Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

1.63 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Операторные сопротивления:

XC ( p) pC1 4p , X L ( p) pL p.

Операторные ЭДС, учитывающие начальные условия:

uC (0 )	2	,	LiL (0	) 1.
p	p

Операторная ЭДС заданного источника: Ep 4p .

3. Расчет эквивалентной операторной схемы замещения методом узловых потенциалов:


	Y11 ( p) 1 ( p) J11 ( p);					1 ( p) UC ( p).
	E		uC (0 )		LiL (0 )			4	1	2			p	1		1
UC ( p)	pR		p 1 pC		pL R		p				p 4					p 1	.
UC ( p)		1		1	1							p					.
		1		1	1				1 1			p			1
		R							1 1						p 1
		R	1 pC pL R						2		4				p 1

После необходимых преобразований получим окончательно:

			U		( p)	2( p2		7 p 8)		.
				C		p( p2		7 p	10)

4. Для отыскания uC (t) воспользуемся теоремой разложения
в форме	(2.11),		где		F ( p) p2 7 p 8 – характеристическое
					3
уравнение, корни которого соответственно определяются как:
F3 ( p) 0					p1 2;
							p2 5 ; F3 ( p) 2 p 7 .
Таким образом,
uC (t)	16	2 ( 2)2 7( 2) 8 e 2t							2 ( 5)2 7( 5) 8 e 5t .
	10	( 2) 2( 2) 7							( 5) 2( 5) 7
										101

Окончательное решение:

uC (t) 1,6 23 e 2t 154 e 5t B .

2.6. Расчет свободных составляющих операторным методом

В тех случаях, когда изображение искомой величины может получиться громоздким (например, при наличии в цепи источников гармонических напряжений), имеет смысл применять операторный метод только для определения свободных составляющих переходного процесса. Для этого при составлении эквивалентной операторной схемы для свободных составляющих следует придерживаться следующих рекомендаций. Необходимо:

–удалить источники питания (источники напряжения замкнуть накоротко, ветви с источниками тока разомкнуть);

–операторные ЭДС в индуктивности и емкости должны определяться начальными значениями только свободных состав-

ляющих iLсв(0 ) и	uCсв(0 ) , т.е. операторная ЭДС в индуктивно-
сти равна LiLсв(0 )	, а в емкости она равна	uCсв (0 )	, где:
		p

iLсв (0 ) iL (0) iLпр (0 ), uCсв (0 ) uC (0) uCпр (0 ).

Проиллюстрируем эту идею на предыдущем примере, для чего сначала определим принужденные составляющие iLпр и uCпр

(рис. 2.7):
iLпр		E		2R			4		2	1,6 А,
iLпр	R	2R R	2R		R		2 1	2	1	1,6 А,
		2R R	2R		R	1	2 1	2	1
		2R R				1	2 1
		2R R					2 1
		uCпр		iLпрR 1,6 В,

102

iLсв (0 ) iL (0) iLпр (0 ) 1 1,6 0,6 A, uCсв (0 ) uC (0) uCпр (0 ) 2 1,6 0,4 B.

	R
			iLпр
E	2R	uCпр	R

Рис. 2.7

Эквивалентная операторная схема для свободных составляющих представлена на рис. 2.8.

uCсв (0 )

LiLсв

(0 )

0,4

0,6

UCсв( p)

p 1

1 1

Lp R

p 1

После преобразований по-				1
лучим:				4/p	p
		( p) 0,4 p 2,8 .
U	Cсв			2
		p2 7 p 10		0,4/p	1


Воспользуемся			теоремой		0,6
разложения в форме (2.10), корни
				Рис. 2.8
характеристического уравнения:

	p2 7 p 10	0	p 2;	p	2	5.
			1		2
uCсв (t)	0,4( 2) 2,8 e 2t	0,4( 5) 2,8 e 5t					2	e 2t		4	e 5t B .
uCсв (t)	0,4( 2) 2,8 e 2t	0,4( 5) 2,8 e 5t					3	e 2t	15		e 5t B .
	2( 2) 7		2( 5) 7				3		15

103

2.7. Задачи и вопросы

Типовая задача

Задача. В цепи (см. рис. 1.23) с параметрами: Е = 30 В, J = 2 А, R1 = 20 Ом, R2 = 10 Ом, С = 100 мкФ, L = 50 мГн определить ток i1(t) операторным методом.

