Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

4.4.Задачи и вопросы

Типовые задачи

Задача 1.

Дано: RC-цепь (рис. 4.10), на вход ко-			R
торой поступил	прямоугольный импульс			C
торой поступил	прямоугольный импульс
(рис. 4.11, а),		x(t)



x t	10,	t t1 ,
	10,	t t1 ,	Рис. 4.10
		t t1.	Рис. 4.10
	10,	t t1.

Найти: закон изменения выходного напряжения в переходном режиме.

	x	x1(t)					x1(t)
10		x1(t)				10	x1(t)	t1
10						10	t
					t
		t1			t				t
–10				x2(t)				–10	x2(t)
			а	x2(t)			б	в
			а				б	в

Рис. 4.11

Решение.

а) Данный импульс можно представить в виде суперпозиции двух ступенчатых функций 1(t) – 1(t – t1) и, рассчитав переходные процессы на каждую из составляющих (переходная функция для данной схемы была получена в примере из подразд. 4.1), получить результат в виде суммы двух реакций (рис. 4.11, б, в):

			1	t
				t
y		e	RC		и
y	t 10 1	e			и
1

			1	t t1
			RC	t t1
y2		e	RC		,
y2	t 10 1	e			,

		1	t			1	t t1
		RC	t			RC	t t1
	e	RC			e	RC
y t 10 1	e			10 1	e			.

141

Здесь мы дважды рассчитали переходный процесс, возникающий в рассматриваемой цепи. Причем, момент наблюдения находится на интервале (t1; + ), т.е. оба ступенчатые возмущения уже «сработали».

б) Получим искомую функцию реакции с помощью интеграла Дюамеля:

– на промежутке 0 t t1 : f t 10 («сработало» только одно ступенчатое возмущение):

h(t) 1 e

t , x (t) 10 B,

t x1 (0)h(t)

x1 h t d 10 1 e

;

10 h t d 10

– на промежутке 0 t («сработали» оба ступенчатые возмущения)

y 2 t

x1 (0)h(t) 1

x1 h t d х2 (t1 ) х1 (t1 ) h t t1

(t)h

t d 10(1

)

10 (1 e

10 0 (1 e

t t1

)

( 10) (1

10(1 e RC1 t ) 10(1 e RC1 t t1 ).

Задача 2.

Дано: RL-цепь (рис. 4.12, а), на вход которой подают воздействие f(t), заданное графиком (рис. 4.12, б).

Найти: напряжение на индуктивности.

142

	R	f
	R
		100
f(t)	L	y(t)
		t2	t3
		t1	t4	t5	t

а-50

Рис. 4.12

Решение.

1. Определим переходную характеристику huuL (t) классиче-

ским методом.

а) правило коммутации iL (0 ) iL (0 ) 0 .

б) корни характеристического уравнения найдем через по-

стоянную времени	L	, где R R :			p 1		R	.
	Rэ		э				L
	Rэ						L
в) полное решение: iL (t)			E	Ae	R	t .
			E		L
			R		L
			R

г) постоянная интегрированияiL (0 ) ER A 0 A ER . Таким образом,

iL t	E			R	t

			e	L

		1			.
	R

Напряжение на индуктивности связано с током дифференциальной зависимостью:

uL (t) LiL (t)

или uL (t) L

Искомая переходная характеристика (Е = 1):

R t

huuL (t) e L .

143

2. Определим uL t с помощью второй формы записи интеграла Дюамеля для разрывной функции (4.20):

– первый интервал 0 < t <t1: f(t) = 100 ( f(0) = 100)

u t 100e

d ;

100 e

– второй интервал t1 < t <t2: f(t) = 0 ( f(t1) = −100)

t 100e

t t1

d 100e

d ;

100 e

0 e

– третий интервал t2 < t <t3: f(t) = −50 ( f(t2) = −50)

uL t

100e

100 e

t t2

0 e

d 50e

d ;

50 e

– четвертый интервал t3 < t <t4: f(t) = 0 ( f(t3) = 50)

uL t 100e

d 100e

t t1

100 e

d 50e

t t2

d 50e

t t3

0 e

50 e

0 e

d ;

– пятый интервал t

< t <t :

f (t)

100

t t

( f(t

) = 0)

t5 t4

uL t 100e

d 100e

100 e

0 e

t t2

t t3

50e

50 e

0 e

144

t t4

100

t t1

t t4 e

100e

R t t2

t t3

100

50e

d ;

100

e L

100

;

– шестой интервал t5 < t < : f (t) 0

( f = −100)

uL t 100

t 100e

t t1

50e

t t2

50e

t t3

100

t t5

d 100e

0 e

d ;

t5 t4

100

t5 t4

Задача 3.

