книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

Полученное дифференциальное уравнение цепи, как правило, является неоднородным.

В соответствии с классической теорией дифференциальных уравнений полное решение неоднородного дифференциального уравнения находится в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения:

Частное решение полностью определяется видом правой части f(t) дифференциального уравнения. В электротехнических задачах правая часть зависит от параметров воздействующих источников электрической энергии, поэтому вид xчаст (t) обусловли-

вается (принуждается) источниками электрической энергии и называется принужденной составляющей xпр (t) .

Общее решение xобщ (t) однородного дифференциального

уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которые определяются коэффициентами дифференциального уравнения, и не зависит от вида правой части. В прикладных задачах электротехники xобщ (t) не зависит (свободно) от парамет-

ров воздействующих источников и по этой причине называется свободной составляющей xсв(t) и полностью определяется пара-

метрами пассивных элементов цепи, а физически – процессом перераспределения запасов энергии электрического и магнитного полей в реактивных элементах цепи.

Таким образом, электрическая величина в переходном режиме:

Свободную составляющую xсв(t) переходного процесса находят в виде

11

k 1

где n – порядок цепи, совпадающий с порядком дифференциального уравнения; pk – корни характеристического уравнения (собственные числа цепи); Ak – постоянные интегрирования.

Собственные числа линейных цепей либо действительные отрицательные, либо комплексные с отрицательными вещественными частями (т.е. находятся в левой полуплоскости комплексных чисел). Поэтому xсв(t) носит преходящий (асимптотически

затухающий до нуля) характер:

лять величины xпр (t) , n, pk, Ak.

1.1. Определение принужденной составляющей

Уравнение (1.4) при t принимает вид x( ) xпр( ) ,

так как свободная составляющая xсв( ) затухает до пренебрежимо малых размеров. Эти соображения позволяют утверждать,

что принужденная составляющая переходного процесса xпр (t)

совпадает со значением соответствующей величины в послекоммутационном установившемся режиме и может быть получена изученными ранее расчетными методами.

Электрическая цепь для расчета принужденных составляющих от источников постоянных воздействий должна быть чисто резистивной (индуктивности заменяются короткозамкнутыми участками, а емкости – разомкнутыми). При наличии источников с гармоническими воздействиями расчет принужденных составляющих ведется символическим методом.

12

1.2. Определение порядка цепи n

Порядок цепи совпадает с порядком дифференциального уравнения цепи. Однако в ряде случаев составление дифференциального уравнения цепи не является рациональным способом для определения ее порядка. В частности, для разветвленных цепей с большим количеством различных накопителей энергии составление дифференциального уравнения достаточно затруднительно. В этом случае возможная оценка порядка цепи с помощью специальных оценочных формул. А для сравнительно простых цепей, содержащих малое число катушек индуктивности и емкостей, для определения порядка цепи достаточновоспользоваться несложнымиправилами.

В частности, порядок цепи, содержащей только один реактивный элемент, всегда равен n = 1. Если в цепи только два разнореактивных элемента (одна индуктивность и одна емкость), ее порядок n = 2. В простейших случаях несколько более сложных цепей низкого порядка можно руководствоваться следующей рекомендацией:

порядок цепи определяется количеством независимых реактивных элементов в этой цепи, другими словами, количеством независи-

мых начальных условий. Так, например, фрагменты цепей, приведенных нарис. 1.3, даютвклад в величину n:

Рис. 1.3

В случае сложных цепей с большим количеством реактивных элементов порядок определяется оценочными формулами.

13

14

1.3. Определение корней характеристического уравнения

Если получено итоговое дифференциальное уравнение цепи (1.2), то для составления характеристического уравнения и определения его корней неоднородное дифференциальное уравнение цепи преобразуют в однородное, приравняв его правую часть нулю. Полученное однородное дифференциальное уравнение алгебраизируют с применением преобразования Лапласа. Для этого

d n x(t) заменяются dtn

операторной переменной p в соответствующей степени, а сама искомая функция x(t) заменяется единицей:

Следует отметить, что процедура получения дифференциального уравнения (1.2) не всегда очевидна и достаточно трудоемка (в частности, для разветвленных цепей высших порядков). Поэтому разработаны более простые и удобные методы составления характеристического уравнения.

Приведем некоторые из них без доказательства в виде практических рекомендаций.

1.3.1.Метод входного сопротивления (входной проводимости)

Рассмотри алгоритм схемного определения корней характеристического уравнения цепи:

составить цепь, соответствующую свободному режиму (для этого удалить все источники электрической энергии: источники ЭДС замыкаютсянакоротко, ветвисисточникамитокаразмыкаются);

разомкнуть цепь в произвольной ветви и относительно точек разрыва записать входное комплексное сопротивление Z ( j ) ,

15

при этом комплекс емкостного сопротивления Z C j 1C , а индук-

тивного Z L j L;

вполученномвыраженииповсеместновеличину j заменить операторнойпеременнойp, асамовыражениеприравнятькнулю;

составленное уравнение Z ( p) 0 является искомым ха-

рактеристическим уравнением цепи.

