Дирихле и абсолютной интегрируемости в бесконечных пределах, может быть найден с помощью прямого преобразования Фурье:

163

Вещественная функция времени через комплексную функцию частоты F( j ) определяется с применением обратного преобразо-

вания Фурье:

Уравнения (5.1) и (5.2) являются основными в теории спектрального анализа.

Обратное преобразование Фурье (5.2) обычно находят численным интегрированием, в связи с чем целесообразно перейти от комплексной формы интеграла к вещественной.

В общем случае спектральная плотность (или амплитуднофазовая характеристика), представляющая собой непрерывный спектр функции f (t) , имеет вид

где F – амплитудно-частотная характеристика, – фазочастотная характеристика, F1 ( ) – вещественная частотная характеристика, F2 ( ) – мнимая частотная характеристика,

Нетрудно заметить, что F( j ) и F( j ) являются сопря-

женными комплексными величинами, тогда для их модулей и фаз можно записать:

F( ) F( ); ( ) ( ) .

Следовательно, F( ) является четной функцией , а ( ) –

нечетной функцией. Поэтому, представив подынтегральную величину в выражении (5.2) в виде

F( j )e j t F( )cos t ( ) jF( )sin t ( ) ,

получим:

F( j )e j t F( j )e j t 2F( )cos t ( ) ,

164

следовательно, формулу (5.2) можно записать в виде

0

представляющем собой интеграл Фурье (обратное преобразова-

ние Фурье) в тригонометрической форме.

Формула (5.4) показывает, что непериодическую функцию, удовлетворяющую указанным выше условиям, можно рассматривать как сумму бесконечного множества гармонических состав-

ляющих с бесконечно малыми амплитудами 1 F( )d и началь-

ными фазами ( ) . То, что амплитуды в этом случае оказались в

два раза больше, чем при рассмотрении выражения (5.2), объясняется тем, что в (5.4) изменяется от 0 до , а не от до, и, соответственно, гармоники с частотами и , содер-

жащиеся в (5.2), просуммированы в (5.4).

Интеграл Фурье в вещественной форме также может быть представлен в виде

165

для нечетных функций

Эти формулы и используются на практике при расчете переходных процессов частотным методом.

5.2. Определение частотных характеристик заданной функции времени

166

и фазочастотная характеристика

arctg .

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики заданного сигнала представлены на рис. 5.2.

Пример 2. Определить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики сигнала (рис. 5.3).

Спектральная плотность сигнала (см. рис. 5.3)

167

Пример 3.

Для сигнала (рис. 5.4) спектральная плотность имеет вид

Амлитудно-частотная и фазочастотная характеристики соответственно равны:

Пример 4.

Спектральная плотность одиночного прямоугольного импульса (рис. 5.5) имеет вид

Введем обозначения 2 x . Тогда, принимая во внимание,

168

стотной характеристике . Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики одиночного прямоугольного импульса представлены на рис. 5.6. Величина изменяется скачком на при каждом изменении знака величины sin xx .

5.3. Расчет переходных процессов частотным методом

Пусть имеем систему, на вход которой подается сигнал x(t), а реакция на выходе равна y(t). Входное воздействие в общем случае – это непериодическая функция, которая может быть представлена в виде совокупности спектральных составляющих с помощью обратного преобразования Фурье:

Подынтегральное выражение представляет собой одну из бесконечного множества элементарных стационарных состав-

ляющих с комплексной амплитудой 21 F j .

Из основ символического метода расчета цепей известно, что для стационарного гармонического режима комплексная амплитуда выходного сигнала определяется через комплексную амплитуду входного сигнала:

где W j – комплексная передаточная функция, которая может

быть определена с помощью комплексного сопротивления или проводимости.

Применив для каждой комплексной компоненты выходного сигнала обратное преобразование Фурье, получим искомый сигнал y(t):

170