книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой
..pdfнаивысшей симметрией. Нетрудно показать [12], что в сферической системе координат с началом в центре сферы состояние приведенной матрицы определяется следующими соотношениями:
для включения
■ !- М , 4 1 с; <г„ =<т* =2Д |
' |
Г|+-0Пс |
||
г* У |
* |
?.(1- 93)1 |
2г*) |
|
|
|
|
|
(18.1) |
« ^ =ИЛ =° |
|
|
|
|
для локальной области матрицы вблизи включения |
||||
<тг = - 2 ^ 1 - ^ С ; |
<7,=<7„=-2^1+| ^ ) с |
|
||
2(1-2у)г + (1 +у) Щ■\Сс +/)г&Т |
(18.2) |
|||
с ^ К с а - ч ' ) ( Р - Р с ) ( ^ г 1 л т ^ с(1 -чг |
|
|
||
Интегральный коэффициент теплового расширения при гексагональной упаковке сфер в матрице будет [99]:
/?=/?- а*-ъ)
ц=а</а, а0 |
и а |
внутренний и внешний радиусы |
включения, |
Я |
радиус равновеликой среды около |
включения, ограничивающей объем усреднения, р коэффициент теплового расширения матрицы. Эффективные характеристики композита, упрочненного дисперсными частицами, будут отмечаться угловыми
скобками сверху Е, б ит.д.
Рассмотрим состояние однонаправленной волокнистой среды с приведенной матрицей при повышенной температуре. В соответствии с гипотезой о продольном состоянии [16] напряжения в волокне связаны с напряжениями и деформациями матрицы с помощью соотношения
рДТ+е18=РаДТ+е1а |
(18.4) |
Определяя деформации в волокне через напряжения, найдем
*1» = ^ а ° ! « < 7 » - А Л И ’+«и
Поэтому напряжения в этом волокне при действии повышенных температур будут
<т,„ = (Р - р а)Е'&Т+~ёг(а°<г+е15Е ) |
(18.5) |
ь
Продольные смещения в компонентах вследствие действия напряжений и температуры будут
/ =Х1(Ъ + Р^Т)
Поперечные смещения при отсутствии взаимодействия между волокном и матрицей
(и2 + Шз) = -УЕ}2 + 2рДТ
Поэтому разность поперечных смещений равна
(и2+ щ3)8- (и2+ ш3)а = (р-ра ) г ДТ+2 К е 1в-У813)=
= (Р -Ра)(1+Уа ) 2ДТ+(Уа-У ) 2Б15 |
(18.6) |
Здесь использовалось соотношение между продольными деформациями компонентов
= е>1+(Р-Ра)ДТ |
(18.7) |
При заданной разности смешений компонентов поперечное состояние определено потенциалами
Ф .(г)~А; <Г.(г)=0; |
Ф(г)=В; П г > р - (18.8) |
где на межфазной границе |
___ |
Ф * ( г ) - ф Ц Й '- е 2Ш [гФ а (г) + ^ ( г ) ] = Ф(г) + Ф(г) - |
е 21в\г Ф '{г) + Т(г)] |
|
^1 - — ^Ф0 (г) + ^1 + Х а ~ ~ | ф в (г) - ^ |
^ |
(2) + (г)1 * |
___ |
I |
|
= (X + 1)Ф(г) + 2С[(Д - р а )(1 + уа )ДГ + (*я - У)е}3 )
Усредненные напряжения при отсутствии внешних нагрузок равны нулю
2= $ М 7 = 0 ; <7=$г<Ю = 0
Врезультате преобразований находим искомые коэффициенты
Л = а -С ')а ; В= -(аО : 4 — 2 а
а
Г; с < Р -Р Л \\у ,)Л Т л -(у ,- у )е ю
г+ и х - 1 ) + ( \- С 'Х х .- 1 ) % -
°а
Средние продольные напряжения будут состоять из компонентов, полученных без учета взаимодействия волокон с матрицей и учитывающих это взаимодействие
<*1 = < > 1 в +(1~СаМи +^Яе^~ 1хЮ-ыа Ке-^-ЬхЮ
Г -1. (.
(18.9)
Если произвести интегрирование, то получим при отсутствии внешних нагрузок
=$а<Г\о +П -^й )<Г\8+ Ц а( ~у)( 1 -^в) ^ =0
Учитьшая (18.5) и принимая во внимание, что для линейно армированного слоя «г- 0, со5= Ее15, найдем
|
Ра)Е1 |
8С?(1-Сд)(уД- уХ1 +^ ) |
|
Еа + |
|
где |
|
|
Ех =СвЕа +(1-Со)Я+ |
Ю С ш У -$о)(У д -У )г |
|
|
||
|
|
г + и х - № - и < х а - \ ) % |
Полагая |
интегральный коэффициент теплового |
|
расширения в продольном направлении р,ДТ =рдт +е18, получим
^)Е {\С а Еа ~ 0 - Са )Щ + Уа Хг~ и21)(1 - к2)4 ]
(18.11)
где принято
САх+ 1Х ^ - О |
= |
(18.12) |
Формула (18.11) согласуется с таковой, выведенной другим путем с использованием теории эллиптических функций для волокнистой среды с гексагональной упаковкой волокон.
