книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

i iR iL iC CuC

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

iпp (t)

t e arctg

;

sin

uCпp (t)

sin

t e arctg

Обозначим

, arctg

применим

1 2

формулу приведения:

uCпp (t) ImC cos t e .

5. Для расчета постоянной интегрирования запишем полное решение для момента t = 0+:

uC t uCпр t Ae RC1 t ;

uC 0 ImC cos e A.

В соответствии с правилом коммутации

		A	Im		cos( e ).
		A	C		cos( e ).
			C
Таким образом,
	1					1	t
							t
uC (t) Im		cos t		e cos e e		RC		,
uC (t) Im		cos t		e cos e e		RC		,
	C

обозначим XC 1C , тогда

cos e e

uC (t) Im XC cos t e

Определим:

iC (t) CuC

sin t e cos e

;

iC (t) Im sin t e

cos e

;

cos e e

iC (t) Im sin t e

Оба выражения для uC иiC в общем случае имеют периодическую принужденную и апериодическую свободную составляющие. При этом характер переходного процесса существенно зависит от двух факторов – начальной фазы напряжения источника в момент включения e и соотношения параметров цепи XC и R.

Исследуем ожидаемое влияние фазы включения e источника на переходный режим:

1) Пусть e 0 . Поскольку cos 0 = 1, получим:


					1		t	;
uC (t) Im XC cos t e					RC			;

i (t) I	sin t	XC	e	1		t	.
		XC		RC
				RC
С	m	R
		R

а) исследование кривой напряжения (рис. 1.14) наглядно демонстрирует, что максимальное напряжение в переходном режиме ограничено: UCmax 2UCmпр;

б) исследование кривой тока (рис. 1.15) демонстрирует, что максимальное значение тока в переходном режиме зависит от соотношения XC и R и может превышать Imпр в несколько раз.

	UCmax	uC(t)
	ImXC	uC(t)
	ImXC
		uCсв

		t
		uCпр
	–ImXC
		Рис. 1.14

	Im	i
	Im
			iпр
-					t
			Xc R		t

	X C			X c R
Im	X C	iсв	i(t)
Im	R	iсв	i(t)
		iсв	Рис. 1.15
			Рис. 1.15

Однако этот начальный всплеск тока является кратковременным.

2) В случае, если e			,	поскольку cos				0 , получим:
		2					2
	t					Im XC sin t;
uC (t) Im XC cos	t				0	Im XC sin t;
				2

	t			Im cos t.
iC (t) Im sin		2	0

Таким образом, в данном случае в цепи переходный процесс не наблюдается.

1.7. Переходные процессы в цепях II порядка

Одна из классических задач в теории переходных процессов – анализ разряда конденсатора с емкостью C на цепь, обладающую активным сопротивлением R и индуктивностью L.

	1.7.1. Разряд емкости на цепь RL
	R	1. Независимые начальные условия
		для рассматриваемой цепи (рис. 1.16):
	L	u (0 ) u (0 ) U		0	;
C	i	C	C	0
C	i	i (0 ) i (0 ) 0.
		L	L
	uC	2. Дифференциальное уравнение цепи
	Рис. 1.16	2. Дифференциальное уравнение цепи
	Рис. 1.16	и корни характеристическогоуравнения:
uR uL uC 0; iR R LiL uC 0; iC iL iR i CuC ;
		LCuC RCuC uC	0 .

Характеристическое уравнение:

	LCp2 RCp 1 0				или p2		R	p	1		0		.			(1.12)
	LCp2 RCp 1 0				или p2			p	LC		0		.			(1.12)
							L		LC
Корни характеристического уравнения:
			R	2	1
		R		4		R				R		2	1
		R		4	LC	R				R		2	1
p			L		LC										.	(1.13)
p		2L		22		2L				2L				LC	.	(1.13)
1,2		2L		22		2L				2L				LC

. В этом случае переходный процесс на-

3. Полное решение uC (t) uCпр Aiepit uCсв (t). Вид сво-

0 i 1,2

бодной составляющей и характер переходного процесса будут определяться тем, какими числами будут корни характеристического уравнения. Это зависит от соотношения между параметрами цепи, в частности, от подкоренного выражения в уравнении (1.13). Здесь возможны три варианта:

1)		R 2	1	R 2	L	2 ,	где – волновое сопротив-

			LC		C
		2L
ление	контура,		т.е.	для низкодобротных контуров Q < 0,5.

