книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой
..pdfВ принятом приближении постоянные определяются системой из 9 алгебраических уравнений, вытекающих из краевых условий (5.6). Учитывая, что рассеянное сферой статическое поле на площадках с заданной нормалью вызывается как одноименными, так и смежными компонентами напряжений, суммарное поле будет представлять суперпозицию вкладов от всех компонентов. Удовлетворяя краевым условиям в полости сферического включения (5.6) г = а0 и производя упрощения, получим
З Д ? = ( 1 + 0 4 ,
4Г>Оо5 = (7 + 2уа)Аа20 +5+2(1+Уа) С ^ |
(5-9) |
5В = -21Аа^ +(1410мв)Са^
Из условий на внешней поверхности включения (г = а) следуют равенства
МГ3 - Ц ,а ‘3 -2 (1 -2 ус)Л0 = Д(ЗЛ0'1;
-(2 + 20 4 » +2/)0о“3 =(Д+4аЛ/а-3Х2СеГ 1; (7 + 2ис)Аа2 + В + (2+2ис)Са* - Айа* -
-( 2 + 2\г)ЫаГг— + 4 Л Г 5 -5- = 0 ( 2 С с ) ' 1;
О, |
С, |
|
(7 - 4ис)Аа2 + В + (2 - 4ис)Са~3 + ГкГ* - |
(5.10) |
|
- ( 2 - 4 у)МГ3 -РаГ5 = 0(2О)’1; |
|
|
- 6 усАа2 + 25 -2(10 - 2Ус)Са' 3 +12Па~5 +
+(20-4и)Ай-, ^ -1 2 Я » -5^ - ^ - ;
12усЛа2 +25+(10-8ис)Са"3 -З Л Г 5 -
-(Ю -в^Л /а-3 +3/Ч2-5 = ^ -
Системы (5.9) и (5.10) решаются методом алгебраических подстановок. В частности, система из первого уравнения (5.9) и двух первых уравнений (5.10) решается независимо. Опуская промежуточные выкладки, приводим окончательный результат
М = Зл |
О0 =(1 + ^ К Ч ; |
а; (5.11) |
11 (1+V,)[4(1- <?3)С, - Зг3/:] - 6(1 - 2ус )К 4 0 + 0 |(1 - Е2)6, + Л ? ]+ 2(1- 2 ^ )С
Среди коэффициентов системы (5.10) важное значение для определения эффективных характеристик имеет
Н= |
(5-12) |
( 7 - 5 0 1 -(1 -$->§]+ (8-10ус)*3
Н =
(8 - 10^X7-5исХ 1-*3) % + ( 7 - 5к )Ь -5 ус+ (8 -1 0кс)ег]
О
Для определения концентрации напряжений около сферического включения необходимо найти все коэффициенты системы (5.10).
2. Решение задачи о сдвиге среды со сферическим включением приведено в монографии [72], поэтому здесь приводим результаты, учитывая взаимодействие сфер с матрицей. В силу симметрии структуры достаточно рассмотреть состояние сдвига при действии касательных напряжений в одной плоскости. Задача решается в смещениях, для чего решение уравнения Ляме
2(1 - у)^гсиШпш - (1- 2у)го(гоШ = 0
представляется в сферической системе координат в виде
|
|
иг = \>г51п20 со5 <р |
|
|
||||
|
|
щ - |
У(ро$ 2 всоз<р |
|
|
|||
|
|
ид, - Vчро$(к^п(р |
|
|
|
|||
Для включения полагаем |
|
|
|
|
|
|
||
|
, |
6ие |
. |
з |
3 . |
5-4ие Ал |
|
|
* |
1 |
1 - 2 ус 2 |
гА 3 1 -2 уе г2 |
|
||||
|
|
, 7 - 4 ус , з |
2 . |
2Ад |
(5.13) |
|||
|
|
-Т Г Г Агг -Т -4» + |
|
|||||
|
|
\ - |
2 |
уе |
|
|
|
|
Для матрицы, прилегающей к включению |
|
|
||||||
|
|
3 |
п , 5~ 4у |
с |
|
|
||
|
|
’ 7 |
В |
1 - 2 у |
г1 |
|
|
|
(5.14)
Краевые условия на внутренней поверхности включения
(г=ао)
(Угв= 0 ; аг = 0 ; агч>= 0 ;
на внешней поверхности г = а полагаем
Если решения (5.13) и (5.14) внести в краевые условия, то приходим к системе алгебраических уравнений вида
14+ 4у |
2 |
16 |
4 + 4ус А4 |
п |
||
2Л |
- ^ г 2 + — Л 3 + — - - с ~ = 0 ; |
|||||
|
1 - 2 ^ |
|
|
1 - 2 ^ |
гп3 |
|
(1-2ус)А,+ЗусАл |
1 |
|
|
2^ |
а> = о; |
|
4 а - ^ - А |
, а’ +± А 1+^ ± |
А= |
||||
|
1-2ке |
^ |
а4 3 |
1 -2 ус |
а2 |
(5.15) |
= ^ В |
+ !_ !И . |
|
|
|
||
|
’ |
|
|
|||
а4 |
\ - 2 у а2 |
2 0 |
|
|
||
7 - 4 м |
|
|
|
|
|
|
1-2ие |
а |
|
а4 |
д2 |
2 0 » |
|
м \ - 2 К |
|
|
1 -2V, |
аг |
1 'и |
1-2 у |
а2) |
2 0 / |
|
Ъуса2 |
л 12 |
, |
1 0 -2 ^ |
А |
А + \ -2 у е ^ а% 3 1-2^ а3 |
||||
. _ о Г « в + 15ЬЗк. |
|
|
||
СгДа5 |
1 -2 у оа1 2 0 / |
|||
Наиболее важные коэффициенты найдены в виде
|
4= 1 8 0 |
* 3(1 -«2); |
^ |
= |
|
|
Аг = - т е 3 { \ - е 2 )+ 1—^ { \ Ь |
- 2 0 у){\-е3)^ |
|
||||
|
|
1 ~С~е |
|
|
|
|
г |
* |
.114-10^ |
О |
|
||
+ [(7-5уе) + Л 8 |
- Ю ^ )] ----- |
|
|
|
||
|
|
1 ~С~с |
’ |
|
||
|
|
5 -2 |
+ 120*3(1-»'с); |
(5.16) |
||
|
5, = 60*3 Зе 2 - 1-2ис |
|
|
|
|
|
4 (1 -2 * )+ (!+ » -)—
х |^ 1 6 -2 0 1 '+ (1 4 -1 0 у )^ -3 0 е 5(1->,«)
1 - -
Для определения напряжении у межфазной границы необходимо определить все коэффициенты разложения функций. Полное поле, рассеянное всеми включениями, представим в виде суммы функций, определяющих поля, рассеянные волокнами и сферическими включениями. В области, где эти поля накладываются, напряжения суммируются от всех источников возмущения.
