книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

Решение

Удобнее начать расчет с тока в ветви с индуктивностью.

1. Полное решение для индуктивного тока определяется по формуле:

i2 (t) i2пр i2св .

3. Принужденную составляющую тока определим по схеме

(рис. 1.33):

4. Свободная составляющая

t

i2св Ae pt Ae ,

61

i2св Ae 66 , 7 t .

5. Помня о том, что индуктивный ток в момент коммутации не изменяется скачком, определим постоянную интегрированияА:

6. Окончательное решение для индуктивного тока:

Временные графики токов представлены на рис. 1.34. Ток i2(t) в ветви с индуктивностью не изменяется скачком в момент коммутации, атокиi1(t) и i3(t) изменяютсяскачком.

62

3. Принужденная составляющая тока (ток установившегося послекоммутационного режима) будет создаваться только источником гармонического напряжения (рис. 1.37):

iпр Im sin(1000t 15 ) ,

63

где

Таким образом,

iпр 10sin(1000t 30 ) А. 4. Свободная составляющая тока

64

5.Полное решение:

i(t) 10sin(1000t 30 ) Ae 1000t А.

6.Постоянную интегрирования A найдем из начального условия, которое можно получить на основании закона коммутации (индуктивный ток в момент коммутации не изменяется скачком):

i(0 ) i(0 ) 20 А.

В момент времени t 0 значение переходного тока подчиняется полному решению при t 0 :

i(0 ) 10sin( 30 ) A 5 A 20 .

Откуда A 15 .

7. Окончательное решение:

i(t) 10sin(1000t 30 ) 15e 1000t А.

График изменения тока i(t) в течение переходного процесса представлен на рис. 1.38.

Условнаядлительностьпереходногопроцесса tпп 5p 0,005 с.

Задача 4

Дано: для схемы (рис. 1.39) J = 12 А, L = 0,1 Гн, R = 100 Ом, С = 62,5 мкФ.

Найти: закон изменениятока iC (t) послеразмыканияключа.

Решение.

1. Полное решение тока в емкости в переходном режиме: iC (t) iC пр iC св .

2. Независимые начальные условия определим по схеме (рис. 1.40) в старом установившемся режиме (t = 0–). Очевидно, что это схема с нулевыми начальными условиями, т.е.

65

i

10

iпр

t

i(t)

-10 iсв

-20

3. Принужденную составляющую искомого тока определим по схеме (рис. 1.41). Очевидно, что она равна нулю, так как в цепи действует источник постоянного тока, и в установившемся послекоммутационном режиме емкость представляет собой бесконечно большое сопротивление,

iC пр 0 .

66

Z ( j ) R j L j 1C .

Характеристическое уравнение:

iCсв A1e p1t A2e p2t A1e 200 t A2e 800 t .

5. Полное решение для переходного емкостного тока:

iC A1e 200 t A2e 800 t .

Найдем закон изменения первой производной от тока в емкости во время переходного процесса:

iC 200A1e 200 t 800A2e 800 t .

67

6. Для определения постоянных интегрирования A1 и A2 необходимо знание двух начальных условий:

iC (0 ) A1 A2 ,

iC (0 ) 200A1 800A2 .

Для определения численных значений тока в емкости и его производной в момент времени t = 0+ составим уравнения по законам Кирхгофа для этого момента времени с учетом независимых начальных условий.

Для послекоммутационного режима (0 t ):

iC iL J ,RiL LiL uC .

Для момента времени t = 0+:

Сучетомнезависимыхначальныхусловий, определенныхвп. 2,

iC (0 ) J ,

Li (0 ) 0.

L

Таким образом, iC (0 ) 12 А, iL (0 ) 0 А/с.

Для определения второго начального условия продифференцируем уравнение, записанное по I закону Кирхгофа, и рассмотрим его в момент времени t = 0+:

iC (0 ) iL (0 ) 0 ; iC (0 ) 0 А/с.

Для нахождения A1 и A2 необходимо решить систему уравнений:

A1 A2 12,

200A1 800A2 0.

68

Таким образом, A1 = 16 А, A2 = − 4 А. 7. Окончательное решение:

iC (t) 16e 200 t 4e 800 t .

График изменения тока в емкости представлен на рис. 1.43.

i

16

16e 200t

12

iC(t)

t

-4 4e 800t

Рис. 1.43

Задача 5.

Вусловии задачи 4 изменить величину емкости С, приняв

С= 8 мкФ.

Решение

Изменения в решении начнутся с п. 4. Решение характеристического уравнения даст новые корни:

p1 500 j1000 с–1; p2 500 j1000 с–1.

Переходный процесс колебательного характера, таким корням соответствует свободная составляющая переходного процесса в виде:

iCсв Ae 500 t sin(1000t ) ,

где А и α – постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.

69

5. Полное решение для переходного емкостного тока и его производной:

6. Рассмотрев полученные уравнения в момент времени t = 0+ с учетом независимых начальных условий, получим

В результате решения системы уравнений получим:

A 13,4 А; 63,4 . 7. Окончательное решение:

iC (t) 13,4e 500t sin(1000t 63,4 ) А.

График изменения тока в емкости представлен на рис. 1.44.

1. Верно ли, что в момент коммутации в линейной электрической цепи не изменяется скачком:

а) индуктивный ток; б) емкостный ток;

70