При этом корни p1 и p2 – вещественные отрицательные разные; 2) R 2 или Q = 0,5: корни p1 = p2 – вещественные отрица-

тельные равные;

3) R 2 или Q > 0,5: корни p1 и p2 – комплексные сопря-

женные.

В первых двух случаях переходный процесс носит апериодический характер (напряжение на емкости uC монотонно затухает до нуля, не меняя своей полярности); в третьем случае процесс разряда – колебательный.

4. Найдем постоянные интегрирования А1 и А2, для чего возьмем производную uC (t) :

uC (t) A1 p1e p1t A2 p2e p2t .

1.7.2. Апериодический разряд емкости на цепь RL

Рассмотрим случай, когда p1,2 – действительные и отрица-

тельные, т.е. 2RL LC1

зывается апериодическим и вид полного решения следующий: uCпр 0; uC (t) uC св (t) A1ep1t A2ep2t .

Рассмотрим функции uC (t) и uC (t) в момент времени t 0 :

uC (0 ) A1 A2 ?uC (0 ) A1 p1 A2 p2 ?

Определим правые части приведенных выше уравнений:

u (0 ) u (0 ) U				0	;
C		C
iC iL CuC ; uC	iL		uC (0 )			iL (0 )	0.
	C					C

Тогда система уравнений для определения постоянных интегрирования А1 и А2 принимает следующий вид:

uC (0 ) A1 A2 uC (0 ) U0 ,uC (0 ) A1 p1 A2 p2 0.

Решим полученную систему уравнений.

A p

1 1

U0 ,

A p

( p

p )

U0 .

U0 p2

; аналогично:

U0 p1

p1 p2

Таким образом, искомое uC (t) имеет вид

p t

(t) U

e 1

e 2

p1 p2

(1.14)

p1t

p2t

p2e

p1e

Получим функцию изменения тока в цепи:

С учетом того, что по теореме Виета p p		1	, закон из-
	2
1		LC
менения тока принимает следующий вид:

i		U0			e p1t e p2t .			(1.15)
i	L( p p			)	e p1t e p2t .			(1.15)
		1	2
Напряжение на резисторе
uR iR			U0 R				e p1t e p2t .	(1.16)
uR iR		L( p p				)	e p1t e p2t .	(1.16)
		L( p p				)
			1		2

Получимфункциюизменения напряжения наиндуктивности:

uL (t) LiL		U0			p1e p1t p2e p2t .	(1.17)
	p			2
			p
	1

Качественно изобразим графики полученных функций (рис. 1.17), для чего проведем следующие исследования.

Определим начальные значения функций:

– напряжение на конденсаторе

u	C	(0 ) u				(0 ) U				p1 p2							U	0	,
u		(0 ) u				(0 ) U											U		,
					Cсв			0 p p							2
											1				2
что не противоречит начальным условиям;
– ток и напряжение на резисторе:
						U0					0			0
i(0			)					e				e					0,
i(0			)		L( p p )			e				e					0,
					1		2
						U0 R						0				0
uR (0				)					e				e				0
uR (0				)		L( p	p	)	e				e				0
					1		2

– напряжение на индуктивности

uL (0 ) p1U0 p2 p1 e0 p2e0 U0 .

u i

e p1t

	t1	uC(t)
	t1	t
		t

e p2t

i(t)

uR(t)

uL(t)

–U0

Рис. 1.17

Поскольку p1 0,

p2 0 и

, то при изменении вре-

мени t от 0 до величины e p1t

и e p2t убывают от 1 до 0, и раз-

ность этих экспонент

e p1t e p2t

всегда положительна. Следова-

тельно, ток i не меняет своего направления, т.е. конденсатор все

время разряжается; в частности, при uC (0 ) U0 0 ток отрица-

телен. Такой односторонний разряд конденсатора и называют

апериодическим разрядом.