Решение. С учетом независимых начальных условий (индуктивный ток iL(0–) = 0 А, емкостное напряжение uC(0–) = 20 B) изобразим операторную схему замещения (рис. 2.9).

Решение получается проще при использовании метода контурных токов. Контурныетоки выберем так, как показано нарис. 2.9.

I1(p)		IC(p)	I2(p)
			I2(p)
E/p		uC(0–)/p
E/p			R2	J/p
		1/(pC)	R2	J/p
I11(p)		1/(pC)
I11(p)		I22(p)
		IL(p)
R1		pL
		Рис. 2.9
Ток I33 ( p)	J	, тогда система уравнений имеет вид:
	p

( p)Z

( p),

( p)Z

( p).

Определим собственные и общие сопротивления, а также контурные ЭДС, полученные выражения подставим в систему уравнений:

104

E uC (0 )

I11

I22 ( p)

( p) R1

uC (0 )

I11

( p)

I22

( p) R2

После преобразований:

uC (0

)

I11

( p) R1

I22 ( p)

)

I11

( p)

I22

( p) R2

Подставим значения:

I11

( p) 20

I22

( p)

10 2 20

I11

( p)

50 10

I22 ( p) 10

Решимсистему уравнений припомощи методаопределителей:

2		103			103	0,1p2 70 p 3 104
2		p			p
		p			p		,
	104			104		p
		p	10	p 0,05 p

	1			103	0,05 p2 10 p 1 104 .
	p			p
1			104
	0	10		0,050 p	p2
			p

Изображение тока в первой ветви определится по формуле

I1 ( p) I11 ( p)		0,05 p2 10 p 1 104	F ( p)
		p 0,1p2 70 p 3 104	pF3 ( p) .
	1		1

105

Определим оригинал искомого тока с помощью теоремы разложения. Многочлен второй степени знаменателя прирав-

няем нулю	и получим	характеристическое уравнение цепи
F ( p) 0,1p2	70 p 3 104	0 , решением которого являются
3
комплексные сопряженные корни:
	p1,2	350 j421,31,

которые совпадают с полученными при решении классическим методом.

Оригинал тока определяем по формуле (2.11). Вычислим про-

и значение производной, а также значение много-

изводную F3

( p)

члена F1 ( p) прикорне p1 350 j421,31, подставим в(2.11):

0,2( 350 j421,31) 70 j84,262;

( p)

0,2 p 70 , F3 ( p1 )

F ( p ) 1 104 10( 350 j421,31) 0,05( 350 j421,31)2

3749,894 j10532,75;

i (t)

1 104

2 Re

3749,894 j10532,75

350t

j 421,31t

3 10

35500,42

j29491,7

350t

11180,36e j70,4

j 421,31t

46152,36e

j140,28

13 2 0,242e 350t Re e j69,88e j 421,31t

13 0,484e 350t cos(421,31t 69,88 )

13 0,484e 350t sin(421,31t 159,88 )

13 0,484e 350t sin(421,31t 2,79).

Данное решение совпадает с решением, полученным классическим методом (см. подразд. 1.7.6).

106

Вопросы и упражнения для самоконтроля

1.В чем состоит различие в учете независимых начальных условий при расчете переходных процессов в линейных электрических цепях классическим и операторным методом?

2.Какое из утверждений верно в операторной схеме заме-

щения:

а) индуктивность заменяется на резистор с величиной pL

исодействующий источник тока;

б) емкость заменяется на резистор с величиной 1/pС и противодействующий источник ЭДС;

в) источникЭДС заменяется наисточник ЭДС величиной E/p; г) резистор заменяется сам на себя?

3. При выполнении какого условия можно сложить операторные изображения сопротивлений (проводимостей) последовательных (параллельных) участков электрической цепи:

а) входное операторное сопротивление Z(p) двухполюсника можно получить, заменяя величину j на p в выражении его

комплексного входного сопротивления Z ( j ), рассчитанного

символическим методом; б) система уравнений Кирхгофа в операторной форме совпа-

дает с аналогичной системой уравнений, составленной для этой же цепи символическим методом при замене p на j , оператор-

ных изображений электрических величин на их комплексные представления?

