книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой

композита определяем на основе общих соотношений [2 , 3], где следует положить в, = $ *- 03 = в4, сов20 = 1/3, <Р1,2=±я/4, фзш4~13я/4. Чтобы раскрыть статическую неопределенность волокон, определим усредненную деформацию определяющего куба в направлении оси одного из волокон. Суммируя однородные и рассеянные всеми волокнами деформации, получим

, = — + 2д $ , соз2 9 + ё28Н12 0 з т 2 д>+ ёг з т 2 0соз2 3 у-1

+ - у п з т 29 з т <р- —уа зш 29 созф- —у23 з т 2 0 зт 2<р] =

Верхние и нижние индексы указывают на необходимость учета только рассеянных составляющих состояния от всех волокон. Суммарные деформации сдвига равны нулю вследствие симметрии структуры и отсутствия однородных касательных напряжений сг,2 = <т,э = <7^3 = 0. Определяя с помощью закона Гука

однородные и рассеянные волокнами составляющие через компоненты однородного напряженного состояния в матрице, получим

(*, + ёг + « ,)’ = ^ г ( 8 + У ~а° +АХ<г,° +с °2+ 0 -,°) 3Е

Поэтому

Усредненные продольные напряжения в отдельном волокне вследствие гипотезы о продольном состоянии выражаются через продольные деформации

I

5 а а а (13.3)

Е

(7° = <7®з т 2 в + а°г (1- з т 2 0 з т 2 <р)+ сг°(1—з т 2 0соз2 <р) =

_ ^ / ^ . О . ^ .0 , ^ . 0 \

= ^ ( СТ1 +<Т2 + °э)

Напряжения в отдельном волокне будут

Д, = ^ 1 - 2 ^ + 1 (88 + 8 У- 2а Ч 8 ^

Для заданного суммарного объемного содержания волокон 2^ , = 0.6 площадь поперечного сечения каждого волокна должна определяться с учетом специфики границ представительного куба. На рис.21 приведен фрагмент границы куба вблизи угловой точки, когда ось направлена по диагонали куба. Отсюда следует, что граничная поверхность составлена пересечением под острыми углами трех взаимно-перпендикулярных координатных плоскостей с поверхностью волокна. Для круговых волокон линии пересечения представляют собой части эллипсов. Поэтому установление строгой зависимости между объемным содержанием волокон 1^а и их площадью поперечного сечения 8а для отдельной ячейки довольно громоздко. Приближенная зависимость находится элементарно

я<"Мд

4з

ад полудлина ребра куба. Как следует из рис.21, продольные усилия в волокне проектируются на три направления. Напряжения по оси 0х} в отдельном волокне

&1а = а0082 О

Эти напряжения должны быть просуммированы по объему всех волокон и внесены в уравнения усреднения напряжений

в = и л °

9

Суммируя деформации, рассеянные всеми волокнами и учитывая, что вследствие симметрии структуры углы сдвига композита определяются независимо, приходим к уравнениям для средних деформации

Однородные напряжения в матрице будут

Вблизи границ волокно-матрица к приведенным добавляются локальные напряжения, рассеянные поверхностью волокон.

2. Для определения напряжений и эффективных характеристик рассмотрим состояние композита при действии касательных напряжений Для раскрытия

статической неопределенности при сдвиге определяем продольные напряжения в волокнах с привлечением гипотезы (13.3). В силу симметрии строения композита продольные деформации выражаются только через деформации сдвига:

(р12 = ±я/4, <р34 = ±Зя/4

Как видно, два волокна <Р1 и <р4 будут растянуты, а остальные сжаты. Углы сдвига определяются рассеянными деформациями от волокон:

? 0 = $ + (1 + у)",[ $ - 2 0 '- а ° ) - 4 |ф т 4 0 з т 2 2 <р-

- 4у0 з т 2 0(1 - з т 2 0 з т 2 2<р)- 4^р(соз2 0 + з т 4 0 § т 2 рсоз2

Здесь производится суммирование по всем значениям <рп 0 для всех волокон, поэтому для 4О0:

Продольные напряжения в волокнах согласно (13.3) будут

I Е (

<т1в = - ~ - 2-р ° ~(\ +у)д0}вт2 вв\п2<р

Проектируя нормальные напряжения на всех волокнах на направления осей координат и распределяя их по площади грани, получим эквивалентные касательные напряжения г, на главных площадках

На рис.22 представлены только те компоненты касательных напряжений, которые действуют в плоскостях, параллельных координатной плоскостих $ х 3. Усредненные касательные напряжения получаем суммированием однородных и всех рассеянных волокнами компонентов напряжений

+ 4^(с052 ^ + 81П4 03Н12 фСО&2 <р)+ 4у051П2 0(1-$1П2 031П2 0>)]

(13.3)

О

9+4(1+и)"'!? - 2 ( у - а 0) - 4 /|] - 8у0 -16 %р

Проекции напряжений в волокнах, перпендикулярные плоскости сдвига, представлены на рис.23.

Рис.23 Эти напряжения сводятся к растяжению сжатию

угловых областей куба и не охватываются соотношениями закона Гука для усредненных состояний [79]. В этом случае наряду со сдвигами в основной плоскости х/)х3возникает напряженно-деформированное состояние композита в перпендикулярном к указанной плоскости направлении. В литературе указанным состояниям не уделяется особое внимание, поэтому они практически не изучены и отсутствуют экспериментальные оценки указанных эффектов. Трудности опытного определения таких состояний могут быть преодолены с помощью моделей, имитирующих эти состояния в крупно-масштабных образцах. Теоретические исследования указывают на необходимость дополнения определяющих уравнений