книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой
..pdfпостоянны по величине. Другое отличие формулы (8.1) от (6.8) заключается в том, что интегрирование в (6.8) ведется по поверхности, ограничивающей выделенный объем. При этом предполагается, что рассеянные включением напряжения на границе объема не равны нулю. При выводе формулы Эшелби предполагается, что рассеянные включением напряжения на граничной поверхности выделенного объема 5 равны нулю, что находится в явном противоречии с формулой (6.8). Поэтому можно предположить, что условия, принятые при выводе формулы Эшелби, будут выполнены только для весьма малой объемной концентрации включений в композитах, а принцип Эшелби будет ограничивать область применения окончательных результатов. Учитывая, что в последнее время в ряде работ принцип Эшелби активно используется в проблемах усреднения компонентов состояния гетерогенных сред, представляется интересным сопоставить результаты усреднения напряжений и деформаций по этому принципу с решениями, получаемыми с помощью формулы (6.8). В качестве примера рассмотрим окончательные результаты решения задачи о сдвиге среды со сферическими включениями, приведенные в монографии Кристенсена Р. [72]. Модуль сдвига матрицы со сплошными сферическими включениями найден в виде:
(8.2)
7 -5 у+ (8 - 1 0 ^ )~
К3=К + |
(8.3) |
1 +(АТв- К)
Соответственно формулы для упругих постоянных, найденных автором, согласно уравнению (6.8) будут:
6 = 0 1 - 0 7 - 5 у)Н |
(8.4) |
1+^с(8-10|')Н |
|
к-к^ г
Полагая Сс~*0, получаем |
|
|
6 = С[1-15^.(1 - у)Н +... |
] |
(8.5) |
К = К|1+ $е(Ь + Л )+... |
] |
|
Для сплошных сферических включений е-+0, поэтому
..
8-10у+ (7 -5 у)
При подстановке этих параметров в (8.5), приходим к
формулам (8.2) и (8.3), т.е.: 1нп 6 = 6 . , |
Ит К = К, |
{.-►о |
(с-*о |
Что и подтверждает сделанный выше вывод об области применимости принципа Эшелби в механике
неоднородных сред. Заметам, что отклонение характеристик, полученных по методу Эшелби от более строгих, иллюстрируют кривые для модулей сдвига, приведенные на рис.10. Расчеты приведены для композиции полимер-стекло (у = 0.382, Е=0.315-10? кгс/см2, ус 0.21, Ес 7.4-105 кгс/см2). Парабола построена по формуле (8.4), а прямая - по формуле (8.5): отклонение данных расчетов между параболой и прямой составляет 13% при & = 0.3 и 35% при & = 0.7. Учет влияния взаимодействия сфер при их взаимном сближении, как показывает подобное сравнение для волокнистых сред [75], приводит к еще большему отклонению параболы от прямой.
Рис.10
сред
1. Согласно предлагаемому алгоритму, внутреннее поле в композиционных средах с пространственной волокнистой структурой, состоящей из изотропных волокон и матрицы, определяется суперпозицией следующих составляющих:
а) неизвестных (статически неопределимых) однородных напряжений о# в матрице - 6 неизвестных,
б) неизвестных продольных напряжений в ориентированных волоках - п неизвестных, где п - число направлений армирования,
в) рассеянных волокнами полей, пропорциональных однородным напряжениям в матрице, и невзаимодействующих друг с другом.
Рассмотрим рассеянное волокном поле в системе волокно - неограниченная матрица в случае продольного сдвига при действии напряжений <Упи <т13. Если считать, что поля, рассеянные различными волокнами, не взаимодействуют друг с другом, то напряжения будут определятся соотношениями
|
, - 0 . |
= |
/ ( г ) -------С; / ( * ) = & ( 9.1) |
Предполагается, что ось х { совмещена с осью одного волокна. Производя операцию усреднения напряжений согласно (6.5), находим
1 + ^2. с =_Е__________а
2 0 .. у. ч Оа
(1+ ^ 0)~ + 1 - С
Усредняя деформацию продольного сдвига, согласно (6.5), находим приближенное значение упругих модулей
|
1+<гв +(1 |
Оп * с?и = О |
-------------------(9.2) |
В дальнейшем используем следующие обозначения
т = т°(1 +и0 ), |
(9.3) |
1+ —
С.