На рис. 1.17 изображены зависимости i(t), uR(t), uC(t) и uС(t). В интервале времени 0 t t1 ток по абсолютному значению воз-

растает, в интервале времени t1 t ток по абсолютному зна-

чению убывает, стремясь к нулю. Напряжение на конденсаторе также монотонно убывает, стремясь к нулю.

В момент времени t1 имеет место перегиб в кривой напряжения на конденсаторе uC (t) , следовательно, ток имеет максималь-

ное значение, а напряжение на индуктивности uL (t) равно нулю. В момент времени t2 наблюдается перегиб в кривой тока, а напряжение uL (t) принимает максимальное значение.

Значение t1 определяется из условия:

di(t)

uL (t)

0 ,

t t1

uL (t)

p1e p1t1

p2e p2t1 0,

L( p p

)

t t1

p e p1t1

ep2t1

решение полученного уравнения следующее:

ln p2

t1 p1 . (1.18) p1 p2

Значение t2 определяется из условия:

duL (t)

p1t1

p2t1

t t2

( p

)

p2 e

решение уравнения:

		2ln		p2
t		2ln		p	2t .	(1.19)
				p
	2			1

		p1	p2		1
		p1	p2

Из уравнения

uC (L dtdi Ri)

следует, что напряжение на зажимах конденсатора в любой момент времени уравновешивается суммой напряжения самоиндукции на зажимах катушки и напряжения на участке с сопротивле-

нием. В первый момент времени, когда uR (0 ) iR 0 , напряже-

ние на зажимах конденсатора полностью уравновешивается напряжением на зажимах катушки. Ток начинает возрастать по абсолютному значению именно с такой скоростью, чтобы наступило равновесие. В интервале 0 t t1 напряжение uC частично

уравновешивается напряжением на катушке и частично напряжением на сопротивлении. С возрастанием времени на долю катушки приходится все меньшее напряжение, и, соответственно, скорость нарастания тока уменьшается.

В момент времени t1 uC = –uR, т.е. оставшееся к этому моменту времени напряжение на конденсаторе полностью уравновешивается напряжением на сопротивлении. Поэтому ток дальше возрастать не может. В этот момент он достигает максимального значения, так как после этого момента он должен убывать вследствие того, что конденсатор продолжает разряжаться.

Напряжение на конденсаторе и ток в нем в момент времени 0 t t1 имеют разные знаки, следовательно, мгновенная мощность

конденсатора pC uC i 0 , т.е. энергия отдается конденсатором из его электрического поля. Напряжение на индуктивности и на сопротивлении одного знака с током, следовательно, pL uLi 0 и

pR i2 R 0 , т.е. энергия поступает в индуктивность, запасаясь в ее магнитномполе, и выделяется в видетеплотыв сопротивлении.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 194 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202353.56 Mб2Теория и технология получения наноструктурированных компактных материалов..pdf
#
12.11.202313.91 Mб18Теория инженерного эксперимента..pdf
#
12.11.202310.16 Mб2Теория информации..pdf
#
12.11.202315.46 Mб0Теория ленточных конвейеров для крупнокусковых горных пород..pdf
#
12.11.2023610.78 Кб1Теория лидерства лидерство в организации..pdf
#
12.11.20231.63 Mб6Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы.pdf
#
12.11.20233.18 Mб50Теория линейных электрических цепей. Ч. 1.pdf
#
12.11.20231.54 Mб2Теория линейных электрических цепей. Ч. 2.pdf
#
13.11.202324.53 Mб11Теория литейных процессов..pdf
#
12.11.202313.07 Mб7Теория механизмов и машин задания, упражнения и задачи к курсовому проекту..pdf
#
12.11.202316.79 Mб5Теория механизмов и машин курсовое проектирование..pdf