книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

чальных условий (iL (0 ) 0) индуктивности заменяются содейст-

вующимиисточникамитокасзадающимитоками, равными iL (0 ) . Емкости с нулевыми начальными условиями (uC(0–) = 0) заменяются короткозамкнутыми участками, с ненулевыми начальными условиями (uC (0 ) 0) заменяются противодействующими источ-

никаминапряжения с задающимиЭДС, равнымиuC(0–). Параметры всех подключенных в исходной цепи источников

и номиналы резисторов остаются неизменными.

Полученная резистивная цепь называется схемой замещения в 0+ (или первой схемой замещения). С помощью построенной вспомогательной цепи, применив любой известный расчетный метод, определяют значения искомых величин в момент времени t = 0+, а для цепей высших порядков (начиная со второго) также находят iC (0 ) и uL (0 ), которые необходимы для определения первых

производных от искомых величин в момент времени t = 0+ (назы-

ваемая схема замещения для производных в 0+ или вторая схема замещения). Токи и напряжения в такой цепи составляют производные от искомых величин в момент t = 0+. В такой цепи источники заменяются на аналогичные источники с ЭДС или задающим током, равными соответственно производной от данных в задании. Номиналы резисторов остаются неизменными.

Емкости и индуктивности заменяются в соответствии со следующим правилом. Емкости с нулевыми начальными усло-

виями (uC (0 ) 0) заменяются короткозамкнутыми участками, а с ненулевыми начальными условиями (uC (0 ) 0) заменяются противодействующими источниками ЭДС с EC uC (0 ) . Ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия (iL (0 ) 0) , размыкаются, в случае ненулевых начальных

21

условий (iL (0 ) 0) индуктивности заменяются на содействующие источники тока с JL iL (0 ).

Далее процедура расчета продолжается аналогично описанной выше до получения начальных значений высших производных. Исходной информацией для построения каждой i-й последующей вспомогательной цепи служат значения i-й производной напряжений на емкостях и токов в индуктивностях, определяемых через значения (i – 1)-й производной соответствующих токов в емкостях и напряженийна индуктивностях. В соответствии с соотношениями

Следует отметить, что для неизменных во времени воздействий во всех вспомогательных схемах, начиная со схемы, соответствующей первым производным сигналов, источники напряже-

ния заменяются короткозамкнутыми участками E 0 , а ветви с источниками тока размыкаются J 0 .

Это замечание справедливо и для источников, которые замещают реактивные элементы при нулевых начальных условиях

(iL 0 0 и uC 0 0).

Таким образом схемно осуществляется операция дифференцирования, адекватная дифференцированию системы уравнений Кирхгофа. Описанный способ определения начальных значений выходных сигналов и их производных легко формализуется и может быть автоматизирован, что делает его более привлекательным в сравнении с традиционным.

1.6. Переходные процессы в цепях I порядка

Рассмотрим примеры расчета переходных процессов в неразветвленных электрических цепях, с достаточной степенью наглядности иллюстрирующие физические явления, происходящие в них в переходных режимах.

22

1.6.1.Разряд заряженной емкости через сопротивление R

1.Запишем правило коммутации для цепи на рис. 1.6:

3. Полное решение дифференциального уравнения: uC (t) uCпр uCсв .

Поскольку уравнение имеет первый порядок, свободная составляющая содержит одну экспоненту:

1 t

uC (t) uCпр Ae pt uCпр Ae RC .

4.Определим принужденную составляющую: uCпр 0 .

5.Для определения постоянной интегрирования A запишем полное решение для момента t = 0+

uC (0 ) uCпр A .

Применив правило коммутации, получим:

23

окончательное решение:

1 t

uC (t) U0e RC .

Ток в цепи определяется с помощью дифференциального закона Ома:

iC (0 ) UR0 , iC (0 ) 0 .

Итак, имеем две экспоненты, описывающие изменения uC и iC . Графики изменения uC (t) и iC (t) представлены на рис. 1.7.

U0

uC

t

iC

UR0

Рис. 1.7

Напряжение на конденсаторе непрерывно в момент коммутации и уменьшается по экспоненциальному закону от начального значения U0. Знак «минус» в выражении для тока означает то, что ток при разряде конденсатора направлен противоположно току при его заряде. В начальный момент значение тока максимально, его спад связан с уменьшением напряжения на элементах цепи. Ток на емкости меняется скачком.

Определим величину, характеризующую скорость изменения электрической величины в переходном режиме, называемую

постоянная времени ( ).

24

Величина показывает, за какой промежуток времени свободная составляющая переходногопроцессауменьшается в e раз:

Чем больше , тем медленнее переходный процесс, тем больше tпп . Хотя полученные выше выражения определяют бес-

конечную длительность переходного процесса – свободные составляющие лишь асимптотически стремятся к нулю, практически можно считать, что переходный процесс заканчивается за время, равное (3 5) .

Постоянную времени можно графически определить по длине подкасательной, проведенной в любой точке свободной составляющей переходного процесса (рис. 1.8).

uC

t

Рис. 1.8

Постоянная времени измеряется в секундах и для цепей первого порядка связана с корнем характеристического уравнения

Для цепи (см. рис. 1.6) RC , следовательно, p RC1 .

25

Рассмотрим энергетические соотношения, описывающие работу цепи после коммутации.

Энергия электрического поля конденсатора до коммутации опре-

CuC R uC E .

Характеристическое уравнение цепи:

pCR 1 0 ,

корень которого

p R1C .

26

Постоянная времени 1p RC . 3. Запишем полное решение:

1 t

uC (t) uCпр uCсв uCпр Ae RC .

Здесь свободная составляющая также включает только одну экспоненту, поскольку цепь имеет первый порядок.

4. Определим uCпр , при t напряжение на конденсаторе будет равно ЭДС источника:

uCпр E .

5. Подставив в полное решение t = 0+, определим постоянную интегрирования на основании правил коммутации: A E .

Таким образом, окончательный результат имеет вид

u (t) E 1 e RC1 t . C

Ток в цепи

Графики изменения uC (t) и iC (t) представлены на рис. 1.10.

uC , iC

E

ER

uC(t)

iC(t)

t

Рис. 1.10

27

Значение тока, содержащее лишь свободную составляющую, максимально в начальный момент времени, когда оно скачком достигает значение ER, и все напряжение источника приложено к

резистору. По мере зарядки конденсатора напряжение на нем повышается, что ведетк соответственному уменьшению тока вцепи.

1.6.3. Подключение RL-цепи к источнику постоянного напряжения

1. Запишем правило коммутации для цепи, изображенной на рис. 1.11:

Корень характеристического уравнения и постоянная времени соответственно имеют вид:

p RL , RL .

3. Полное решение имеет следующий вид:

R t

iL (t) iLпр iLсв iLпр Ae L .

4.Принужденная составляющая iLпр ER .

5.Подставив t = 0+ в iL(t), на основании правила коммутации определим постоянную интегрирования:

A ER .

28

Порядок расчета переходных процессов, описанный выше, не претерпевает никаких изменений.

1. Запишем правило коммутации:

uC (0 ) uC (0 ) 0 .

2. Дифференциальное уравнение и соответствующее ему характеристическое уравнение имеют вид:

uC uR e(t), uC CuC R e(t), 1 RpC 0.

Корень характеристического уравнения p RC1 .

3. Полное решение для рассматриваемой цепи первого порядка:

4. Расчет принужденной составляющей произведем символическим методом:

30