книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

Таким образом, (5.11) позволяет установить связь между комплексными спектрами входного и выходного сигналов:

которая не только определяет спектр выходного сигнала (реакции), если известны передаточная функция цепи и спектр входного сигнала (воздействия), но и лежит в основе спектрального метода расчета переходных процессов.

Алгоритм расчета спектральным методом состоит из следующих этапов:

1.Для заданного входного сигнала f(t) с помощью (5.1) определяется спектр F(jω).

2.С помощью символического метода определяется передаточная функция W(jω).

3.Определяется спектр выходного сигнала с помощью (5.12) по известным F(jω) и W(jω).

4.Определяется выходной сигнал y(t) с помощью обратного преобразования Фурье (5.11).

Сам по себе этот путь расчета не дает каких-либо существенных преимуществ по сравнению с изложенным выше операторным методом. Существенное преимущество частотного метода обнаруживается при нахождениитока i(t) по заданному напряжению u(t),

когда имеем практически осуществленную сложную линейную электрическую цепь или вообще какое-либо сложное устройство с линейными электрическими элементами и есть возможность снять экспериментально зависимость входного комплексного сопротивления илипередаточнойфункциицепиот частоты.

171

Таким же образом можно получить безразмерные передаточные функции Wuu , Wii , например, для RC-цепи (рис. 5.9):

172

Рассмотрим примеры расчета переходных процессов спектральным методом.

5.4.Связь преобразования Фурье

спреобразованием Лапласа

Взадачах о переходных процессах в электрических цепях часто приходится иметь дело с функцией времени, тождественно равной нулю при отрицательных значениях аргумента:

Преобразование Лапласа носит формальный характер, и его трудно наделить физическими свойствами. Оно позволяет получить для заданной функции времени f (t) однозначно ей соответствую-

щее операторное изображение F( p) , если f (t) имеет экспоненци-

альный порядок роста, т.е. возрастает со временем не быстрее экспоненты. В этом случае подынтегральное выражение (5.14) убывает со временем и интеграл приобретает конечное значение, если выбрать достаточно большой вещественнуючасть параметраp.

173

Прямое преобразование Фурье (5.1), применяемое к сигналам типа (5.13), принимает вид одностороннегопреобразованияФурье:

Оно, как и прямое преобразование Фурье, существует в обычном смысле, т.е. комплексный спектр принимает конечное значение, только если функция f (t) абсолютно интегрируема.

Очевидно, что преобразование Лапласа (5.14) и одностороннее преобразование Фурье (5.15) по структуре и написанию тождественны, если заменить в них одно постоянное число другим: p на j либо обратно. Поэтому, пользуясь обратным преобразо-

ванием Фурье в обобщенной форме, можно записать обратное преобразование Лапласа, дающее возможность вычислить оригинал f (t) по его операторному изображению F( p) :

Преобразование Лапласа является более общим, так как p рассматривается как комплексная величина.

Таким образом, преобразование Лапласа и преобразование Фурье различаются ограничениями, накладываемыми на функцию f (t) . В преобразовании Лапласа функция f (t) должна быть

с ограничным ростом, а в преобразовании Фурье – абсолютна интегрируема. Однако встречаются сигналы, не удовлетворяющие условию абсолютной интегрируемости, но имеющие порядок роста, т.е. такие, для которых F( p) существует, а F( j ) не

выражается обычными функциями. В этом случае возникает различие в момент времени t 0 , появляется импульсная составляющая, которую необходимо учитывать при расчете.

174

Задача 2.

Дано: RC-цепь (рис. 5.11, а), на вход которой поступил экспоненциальный сигнал (см. рис. 5.12, б).

175

Рис. 5.11

Найти: закон изменения тока i2(t).

Решение.

Определим передаточные функции. Передаточная проводимость

передаточные функции по току и напряжению определяются как:

176

R1R2 C jj R1 R2

Спектр I2 j Wui E j .

Входное напряжение изменяется по экспоненциальному закону, соответствующее ему изображение по Лапласу имеет вид

Воспользуемся обратным преобразованием Фурье (5.11):

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.Одинаковы ли классы функций, для которых могут быть выполнены прямые преобразования Лапласа и Фурье?

2.В чем заключается родственность преобразований Фурье

иЛапласа?

3.Могут ли принимать отрицательные значения амплитуд- но-частотная и фазочастотная характеристики?

4.Для некоторой функции f (t) известно ее изображение по

Лапласу F( p) . Какзаписатьспектральнуюплотностьэтойфункции?

5. Можно ли рассчитать частотным методом переходные процессы, происходящие в электрических цепях с ненулевыми начальными условиями?

177

6. Определить частотный спектр сигналов, представленных на рис. 5.12.

7. Определить спектральную плотность выходного напряже-

ния (рис. 5.13).

8. Определить спектральную плотность выходного напряже-

ния (рис. 5.14).

178

9. На вход электрической цепи (рис. 5.15) в момент времени t 0 подается постоянное напряжение uвх E . Найти частотный

спектр напряжения uвых .

ОТВЕТЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

К главе «Классический метод расчета переходных процессов»

3. Верно: б, и, л, о.

10.г, е.

11.а) 2, б) 2.

13. а) iL RC1 iL L1C iL 0 , для определения значений в момент времени t 0 рекомендуется воспользоваться схемами замещения:

179

дует расчет по стандартной методике.

21.Рекомендуется для получения характеристического уравнения воспользоваться методом входного сопротивления.

22.Для определения характера переходного процесса в цепи необходимо получить характеристическое уравнение и оценить значение дискриминанта этого уравнения.

23.uC (0 ) uC (0 ) 3ER R 100 B , iL (0 ) iL (0 ) 3ER 1 A .

Резистивная схема замещения в момент времени t 0 представлена ниже.

i2 (0 ) E uC (0 ) iL (0 ) 1 A ,

R

uC (0 ) iC (C0 ) i2 (C0 ) 104 Bc ,

180