Дано: для электрической цепи (рис. 4.13, а) заданы параметры элементов R1 = R2 = 10 Ом, L = 20 мГн. Входное напряжение цепи u(t) представлено графически (рис. 4.13, б).

i1(t)	R1	i2(t)	u
u(t)	iL(t)		20
u(t)	iL(t)	L	R2
		L



5		1 t, мс

а	б
	Рис. 4.13

145

Найти: закон изменения входного тока i1(t) при включении цепи на напряжение u(t) и его значение в момент времени t 15 10 3 с.

Решение.

1. Определим переходную характеристику hui (t) . Вспомним, что переходная характеристика hui (t) численно равна реакции цепи (току i1 (t) ) при подключении цепи к источнику постоянного

напряжения величиной 1 В (рис. 4.14). Эту задачу можно решить любым известным методом, например классическим, в соответствии с которым полное решение переходного процесса ищется в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

i1 (t) i1пр i1св .

i1(t)	R1	i2(t)
Е = 1 В	iL(t)	L	R2
Рис. 4.14
Принужденная составляющая

i1пр ER R1 0,1 А,

свободная составляющая ищется в виде

i1св Ae ,

где постоянная времени определяется по формуле

L	L(R1	R2 )	0,004 с.
R	R R		0,004 с.
R	R R
экв	1	2

146

Таким образом,

	i (t) 0,1 Ae 250t .
	1
Начальное значение тока:
	i (0 ) 0,1 A ,
	1
для определения	численного значения	тока	i (0 )	учтем, что
			1
iL (0 ) iL (0 ) 0 ,	и, следовательно,	по I	закону	Кирхгофа

i	(0 ) i	(0 ) . Тогда из II закона Кирхгофа для внешнего контура
1	2
следует:
		i	(0 )		E	1	0,05 А и A 0,05 .
		i	(0 )				0,05 А и A 0,05 .
		1		R1	R2	R1 R2
				R1	R2	R1 R2

Окончательно имеем:

hui (t) 0,1 0,05e 250t .

2. Определим входной ток при включении цепи на напряжение заданной формы (см. рис.4.13, б), воспользовавшись второй формой интеграла Дюамеля (4.20).

Расчет входного тока выполним раздельно на каждом участке непрерывности входного воздействия. Очевидно, что на первом участке t 0 ток на входе цепи равен нулю, так как входное воздействие отсутствует.

Входной ток на втором интервале 0 t t1 0,005 с:

i1 (t) u(0)h(t) t u ( )h(t )d ,

Найдемотдельныесоставляющие, входящиевэтовыражение: u1 (t) 0,20005 t 4000t В; u1 ( ) 4000 В/c; u1 (0) 0 ; u1 (t1 ) 20 В.

147

i1 (t) 0 t

4000(0,1 0,005e 250(t ) )d

400d t

200e 250t e250 d 400t 200e 250t

e250

250

400t 0,8e 250t (e250t 1) 0,8 400t 0,8e 250t

А.

Значение входного тока на границах второго интервала:

i1 (0) 0 ; i1 (0,005) 1,429 А.

Перейдем к расчету входного тока на третьем интервале

t1 t t2 0,01с:

i1 (t) u1 (0)h(t) u1 ( )h(t )d u2 (t1 ) u1 (t1 )

u2 ( )h(t )d .

Найдем отдельные составляющие этого выражения:

( ) 0 ; u2 (t1 ) 20 .

u2 (t) 20 В; u2

Подставим найденные значения в выражение для тока i1 (t) и

выполним расчет:

250(t )

250t

250

i1 (t) 4000 0,1 0,05e

d 400t1 0,8e

400 0,005 0,8e 250t

(e250 0,005 1) 2 2e 250t

А.