Г = /° (1 -у0) = (1 -у0) ~
Параметр к, определяет влияние рассеянного поля при продольном сдвиге. Примем, что при растяжении среды вдоль волокна, направленного по оси 0хь плоскости х1 = сопз( не искривляются и будем пренебрегать влиянием эффектов Пуассона компонентов на продольный модуль Е]. Как показывают проведенные расчеты [28], учет эффектов Пуассона приводит к поправкам к Е порядка долей процента. В этом случае модуль будет
(9.4)
95
Для определения эффективных поперечных эффектов при упаковке сечений волокон в гексагональную решетку, когда у21 у3], необходим учет влияния эффектов Пуассона компонентов. Последнее приводит к рассмотрению плоского деформированного состояния композита [12]. Эффективные коэффициенты Пуассона при продольном растяжении линейного слоя найдены в виде
О лг+1Ху - Р
2+ <Г .(*-1)+а-<Г .)С к.-1)~
оа
(9.5)
Таким образом, параметр р определяет влияние поперечного рассеянного поля на поперечные коэффициенты Пуассона. В соответствии с предложенной последовательностью (рис. 2), рассмотрим поперечное состояние системы. В этом случае состояние вблизи волокна с учетом однократного рассеянного поля определяется потенциалами [12]
_ . . |
а |
С |
ф(7)=Т+7 |
||
|
|
(9.6) |
а д = л |
а д |
= 5 |
Из краевых условий (4.8), опустив последний член во втором уравнении, находим
с = - |
|
_8_ |
|
|
|
|
а4 |
|
|
|
х - Ы х . - Ъ § - ' |
|||
а2 |
2 |
|
(9.7) |
|
|
|
|||
|
2 + 0 , - 1 ) ^ - |
|
||
|
|
о а |
|
|
|
ЛГ+1 |
в Л Е- ^ ± 1 |
||
4 2 + 0 . - 1 ) ^ ’ |
а |
|||
* + оГ |
||||
|
о л |
|
||
Вследствие стеснения деформации по оси 0х1 при поперечно плоском состоянии системы волокноматрица, возникают напряжения <т}а , вызванные условием плоского деформированного состояния. Усредненное значение этих напряжений в соответствии с формулой (6.6) равно
<*.« = “ ^ г Ке/ $ 2С*с ~ Й г Ке*§г<Ю= -а°сг0
^и
а0 = (1 - < > + |
(9.8) |
2 + С Г .- 1 )^ Ч,
Эти напряжения распределяем между компонентами пропорционально их жесткости при условии
®\а ~ 4>а&1а+ 0 “ ^в)^1
В соответствии с принятой гипотезой о равенстве продольных деформаций волокна к матрицы - гипотеза о продольном состоянии - полагаем
(9.9)
В дальнейшем принимаем
°=^Т’ (9Л0)
Согласно (9.9) статическую неопределимость продольных напряжений <т1а можно раскрыть с
помощью продольных деформаций матрицы. Произведя усреднение напряжений плоского состояния согласно (6.7) и разделяя результат на однородную и рассеянную волокном составляющие, получим
ст, =<т,°(1+ #)
<т = <г°(1+?)
2 = 2°(1+р) |
(9.11) |
Р = с |
с |
|
|
|
х + а~ |
Усредненная поперечная деформация в условиях плоского состояния системы будет
(9.12)
20
Полная поперечная деформация равна сумме (9.12) и деформаций, вызванных при снятии напряжений стеснения и продольного растяжения
г = ^ ( ,- 2 ^ - ?) - 2 ^ (а-,+<г1а) |
(9.13) |
Эту формулу преобразуем, чтобы выделить деформации, вызванные однородными напряжениями. Имеем из закона Гука
4 + е ° = - 2 у ^ - + ^ - а - '>
а также
= ( 1 - ^ К + ^ 1 « = ^ 1 °
Поэтому формулу (9.13) запишем в виде
-=*"+2/Д+г^ (9-Н)
Е Е
8 = 2( у - ц)ай - 2 у 2-д (\ +V)
у - м |
4 |
(9.16) |
Е |
||
|
|
где использовано соотношение
а° = (у-н)(1+ф
Таким образом, все усредненные компоненты деформации определены через однородные неизвестные напряжения сг^ .
2. Ниже приведем обобщение вышеприведенных соотношений системы непрерывное волокно неограниченная матрица на случай многонаправленно армированных сред путем суперпозиции рассеянных волокнами состояний при одних и тех же однородных напряжениях в матрице о*. Рассмотрим объем У0 в
неограниченной среде, образованной волокнами, ориентированными в N направлениях, пространство между которыми заполнено матрицей. Данная среда является 6+Ы статически неопределимой системой. Если компоненты состояния волокон выразить через компоненты состояния матрицы, то система будет сведена к шестикратно статически неопределимой среде. Общее напряженное состояние композита при растяжении, например, по направлению у-го волокна получаем путем наложения напряжений продольного растяжения с учетом рассеянных N-1 волокнами полей напряжений. Учитывая, что волокна наклонены к рассматриваемому направлению, вводим матрицы преобразования напряжений при поворотах локальных систем координат на углы Эйлера. Операции усреднения