Следует отметить, что для цепей, содержащих большое количество параллельных ветвей, удобно пользоваться методом входной проводимости. Метод состоит в том, что записывается эквивалентная комплексная проводимость между двумя произвольными узлами послекоммутационной цепи с отключенными источниками. Далее, как и в предыдущем случае, j заменяется на р и решается уравнение Y ( p) 0 .

1.3.2. Метод главного определителя

Возможно определение корней характеристического уравнения с помощью алгебраизации системы однородных дифференциальных уравнений, составленных с применением метода контурных токов. Для этого:

составить цепь, соответствующую свободному режиму, путем исключения источников по известному правилу;

выбрать независимые контуры и задать направление контурных токов в них;

составить главный определитель ( j ), состоящий из

собственных и общих контурных комплексных сопротивлений;повсеместно заменить j на p, и полученный определи-

тель приравнять к нулю, уравнение ( p) 0 – характеристическое уравнение:

16

p2CLR1 p(CR1R2 L) R1 R2 0.

Метод главного определителя. Выберем независимые кон-

туры и укажем направление их обхода (см. рис. 1.5). Составим главный определитель, заменяя j на p,

17

p2 LCR1 pCR1R2 pL R1 R2 0. pC

Как видно, оба метода приводят к одному характеристическому уравнению.

Существует еще один способ, основанный на определении постоянной времени, применимый только для цепей I порядка.

Постоянной времени цепи называют промежуток времени, за который свободная составляющая искомой величины изменяется в е раз. Время переходного процесса прямо пропорционально и приближенно определяется как

быть отрицательными или иметь отрицательную действительную часть. Постоянная времени для цепей I порядка связана с корнем характеристического уравнения:

Причем для цепей I порядка, содержащих емкость, постоянная времени = RэС, а для цепей I порядка, содержащих индуктивность, постоянная времени = L/Rэ, где Rэ – эквивалентное сопротивление послекоммутационной цепи, вычисленное относительно зажимов единственного реактивного элемента (накопителя энергии) при удаленных источниках.

18

1.4. Определение постоянных интегрирования

Как известно из курса математики, постоянные интегрирования определяются с учетом граничных условий. При расчете переходных процессов в электрических цепях в качестве граничных условий выступают начальные условия, каковыми являются значения искомой функции и ее производных по (n – 1)-ю включительно в начальный момент времени 0+ («справа»). В отличие от чисто математических задач, где эти условия задаются в качестве исходных данных непосредственно, при анализе переходных процессов задаются начальные условия «слева» в момент t = 0–, предшествующий коммутации (чаще всего они формулируются самой постановкой задачи и легко определяются из расчета докоммутационного режима). Нахождение начальных условий «справа» по известным значениям начальных условий «слева» – ключевой момент в расчете переходных процессов.

Опишем процедуру определения начальных условий в цепи n-го порядка:

1) для послекоммутационной схемы ( 0 t ) составить систему уравнений для мгновенных значений токов и напряжений по законам Кирхгофа, дополнить эту систему компонентны-

индуктивности; 2) рассмотреть полученную систему уравнений в момент

t = 0+ с учетом независимых начальных условий, которые по правилам коммутации берутся равными начальным условиям «слева», в результате определить зависимые начальные условия, в том числе значения первых производных от индуктивных токов и емкостных напряжений;

3) для отыскания значений первых производных от зависимых электрических величин и вторых производных от независимых электрических величин необходимо систему уравнений из п. 1 продифференцировать и рассмотреть ее в момент t = 0+ с учетом информации, полученной в п. 2;

19

4) процедура дифференцирования продолжается до тех пор, пока не будет найдена (n – 1)-я производная искомой функции в 0+, где n – порядокцепи.

Система уравнений для определения постоянных интегрирования имеет следующий вид:

Здесь для определенности полагаем все корни характеристического уравнения pk вещественными разными числами. Кроме того, следует учитывать, что при наличии в цепи только источников постоянных воздействий значения производных от принужденной составляющей переходного процесса равны нулю.

1.5. Применение резистивных схем замещения

Описанная выше процедура определения начальных значений искомых величин и их производных в момент времени t = 0+ достаточно громоздка и трудоемка. Однако расчет можно упростить, применив схемное эквивалентирование рассмотренного выше алгоритма, придающее процедуре отыскания начальных значений наглядность и сводящееся к расчету резистивных цепей с источниками постоянных воздействий.

Для определения начальных значений токов и напряжений изображается расчетная резистивная цепь, характеризующая рас-

пределение токов и напряжений в момент начала переходного процесса t = 0+.

В этой цепи ветви с индуктивностями, имеющими нулевые начальные условия (iL (0 ) 0), размыкаются, в случае ненулевых на-

20