книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

3. МЕТОД ПРОСТРАНСТВА СОСТОЯНИЙ

Расчет переходных процессов в сложных электрических цепях с произвольной конфигурацией, включающей любое количество конденсаторов и катушек, весьма трудоемкий, как было показано ранее. В связи с этим большое значение имеет разработка алгоритмов, легко формализуемых и, как следствие, просто реализуемых при применении вычислительной техники. К такому методу относится метод пространства состояний (переменных состояния), который стал первым методом, позволившим алгоритмизировать формирование уравнений для электрических цепей достаточно общего вида.

Переменными состояния называют величины, число которых определяется порядком электрической цепи и значения которых достаточны для однозначного описания цепи в целом. Поскольку ток индуктивностей и напряжение на емкостях следует рассматривать как главные переменные, характеризующие состояние цепи, именно их и целесообразно выбирать в качестве переменных пространства состояния.

Обоснование выбора:

эти величины определяют энергетическое состояние цепи;

подчиняются правилам коммутации;

при таком выборе уравнение состояния выглядят наиболее просто.

Общий путь расчета переходных процессов методом пространства состояний основан на составлении n дифференциальных уравнений первого порядка относительно переменных со-

стояния xi, записанных в канонической форме или форме Коши. Основой для формирования системы для линейной цепи служат линейные уравнения Кирхгофа и компонентные уравнения элементов цепи, поэтому такая система уравнений состояния является линейной и имеет следующий вид:

111

где X , X – матрицы– столбцы переменных состояния (основные

реакции цепи) и их производных размерности n 1, где n – порядок цепи; V – матрица– столбец входных функций (воздействий) размерности m 1, где m – число входных функций; Y – матрица– столбец выходных величин (дополнительных реакций) размерностью l 1, где l – число выходных величин; A, B, C, D – матрицы связи, размерностикоторых соответственно(n n), (n m), (l n), (l m).

Пример. Для произвольной электрической цепи второго порядка, содержащей индуктивность и емкость, с источником тока и ЭДС, в которой необходимо определить закон изменения тока i1 (t) , уравнения состояния будут выглядеть следующим образом:

Интегрирование дифференциальных уравнений из системы (3.2) с целью определения переменных состояния и нахождения выходных величин путем решения алгебраических уравнений (3.3) может выполняться различными методами, а именно: это аналитическое ре-

112

шение, как в области оригиналов, так и в области изображений по Лапласу, а также аналоговое и цифровое моделирование с привлечением вычислительной техники. Цифровое моделирование, являющееся наиболее предпочтительным особенно для систем высокого порядка, основано на численном интегрировании с применением метода Эйлера, которое предполагает квантование интервала интегрирования на одинаковые отрезки (шаг интегрирования) и замену опе-

рации дифференцирования отношением конечных разностей xt ,

если величина шага интегрирования t . Тогда производная в конце n-гошагаможетбытьпредставленаследующимобразом:

xn xn 1 t xn .

Уравнение (3.2) на n-м шаге квантования: xn Axn Bvn .

Значение переменной x на (n + 1)-м шаге квантования: xn 1 xn t xn Axn Bvn t xn .

В результате преобразований получают рекуррентное соотношение:

где n – текущий шаг квантования; t – шаг интегрирования; xn – значения переменной состояния на n-м шаге; vn – значения входного сигнала наn-м шаге; 1 – единичнаяматрица; А, В– матрицы связи.

Для первого шага интегрирования (n = 1) уравнение (3.4) приобретает вид:

x1 x0 1 tA tBv0 ,

где x0 – значения переменных состояния в момент времени 0+, которые по правилам коммутации берутся равными в момент

времени 0– ( iL (0 ) iL (0 ) и uC (0 ) uC (0 ) ).

113

Соотношение (3.4) легко программируется и имеет ясный физический смысл. Оно определяет положение точки в пространстве состояний на (n + 1)-м шаге, исходя из ее состояния на n-м шаге при аппроксимации траектории на участке t прямолинейным отрезком с постоянной скоростью x( t).