2. Поперечные деформации в матрице состоят из составляющих, определенных без учета взаимодействия компонентов, а вызванных этим взаимодействием
где согласно (18.8)
р2 - коэффициент поперечного теплового расширения композита. Если проделать все выкладки, то получим
А = * - 0 * - А Х 1 + ^ - ^ - 0 - 1+ ( /? - Д ) у21
(18.13)
или эквивалентно
= ^ + у2 \V - Ра >*Г]К яЕа - (1'- <Г0 >*(1 + )(„ - у2Х)(1- V2)-1 ] -
- У - Ш +^Х и -к21Кк-кв) 1 |
(18.14) |
Эта формула согласуется с точным выражением, найденным с помощью эллиптических функций [131]. Отметим, что вышеприведенные формулы записаны для однородной матрицы. Для матрицы со сферическими включениями упругие параметры ее должны быть заменены на приведенные значения.
§ 19. Тепловое расширение многонаправленных композитов
1. Рассмотрим задачу о тепловом расширении многонаправленных композитов на основе ранее предложенных гипотез. Среда рассматривается как система 6 ^ раз статически неопределимая. Усредненные уравнения равновесия включают напряжения в волокнах, однородные и рассеянные напряжения в матрице согласно уравнениям (9.11). Напряжения в волокнах устанавливаем с помощью соотношения (18.4) и гипотезы о продольном состоянии (9.9). Поэтому продольные напряжения в волокнах будут
= ( р - р а)Е аАГ+-±(а°<т+е18Е ) |
(19.1) |
ь |
|
а -< г * > + |
СаУщ(Х+У |
Н -Н '1 |
|
||
|
|
Эта формула отличается от ранее предложенной для статического равновесия композит при комнатной температуре только температурным членом. Поэтому систему (9.17), выделяя температурный член, запишем в виде
|
соз2 0 |
|
У |
8Ш2 081Г12 <р |
°л |
|
81П2 0СО81 ф |
А |
&3 |
^•801 ТВ ЯП ф |
|
= 0 - / > , ) й Т ' Е 1Ъ |
+ в . : |
|
! |
2 |
|
|
з т 29со$<р |
^13 |
|
|
|
023. |
—^-81112 в ш Ъ р |
У я . |
|
||
|
|
Матрица [Ок] получается на основе системы (9.17) после раскрытия статической неопределимости с помощью гипотезы о продольном состоянии. Примеры таких построений приведены в Главе 3.
Параметр р учитывает температурные добавки согласно (19.1) и вследствие взаимодействия компонентов, получаемые при усреднении (18.9) [99]:
р ^ Е а- ( \- Ь ) Е ( и .у а) р / \ - у 2)-' |
(19.3) |
Решая систему (19.2) относительно аЦ, получим ее
решение в символическом виде
|
■ |
соз2 в |
|
|
|
51П2 бет2 <р |
|
*2 |
<Т2 |
51П2 6»СОЗ2 <Р |
|
а3 |
|
-злй2$*лхмр |
(19.4) |
°\2 |
|
2зшДОсозф |
|
*1°Э |
|
|
|
*23. |
<Т23 |
—1 $.ш29ш2а |
|
|
|
. 2 |
}. |
|
|
|
Матрица [А*] получается преобразованием [СУ в (19.2) в обратную матрицу. Для ее раскрытая необходимо раскрыть статическую неопределимость системы, обусловленную неизвестными продольными напряжениями в волокнах. Приращение поперечных деформаций, явно зависящее от температуры, получим непосредственным усреднением поперечных смещений
Лёг = 2рА Т -2(р -Р а)АТЯ |
(19.5) |
а л г + д о + о
2 + ^ (Л Г -1 )+ (1 -^ Х л Г .-1 )|-
Усредненные деформации композита при выделении в явном виде членов, пропорциональных приращению температуры АТ, представим в виде суммы двух составляющих
’е/ |
■рдт |
|
5Ш20 |
<*? |
|
е2 |
|
рдт |
|
1 -зт 20 зт 2ф |
о°2 |
Е3 = |
рдт |
-(р-р.)2>т 1 -зт20со52ср |
+[н*: О? |
||
Уп |
|
0 |
} |
-31П2081ПФ |
<*12 |
У13 |
|
0 |
|
Зш20СОЗф |
Ст?з |
У23. |
|
0 |
|
з т 20зш2ф |
3 |
(19.6)
Явный вид матрицы РНУ выписан в (9.27). Статическая неопределимость системы для N направленных волокон проводится по правилам, установленным ранее. Подставляя формулу (19.4) в (19.6), получим
Ч ' |
’ры' |
|
з т 2 0 |
К |
ры |
1 - 8 т 2 0 з т 2 ^> |
|
К |
рьт |
1 |
- з т 2 0 с о з 2 ф |
|
= |
- 0 » - А ) Е Л 4 Г |
|
Гм |
0 |
} |
- 8 ш 205Ш 0> |
Ухг |
0 |
|
81П 19с,ОЪф |
/аз. |
0 |
|
8Ш 2 0 8 1 П 2 ф |
Г * , " |
с о з 2 0 |
з т |
2 0 з т 2 р |
з т |
2 0 с о з 2 0> |
|
- ( / 5 - А ) Х р А Г |
|
|
*12 |
1/ 2 з |
т |
2 0 з т р |
^13 |
- 1/ 2 з |
т |
2 0 с о з р |
1 ^ 2 3 . |
- 1 / 2 з т 2 0 8 т 2 р |
||
(19.7)