книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

Пример расчета

Дана цепь (рис. 1.64) с параметрами E = 200 B, R1 = R3 = R5 =

= 100 Ом, R2 = R4 =400 Oм, L = 0,2 Гн.

Рис. 1.64

Определить закон изменения тока i4(t) в переходном режиме при условии, что срабатывание коммутаторов происходит в моменты времени:

1)K1 в t = 0,

2)K2 в t = 2 1, где 1 – постоянная времени цепи, образован-

ной в результате первой коммутации.

iL (0 ) iL (0 ) i2 (0 ) , iL (0 ) i3 R2 R4 R4 R5 R5 ,

81

Расчет послекоммутационной цепи 2. Определение корней характеристического уравнения

2.1. Составим характеристическое уравнение по методу входного сопротивления (рис. 1.66):

Z p pL R2 R1 R3 R4 R5 0 , R1 R3 R4 R5

p1 L R2 R1 R3 R4 R5

R1 R3 R4 R5

1 0,2 400 100 100 400 100 2714,3 с 1,

100 100 400 100

82

Следовательно, p = –1/ = –1/0,368 = 2714,286 c–1.

3.Запишем полное решение в виде суммы принужденной

исвободной составляющей:

i4 t i4пр i4св i4пр A1e 2714t .

83

5. Расчет свободной составляющей.

Схема замещения в момент времени 0– представлена на рис. 1.69, а, где JL1 = iL(0–) = 0,345 A.

Определим ток i4(0+) методом наложения. Согласно схеме

(рис. 4.69, б)

200 / 700 0,286 A.

По схеме (рис. 11.69, в)

Полный ток

i4 i4E i4J 0,286 0,0986 0,1874 А.

84

Таким образом,

i4 (0 ) 0,1874 А .

Определим постоянную интегрирования:

i4(0+) = 0,211+ A1 = 0,1874; A1 = – 0,0236.

Таким образом,

i4(t) = 0,211 – 0,0236e–2714t

на промежутке t = (0+, tk2), гдеt = 0+ – моментпервойкоммутации.

Вторая коммутация

Для расчета переходных процессов в цепи после второй коммутации введем дополнительную переменную t1 = t – 2 1.

iL t iLпр iLсв ,

85

С помощью правил коммутации определим постоянную интегрирования:

iL (0 ) 0,263 Α2 iL (0 ) 0,345 А, 0,263 + A2 = 0,345, A2 = 0,082.

Следовательно,

iL (t) 0,263 0,082e 2714t .

Для второй коммутации

iL (0 ) iL (2τ1 ) 0,263 0,082e 2714 0,368 2 10 3 0,293 А iL (0 ) .

Расчет послекоммутационной цепи

2. Определение корней характеристического уравнения

Составим характеристическое уравнение методом входного сопротивления (рис. 1.71):

2 1/ p 0,375 10 3 мс.

3.Запишем полное решение:

i4 (t1 ) i4пр А2е-2667t1 .

4. Расчет принужденной составляющей (рис. 1.72):

86

5. Расчет свободной составляющей. Схема замещения в момент t1 = 0+ для второй коммутации имеет вид (рис. 1.73), на которой величина задающего тока источника тока

JL2 iL (tk 2 ) iL (2 1 ) 0,293А.

Определим ток i4(0+) методом наложения (рис. 1.74).

Составляющая от действия источника ЭДС (см. рис. 1.74, а):

Составляющая от действия источника тока (см. рис. 1.74, б):

87

Определим постоянную интегрирования: i4(0+) = 0,25 + A3 = 0,2353; A3 = – 0,0147.

Таким образом,

i4 (t ) 0,25 0,0147e 2667t

для промежутка времени t 2 1; .

Итак, закон изменения тока после срабатывания первого коммутатора:

i4(t)1 = 0,211 – 0,0236e–2714t

после срабатывания второго коммутатора:

i4(t1)2 = 0,25 – 0,0147e–2667t , где t1 = t – 2 1.

На рис. 1.75 изображен график изменения i4(t) в переходных режимах после срабатывания первого и второго коммутаторов.

i4(t), А

0,2353

0,2

0,1

t1(0+)

Рис. 1.75

88

2.1.Преобразование Лапласа

2.1.1.Условия существования, ограничения

Известно, что функция (2.1), называемая интегралом Лапласа, которая ставит в соответствие оригиналу f(t) операторное изображение F(p), т.е. f(t) = F(p), имеет вид

Поскольку это несобственный интеграл, то надо оговорить условия его сходимости:

функция f(t) должна отвечать условиям Дирихле;

функция f(t) ограничена, т.е. при t она конечна или если и растет по модулю, то не быстрее некоторой экспоненциальной

В этом случае интеграл Лапласа сходится, т.е. имеет конечное значение при условии, что Re( p) .

Итак, всегда можно выбрать достаточно большое Re( p) ,

не уточняя, какое именно, так, что F(p) в полуплоскости является однозначной функцией, т.е. интеграл Лапласа существует в области .

Основным достоинством преобразования Лапласа является его простая связь с частотным спектром функции f(t), широко используемом в теории и современной технике. В преобразовании Лапласа обычно подразумевают, что интервал интегрирования начинается с момента возмущения t = 0+, так что оно не отражает особенностей функции в точке t = 0.

Преобразование Лапласа может учитывать изменение физической величины в точке t = 0, если его представить в форме

90