Г Л А В А 2
УПРУГОСТЬ СФЕРОВОЛОКНИСТЫХ КОМПОЗИТОВ СО СТРУКТУРОЙ, БЛИЗКОЙ к
РЕГУЛЯРНОЙ
§6. Соотношения теории усреднения полей
1.В литературе известны различные методы усреднения полей в средах. Здесь используется метод, разработанный в [12, 15]. Упругая энергия, накопленная неоднородным телом, определяется известным соотношением
|
и = ± .и и ,< !Г „ = |
|
(6.1) |
|
= ^ 1 * 1 + |
+ &\гГ\г + <*1зГ13 + &пГъ) |
|
8 |
граничная поверхность У0, |
напряжения на |
|
площадке с1/п с нормалью п. Представим смещения в виде
* |
1 а |
|
К |
|
х= е1х]+ - г [2х2 |
+ - Г ^ г +щ |
|
||
и2 = |
+егхг + |
23^3 + и2 |
(6 .2 ) |
|
Щ = уГ»*1 |
+ *э*э + “з |
и* последующие члены разложения. Остальные обозначения общепринятые. Если внести (6.2) в (6.1) и приравнять средние деформации, то получим усредненные нормальные напряжения
Он = ~ Г ^ш х>^/п |
(6 3 ) |
"о 5 |
|
Усредненные касательные напряжения будут |
|
+ О ь,х,Ж |
(6-4) |
Если выразить компоненты состояния в (6.1) через усредненные напряжения, то приравнивая коэффициенты при соответствующих усредненных напряжениях, непосредственно получаются формулы для усредненных деформаций. Формула для средних деформаций может быть получена из (6.1) при замене под интегралом напряжении <т„ на их выражения через средние в
декартовой системе координат. Используя приведенный алгоритм усреднения, получим формулы для определения средних компонентов напряжений и- деформаций при различных случаях напряженного состояния.
а) |
В случае продольного сдвига соотношения (4.1)- |
|
(4.4) дополняются соотношениями усреднения вида |
||
т= <т12 - |
/<т13 = ~ $2(о-12<&3 - |
<х,э<&2) = |
= |
- <*ф(г)]= |
- тсБ\ |
Г § |
^ 5 |
У = Ум ~ 1Уи =
8 - контур, ограничивающий площадь усреднения Р, в
сечении х} = сотг.
б) В случае продольного растяжения все усредненные компоненты напряжений равны нулю за исключением напряжений растяжения
(6.6)
сЮ = сясБ+Ъ к
Знак Яе выделяет вещественную часть выражения.
Первый член справа в формуле (6.6) определяет вклад от напряжений в компонентах, возникающих без учета взаимодействия волокно-матрица. Второе слагаемое определяет добавки, возникающие вследствие различия коэффициентов Пуассона матрицы и волокна; 1т- контуры межфазной поверхности волокно - матрица.
в) |
Усредненные компонента |
поперечного |
|
состояния |
получаются |
аналогично вышеприведенным |
|
соотношениям в виде |
|
|
|
1 = — —§2сЮ; |
Л= К е^ (ы 2+ш3)^ |
(6.7) |
|
|
2 Р г |
Р ку |
|
Заметим, что приведенные деформации, если они определены при условии плоского деформированного состояния системы, должны быть дополнены добавками, возникающими вследствие продольного сжатия, удовлетворяющего усредненные продольные напряжения при плоском деформированном состоянии. Поверхность или контур 5 усреднения в приведенных формулах заменяются равновеликими поверхностями или контурами канонической формы, чтобы обеспечить вычисление интегралов усреднения в аналитическом виде. Имеющиеся данные показывают [12], что подобные упрощения приводят к погрешности, превышающей 10-15% для систем, находящихся в состоянии, близком к симметричному при объемном содержании волокон ^ не превышающем 0 .7.
2.Приведем основные соотношения теории
усреднения компонентов состояния в системе сферическое включение-матрица. В этом случае в качестве канонической поверхности 5 системы выбираем равновеликую сферу радиусом Ко с центром, совпадающим с центром включения. Соотношение (6.1) в сферической системе координат переписываем в виде
о-,*,+ а2е2+аъёъ+апу12+ ахзухъ+а ^ |
= |
||
= |
+<г«»в |
м п а/а/р |
(6'8) |
Используя (5.2), (5.4) и (6.2), а также очевидную формулу
(6.9)