книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

Такимобразом, токв цепи изменяетсяпо следующему закону:

Напряжение на индуктивности

Напряжение на конденсаторе

или из второго закона Кирхгофа

uC (t) E Ri(t) L dtdi .

Наличие принужденной составляющей E показывает, что uC является решением неоднородного дифференциального уравнения.

Сравнивая полученные выражения для тока i и напряжений uC, uL с выражениями, полученными при анализе разряда емкости в колебательном контуре, видим, что закон изменения тока и напряжения на индуктивности в обоих случаях один и тот же, но различаются только знаками, так как теперь рассматриваем заряд конденсатора. Напряжение на конденсаторе при разряде изменяется от начального значения (в 0) U0 до нуля, а при заряде – от нуля до конечного значения (принужденной составляющей) E; изменение происходит по аналогичному закону.

Характер переходного процесса, как и при разряде конденсатора, зависит от корней характеристического уравнения. Зависимости тока i и напряжения uC имеют характер, изображенный на рис. 1.21 (апериодический заряд) и на рис. 1.22 (колебательный заряд).

51

1.7.6.Общий случай расчета переходного процесса

вцепях II порядка классическим методом

Порядокрасчетапереходныхпроцессовклассическимметодом:

расчет независимых начальных условий (ток через индуктивность и напряжение на конденсаторе) по виду цепи в докоммутационный период;

расчет принужденной составляющей xпр (t) переходного

процесса;

определение корней характеристического уравнения;

определение вида свободной составляющей xсв (t) пере-

ходного процесса в зависимости от полученных корней;

запись полного решения: x(t) xпр (t) xсв (t) ;

определение постоянных интегрирования;

нахождение окончательного полного решения x(t) ;

построение графика.

Пример. Проиллюстрируем рассмотренную выше методику на примере цепи второго порядка. Пусть дана цепь (рис. 1.23) с параметрами: Е = 30 В, J = 2 А, R1 = 20 Ом, R2 = 10 Ом,

С = 100 мкФ, L = 50 мГн.

Найти: закон изменения тока i1(t) после коммутации классическим методом.

52

Рис. 1.23

1. Правила коммутации:

iL(0–) = iL(0+) = 0 А,

uC (0–) = uC (0+) = JR2 = 20 B.

2. Составление характеристического уравнения цепи.

Составляем систему дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа:

Методом исключения получаем из данной системы дифференциальное неоднородное уравнение:

Соответствующее ему характеристическое уравнение имеет

вид

p2 L CR1R2 p R1 R2 0.

53

Подставим значения параметров цепи: p2 + 700p + 300 000 = 0.

Корни характеристического уравнения

p1 = – 350 + j421,308, p2 = – 350 – j421,308

являются комплексными сопряженными, следовательно, переходный процесс в цепи имеет колебательный характер.

3. Определение принужденной составляющей. Рассматри-

ваемая цепь в принужденном режиме имеет вид (рис. 1.24):

4. Определение свободной составляющей. Для цепей, харак-

теристические числа которых имеют комплексные сопряженные значения, свободная составляющая определяется в виде

i1св t e t A1 cos свt A2 sin свt ,

где – декремент затухания, св – частота свободных колебаний, которые определяются через корни характеристического уравне-

ния p1,2 j св .

Таким образом, в выражении i1св необходимо найти постоянные интегрирования А1 и А2. Вычисление их ведется с помощью системы уравнений, составленных для момента времени t = 0+:

54

4.1. Определение значений i1 (0 ) и i1 (0 ) с использованием системы уравнений Кирхгофа. В данном случае составляется система уравнений Кирхгофа для момента времени t 0 и методом исключения выражается значение тока i1 (0 ) через известные значения uC(0+) и iL(0+):

i1 (0 ) E uC (0 ) 0,5 A .

R1

Дифференцируя выражение для i1(t), получим:

Произведя необходимые преобразования и подстановки в системе уравнений Кирхгофа, получим:

Подставив соответствующие значения uC и iL в момент t = 0+, рассчитаем:

i1 (0 ) 250 A/с.

4.2. Определение i1(0+) и i1 (0 ) с использованием резистив-

ных схем замещения в момент t = 0+.

Схема замещения в момент t = 0+ для величин токов и напряжений, построенная в соответствии с правилами, изложенны-

55

Таким образом, схема замещения в момент t = 0+ для производных имеет вид (рис. 1.26). Определим: i1 (0 ) uC (0 )R1 ,

i1 (0 ) 250 Ac .

EC

R1 R2

Рис. 1.26

4.3. Определение постоянных интегрирования:

13 A1 0,5,

421,308A2 350A1 250.

Решив данную систему уравнений, получим:

А1 = 0,1667, А2 = – 0,455.

5. Определение полного решения. Полное решение следует искать в виде

i1(t) = i1пр + i1св.

С учетом произведенных расчетов получим:

i1 (t) 13 e 350t 0,167cos 421,308t 0,455 sin 421,308t .

Для удобства построения графика преобразуем полученное выражение в синусоидальную форму:

57

Рассмотренный выше классический метод расчета переходных процессов, будучи прозрачным и наглядным, имеет недостатки, связанные с громоздкой процедурой определения начальных условий, которые усугубляются с ростом порядка исследуемой цепи. В связи с этим в последнее время все большее применение находят другие методы расчета переходных процессов: операторный и частотный методы, метод пространства состояний, которые и будут рассмотрены дальше.

1.8.Задачи и вопросы

Типовые задачи

Задача 1

Дано: длясхемы(рис. 1.28) E = 200 В, R = 10 кОм, С= 1 мкФ.

Найти: закон изменения в переходном режиме напряжения uC (t), токов i(t), i1 (t), i2 (t).

58

2. Значение напряжения на емкости в докоммутационном установившемся режиме (t = 0−) определяется обычно условиями задачи (в рассматриваемом примере емкость не заряжена):

uCпр uR 2ER R E2 100 В. 4. Свободная составляющая

t

uCсв Ae pt Ae .

Постоянная времени для цепей первого порядка в цепях с емкостью определяется по формуле:

59

5. В соответствии с п. 1 полное решение переходного процесса следующее:

uC (t) 100 Ae 200t .

6. Для определения постоянной интегрирования А воспользуемся правилами коммутации, которые запрещают скачок емкостного напряжения в момент коммутации:

uC (0 ) uC (0 ),

7. Окончательно для емкостного напряжения имеем: uC (t) 100(1 e 200t ) В.

8. Токи можно найти, используя законы Ома и Кирхгофа:

i2 (t) CuC (t) 1 10 6 ( 100) ( 200)e 200t 0,02e 200t А; i1 (t) uRC 0,01 (1 e 200t ) А;

i(t) i1 (t) i2 (t) 0,01(1 e 200t ) А.

Качественная временная диаграмма емкостного напряжения uC (t) и тока i2 (t) представлена на рис. 1.30.

Найти: закон изменения в переходном режиме токов i1 (t), i2 (t), i3 (t) .

60