4. Можно ли определить:

а) корни характеристического уравнения электрической цепи, зная операторное сопротивление этой цепи;

б) наличие принужденной составляющей в выражении искомой величины в переходном режиме по виду операторного изображения этой величины;

в) независимые начальные условия цепи по виду операторного изображения тока (напряжения);

107

г) характер переходного процесса в цепи второго порядка по виду операторного изображения напряжения произвольного участка электрической цепи;

д) закон изменения искомого тока в переходном режиме по виду операторного изображения этого тока, не используя теорему разложения?

5. Заданы параметры элементов электрической цепи (рис. 2.10), известно, что uC (0 ) 0 . Определить операторное изображе-

ние UC ( p) .
6. Для электрической	цепи	(рис. 2.11) задано: E = 100 В,
R1 = R2 = 10 Ом, L = 0,1 Гн, С = 10 мкФ. Найти операторное изо-
бражение: UC ( p) , UL ( p) ,	IC ( p) ,	IL ( p) .

R1		R1
R2	E	R2	С
E	E		С
L	С	L
		L

Рис. 2.10

Рис. 2.11

7. Заданы параметры элементов электрической цепи (рис. 2.12), известно, что E, J = const. Найти операторное изображение:

UC ( p) , IC ( p) , IL ( p) .

	R1
	R2
J	С	E
	L
	Рис. 2.12

108

8. Для электрической цепи (рис. 2.13) при помощи операторной схемы замещения определить:

а) ток i(t), если E = 100 В, R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, С1 = 60 мкФ, С2 = 20 мкФ;

б) начальное значение uC (0) и значение в новом стационарном режиме uCпр , если E1 = 120 В, E2 = 100 В R1 = 20 Ом,

R2 = 30 Ом, С = 100 мкФ;

в) ток iк(t), если E = 100 В, R1 = R2 = 10 Ом, С = 100 мкФ, L = 50 мГн.

i			uC
E С1	R1			С
E С1	R1		R2
С2	R2	E	R1	E

аб

Рис. 2.13

iк
R1		R2
E
	L	С
	L
		в

9. Определить оригинал тока по его операторному изображению:

а) I ( p) U

б) I ( p) U

в) I ( p) U

г) I ( p) U

3pL 4R		;
p(4 pLR 6R2 )		;
pCR 1	;
p( pCR2 2R)	;
pCL RC			;
p2CLR pL R			;

p2CL 2 pRC 1 . p3CLR p2 (L CR2 ) pR

109

10. Определить значение тока i(0) и i( ) по его операторному изображению:

а) I ( p) U	pL 2R
			;
	p2 2LR p3R2
б) I ( p) U	p2CL pRC 1				;
	p3 2CLR p2 (L CR2 ) pR
в) I ( p) U	C
		;
	pCR 2
г) I ( p) U		p2C2 L C
				.
	p3C2 LR p2 2LC pCR 1

110

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1911 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
19.11.202353.56 Mб2Теория и технология получения наноструктурированных компактных материалов..pdf
#
12.11.202313.91 Mб18Теория инженерного эксперимента..pdf
#
12.11.202310.16 Mб2Теория информации..pdf
#
12.11.202315.46 Mб0Теория ленточных конвейеров для крупнокусковых горных пород..pdf
#
12.11.2023610.78 Кб1Теория лидерства лидерство в организации..pdf
#
12.11.20231.63 Mб6Теория линейных электрических цепей. Переходные процессы.pdf
#
12.11.20233.18 Mб50Теория линейных электрических цепей. Ч. 1.pdf
#
12.11.20231.54 Mб2Теория линейных электрических цепей. Ч. 2.pdf
#
13.11.202324.53 Mб11Теория литейных процессов..pdf
#
12.11.202313.07 Mб7Теория механизмов и машин задания, упражнения и задачи к курсовому проекту..pdf
#
12.11.202316.79 Mб5Теория механизмов и машин курсовое проектирование..pdf