Нахождение коэффициентов матриц связи А и В возможно путем записи полной системы уравнений Кирхгофа и преобразования их к совокупности n дифференциальных уравнений I порядка в форме (3.1) относительно токов индуктивностей и напряжений на емкостях. Точно так же совокупность l алгебраических уравнений Кирхгофа, выражающих в форме (3.2) выходные величины, определяют коэффициенты матриц С и D. Чтобы каждое уравнение, записанное по первому и второму законам Кирхгофа, было дифференциальным уравнением I порядка относительно iL и uC, каждый контур и сечение должны содержать только один реактивный элемент.

Однако возможно применение стандартной процедуры построения матриц связи, не требующей предварительного составления уравнений Кирхгофа. Основанием для этого служит то обстоятельство, что элементы матриц A, B, C, D являются псевдопередаточнымикоэффициентами вспомогательныхрезистивных цепей.

С целью нахождения коэффициентов матриц связи запишем для моментаt = 0+ систему уравнений(3.1) вматричнойформе(3.5):

114

Если в уравнении (3.5) попеременно полагать все начальные значения x1 (0), , xn (0), v1 (0), , vm (0) равными нулю, кроме

одного, приравниваемого единице, значения элементов расши-

ментами соответствующего столбца матриц A и C либо B и D. Данное утверждение формирует алгоритм определения искомых матриц, основанный на принципе суперпозиции.

В исходной цепи выделяются источники воздействия (для определенности k), индуктивности (q) и емкости (m), затем образуется расчетная резистивная цепь, в которой удалены все источники воздействия (источники ЭДС замыкают накоротко, ветви с источниками тока размыкают), оборваны ветви, содержащие индуктивности, и замкнуты накоротко емкости.

Эта цепь рассчитывается по методу наложения. Сначала единичный источник тока включают поочередно q раз вместо каждой индуктивности, далее единичный источник напряжения включают поочередно m раз вместо каждой емкости. И, наконец, единичные источники напряжения и тока включаются поочередно k раз в ветви, где были расположены источники соответствующих воздействий vi. При расчете каждой из таких вспомогательных схем определяются значения напряжений uL , токов iC и

выходных величин y, которые удобно записывать в виде таблицы, содержащей искомые значения элементов матриц.

Пример. Проиллюстрируем предлагаемую методику на примере цепи II порядка (см. рис. 1.23).

Матричная схема уравнений в переменных состояния для произвольной цепи имеет вид (3.1). В этой системе уравнений переменными состояния для электрической цепи (см. рис. 1.23) являются индуктивный ток iL и емкостное напряжение uC, входными функциями – напряжение источника ЭДС E и ток источника тока J, выходная величина – искомый ток i1, т.е.

x1 iL uLL , x2 uC iCC , x1 iL , x2 uC , v1 E, v2 J , y1 i1.

115

В соответствии с вышеизложенным матричная система уравненийпринимает следующий вид:

iL a11iL a12uC b11E b12 J ,uC a21iL a22uC b21E b22 J ,i1 c1iL c2uC d1E d2 J.

Рассмотрим два способа получения матриц связи.

1. Получение коэффициентов матриц А, В, С, D с помощью составления системы уравнений Кирхгофа:

i1 E uC . R1

116

Выразим из полученной системы уравнений искомые коэффициенты матриц связи:

2. Получение коэффициентов матриц А, В, С, D с помощью канонической процедуры. В процессе решения заполняется табл. 3.1 по изложенным вышеправилам.

Искомые коэффициенты определяются в результате рассмотрения вспомогательных резистивных цепей (рис. 3.1–3.4).

а) U J uL JR2 R2 , uL uL L ,

в) i1 = 0 , с1 = 0.

Рис. 3.1

117

3.1.Задачи и вопросы

Типовые задачи

Задача 1.

Дано: для электрической цепи (рис. 3.5) заданы параметры ее элементов: E = 40 В, R = 40 Ом, С = 500 мкФ, L = 1 Гн.

118

Это матричное уравнение необходимо еще дополнить матрицей начальных состояний цепи, которая включает напряжение

на емкости и ток в индуктивности в момент времени t 0 :

Коэффициенты матричного уравнения также можно получить методом наложения, рассмотрев две подсхемы с источниками единичных воздействий (рис. 3.7).

Задача 2.

Дано: для электрической цепи (рис. 3.8) заданы параметры

ее элементов: E = 120 В, R1 = R3 = R4 = 1 Ом, R2 = R5 = 2 Ом,

L1 = 1 мГн, L2 = 2 мГн, С = 10 мкФ.

Найти: уравнение состояния.

120