Значение входного тока на границах третьего интервала: i1(0,005) 1,43 А; i1(0,01) 1,84 А.

Подготовим величины, характеризующие воздействующее напряжение на четвертом интервале t t2 0,01с:

u3 (t) 0; u3 (t2 ) 0 ; u3 ( ) 0 .

148

Определим входной ток i1 (t) :

	t1	(t1 ) u1 (t1) h(t t1 )
i1(t) u1(0)h(t) u1( )h(t )d u2		(t1 ) u1 (t1) h(t t1 )
	0
t2		t
u2 ( )h(t )d u3 (t2 ) u2 (t2 ) h(t		t2 ) u3 ( )h(t )d
t1		t2
t1	u1 ( )h(t )d u3 (t2 ) u2 (t2 ) h(t t2 ) 2 2e 250t
0
( 20) 0,1 0,05e 250(t t2 ) 2 2e 250t		2 e 250t e 250( 0,01)

10,492e 250t А.

Значение входного тока на границе четвертого интервала: i1 (0,01) 0,861.

Для построения графика изменения i1(t) найдем значения тока на всех интервалах:

0 t t			:		i (t) 0,8 400t 0,8e 250t
		1			1
t, мс						0		1	2	3		4	5
i1(t), А						0		0,223	0,485	0,779		1,094	1,429
t		t t	2	:	i (t) 2 2e 250t
1			2		1
t, мс						5		6	7	8		9	10
i1(t), А						1,427		1,554	1,652	1,729		1,789	1,836
t	2	t : i (t) 10,429e 250t
	2				1
t, мс						10		11	12	13		14	15
i1(t), А						0,856		0,667	0,519	0,404		0,315	0,245
		График изменения i1(t)							i1
		График изменения i1(t)							2
представлен на рис. 4.15.									1
		При t 15 10 3 с входной							1				t, мс
		При t 15 10 3 с входной
ток i (t) 10e 250 0,015							0,245 А.			5	1
		1									Рис. 4.15
											Рис. 4.15

149

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.Укажите связь между переходной и импульсной характеристиками.

2.Как определить переходную и импульсную характеристики цепи?

3.Как определить, какую из четырех разновидностей переходных или импульсных характеристик необходимо применить в каждом конкретном случае при расчете реакции цепи?

4.Как определить реакцию цепи, если воздействие имеет сложную форму?

5.Каким условиям должна удовлетворять цепь при использовании интеграла Дюамеля?

6.Какой вид должно иметь приложенное к цепи воздействие при нахождении ее переходной и импульсной характеристики?

7.Может ли переходная характеристика цепи иметь размер-

ность:

а) сопротивления; б) проводимости;

в) быть безразмерной?

8.Цепь подключают под действие напряжения произвольной формы. Можно ли рассчитать переходный процесс в цепи с помощью интеграла Дюамеля, если:

а) в ней заданы ненулевые начальные условия; б) она является активным двухполюсником?

9.Переходная и импульсная характеристики для одной и той же электрической цепи:

а) совпадают; б) имеют одинаковую размерность?

10.Операторная передаточная функция (при нулевых начальных условиях) – это:

а) реакция цепи на импульсную функцию; б) отношение реакции цепи к входному воздействию;

в) отношение входного воздействия к реакции цепи;

150

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1915 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202353.56 Mб2Теория и технология получения наноструктурированных компактных материалов..pdf
#
12.11.202313.91 Mб18Теория инженерного эксперимента..pdf
#
12.11.202310.16 Mб2Теория информации..pdf
#
12.11.202315.46 Mб0Теория ленточных конвейеров для крупнокусковых горных пород..pdf
#
12.11.2023610.78 Кб1Теория лидерства лидерство в организации..pdf
#
12.11.20231.63 Mб6Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы.pdf
#
12.11.20233.18 Mб50Теория линейных электрических цепей. Ч. 1.pdf
#
12.11.20231.54 Mб2Теория линейных электрических цепей. Ч. 2.pdf
#
13.11.202324.53 Mб11Теория литейных процессов..pdf
#
12.11.202313.07 Mб7Теория механизмов и машин задания, упражнения и задачи к курсовому проекту..pdf
#
12.11.202316.79 Mб5Теория механизмов и машин курсовое проектирование..pdf