книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

В качестве количественной оценки -функции выступает площадь под кривой, имеющая конечное значение и определяющаяся в виде

Реакцией системы на единичное ступенчатое возмущение является переходная характеристика h(t), а реакцией на -функцию –

импульснаяхарактеристика k(t) (рис. 4.3).

Переходная и импульсная характеристики также связаны между собой соотношением

Введем понятие обобщенных переходной и импульсной характеристики.

Функция h(t) определена на всем диапазоне изменения абсциссы t, однако переходная характеристика может появиться на выходе системы только после подачи на вход единичного ступенчатого возмущения, в то время как весь предыдущий промежуток времени она должна равняться нулю. Для удобства аналитических преобразований над исследуемыми функциями времени обобщенной характеристикой будем называть функцию

131

Тогдаобобщеннаяимпульснаяхарактеристикаопределяетсякак

Во втором слагаемом запишем h(0), так как (t) обладает фильтрующим действием(онанеравнанулю только в моментt = 0).

Определение переходных и импульсных характеристик осно-

вано на расчете переходных процессов, возникающих в цепи при подключении источников с единичными входными воздействиями. Следует отметить, что переходная и импульсная характеристики для одной и той же системы могут быть различны, а следовательно, иметь различную размерность в зависимости от выбора входного и выходного сигнала. Поэтому удобно сопровождать запись этих характеристик двойным индексом (первый указывает на выбранное входное воздействие, второй – на реакцию).

Если в качестве входного сигнала выбран ток, схемно подача на вход такой системы единичного ступенчатого возмущения реализуется в виде подключения источника тока с J = 1 А. Если входной сигнал – напряжение, расчет переходных и импульсных характеристик ведетсяприподключении источника ЭДСсE = 1 В(рис. 4.4).

Рис. 4.4

Пример. Рассмотрим определение всех возможных переходных и импульсных характеристик напримере RC-цепи(рис. 4.5).

Для любой цепи существуют четыре переходных и соответст-

вующих им импульсных характеристики: huu(kuu), hui(kui), hiu(kiu), hii(kii). Чтобы определить все эти функции, нужно решить четыре задачи

расчетапереходныхпроцессоввэлектрическихцепях(рис. 4.6).

132

uC (0 ) uC (0 ) 0 .

2) Составим характеристическое уравнение цепи методом входного сопротивления:

Z p pC1 R 0 .

133

Корень данного уравнения:

p RC1 . 3) Искомое полное решение:

1 t

uC t uCпр uCсв uCпр Ae RC .

4) Принужденная составляющая: uCпр E .

5) Постоянная интегрирования определяется с помощью правила коммутации:

uC (0 ) E A 0, A E .

Таким образом, в общем случае:

Переходные характеристики записываются при Е = 1 В и соответственно имеют вид

134

2. Операторный метод

Для расчета переходных характеристик операторным методом необходимо определить передаточную функцию системы.

Передаточной функцией системы называют отношение опера-

торного изображения выходного сигнала к операторному изображению входного сигнала при нулевых начальныхусловиях:

сигнал.

Операторная функция зависит только от параметров цепи и ее конфигурации и не зависит от вида входных воздействий.

Получим связь передаточной функции и переходной характеристики. По определению передаточной функции и переходной характеристики

Для нахождения оригинала h(t) возможно использование теоремы разложения. Для рассматриваемого примера передаточная функция имеет вид

W p UC ( p) . E( p)

Выразим UC(p) через Е(p) с помощью операторной схемы замещения (рис. 4.7):

135

Таким образом, передаточная функция

W ( p) UEC((pp)) RpC1 1 .

Переходную характеристику определим с помощью теоремы разложения:

Результаты решения различными методами совпали. Описанные алгоритмы применимы для расчета переходных и импульсных характеристик в любых цепяхрассматриваемого класса.

4.2. Формы записи интеграла Дюамеля

Рассмотрим на примерах способы представления входных сигналов (рис. 4.8, а, б) в виде суперпозиции ступенчатых (рис. 4.8, в) или импульсных функций (см. рис. 4.8, г).

На рис. 4.8 в, г наглядно проиллюстрирована возможность перехода от суммы к интегралу при устремлении t dt .

Для получения необходимых формул представим входное воздействие, в общем виде описываемое любой кусочно-гладкой функцией f(t), совокупностью элементарных дельтаобразных составляю-

136

щих (рис. 4.9), возникающих во все моменты времени от нуля до моментанаблюдения t. Составляющая f(t) является импульснойфункцией, отличнойотнулявточкеt = , сплощадьюимпульса f :

137

Для получения «полного» входного и выходного сигнала применим принцип наложения:

При устремлении t dt осуществим переход от суммы к интегралу. В результате получим полную реакцию системы к моменту наблюдения, учитывающую все импульсные компоненты воздействия, возложенные на интервал 0 t). Применим к полученному выражению теорему о свертке:

Раскрывая значение k( ) с помощью (4.7), получаем:

Нижний предел во втором интеграле должен быть смещен к точке t = 0– для того, чтобы учесть значение импульсной составляющей в точке t = 0. В первом интеграле (4.15) множитель 1( ) можно опустить, так как в пределах интервала интегрирования ( > 0) 1( ) = 1; а также в силу фильтрующего действия -функции второйинтегралупрощается. Окончательно получим:

Формулы (4.16), (4.17) соответствуют так называемым третьей и четвертой формам записи интеграла Дюамеля. Они по-

138

зволяют рассчитать реакцию линейной цепи на произвольное воздействие f(t), когда задана импульсная характеристика. Необходимо иметь в виду, что входящая в первое слагаемое функция f(t) выражает значение воздействия в момент наблюдения t.

Выполним в третьей форме (4.16) интегрирование по частям

uτ k( ) u h( ), v(t ) f (t ), vτ f (t ) :

В результате необходимых преобразований получим первую (4.19) и с применением теоремы о свертке вторую (4.20) формы записи интеграла Дюамеля:

Эти формулы позволяют рассчитывать реакцию системы на произвольное входное воздействие f(t), когда задана переходная характеристика.

Если рассматривается кусочно-гладкое воздействие f , которое на интервале наблюдения 0 t претерпевает разрывы, то производная f t во всех точках разрыва ti будет содержать импульсную составляющую f ti t ti . Из последнего интеграла извлекутся слагаемые вида f ti h t ti , к которым относит-

ся и первое слагаемое при t = 0. Интеграл при этом разобьется на сумму интегралов с соответствующими пределами:

139

момент разрыва ti; q – число разрывов или нарушений гладкости; t – момент наблюдения.

4.3. Последовательность расчета переходных процессов при помощи интеграла Дюамеля

Порядок расчета переходных процессов при помощи интеграла Дюамеля может быть следующим:

1)с помощью классического или операторного метода определить переходную характеристику цепи;

2)определить производную входного воздействия и заменить в ней текущее время t на переменную интегрирования ;

3)используя одну из форм интеграла Дюамеля, выполнить расчет реакции цепи.

Если воздействие представлено в виде кусочно-разрывной функции текущего времени t, то расчет реакции производят на каждом отдельном участке непрерывности воздействия. При этом учитывают разрывы непрерывности воздействия на границах отдельных участков.

В случае, когда воздействие произвольной формы прикладывается к активной цепи или к цепи с ненулевыми начальными условиями, расчет переходных процессов можно вести методом наложения, принимая, что искомая величина содержит в переходном процессе две составляющие, одну из которых можно найти с помощью интеграла Дюамеля при нулевых начальных условиях, а другую составляющую, обусловленную начальным запасом энергии в цепи, − любым из рассмотренных ранее методов, например, классическим или операторным.

140