книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой

и-

Другие преобразования компонентов напряженнодеформированного состояния получаем с использованием основных соотношений (3.2)- (3.5).

§ 4. Упрощающие гипотезы. Канонические составляющие состояния системы волокно-матрица

1. Рассмотрим состояние неограниченной упругой изотропной среды с изотропным волокном в ней. Ось л; системы декартовых координат направим вдоль оси кругового волокна. Пусть среда (матрица) находится в однородном напряженном состоянии сгл° . Разделим

общее состояние системы последовательно на три составляющие (рис.2) а) продольный сдвиг; б) продольное растяжение-сжатие; в) поперечное состояние.

Принимаем гипотезу: состояние системы волокноматрица не изменяется вдаль оси х{. Данное предположение нарушается вблизи концов перерезанных

волокон, поэтому указанное предположение будет выполняться тем точнее, чем дальше от концов волокна рассматривается состояние системы. Известно [15], что состояние продольного сдвига определяется полностью разрешающими функциями комплексного переменного г= х2 + / хз, ф,/г) и <р(г). Для круговых волокон можно использовать следующие разложения:

для матрицы

д>(г) = Сг+ С0+ — + —1 - + . . .

2 2

компоненты напряженного состояния определяются через введенные функции

Аналогичные соотношения легко составить и для воло кна.

Функции (4.1) связаны между собой условиями контакта на межфазной границе. Напряжения на наклонной площадке, нормаль к которой образует угол в е осью 0х2, выражаются согласно формуле

СГ,л = <Т12 СО50+СГ,3 8Ш в = ~Ю ~ [р(г) - 0>(7)]

где Ш<Ь - производная по дуге 5, перпендикулярной к заданной нормали. Если выполнены условия совершенного контакта, то учитывая, что продольные смещения щ при сдвиге связаны с разрешающей функцией соотношением

получим краевые условия при г е 8, где 8 - мёжфазная граница:

<Ра(2)+9 а(2) =<Р(2)+Ф)

(4.3)

Эту систему можно свести к одному функциональному уравнению

Для замыкания системы уравнений необходимо задать средние по площади напряжения.

2. В случае продольного растяжения системы напряжениями <7/ принимается, как ранее уже было отмечено, что плоскости дг7= соп5( не искривляются в среднем, а продольные напряжения в матрице и волокне отличаются друг от друга. Учитывается также, что при растяжении вследствие эффектов Пуассона в системе возникают поперечные деформации. Общее решение задачи представим как сумму двух случаев - растяжение без учета взаимодействия между волокном и матрицей при действии неизвестных постоянных продольных напряжений в предположении, что плоскости не искривляются, и плоского деформированного состояния в плоскости при заданных смещениях на межфаэной границе. Смещения задаются так, чтобы разность поперечных смещений матрицы и волокна обеспечила

непрерывность суммарных смещений в состоянии компонентов [12]. Плоское деформированное состояние определяется через разрешающие функции Колосова [89] с помощью формул

вводится для упрощения уравнения межфазного контура

Решение задачи о продольном растяжении для невзаимодействующих компонентов будет

Аналогичны формулы и для волокна.

Путем преобразования (4.6) находим напряжения и смещения на межфазной границе

Краевые условия в этом случае установлены соотношениями (4.8), если только в правой части второго уравнения опустить последний член.

Разложение потенциалов для случая сплошных волокон

Фа(г) =А 0 + Ая + ...

В Д =В0 + В]2 + ...

Разложение потенциалов для матрицы

Ф(г) = С „+ 5 .+ % + ...

2 2

Ч'(г) = О0+ ^ - + ^ - + ...

2 2

§ 5. Представление внутреннего поля в системе волокио-включенне-матрица

1. Внутреннее поле в трехфазной системе ищем в виде разложения

взаимодействии в системе одинокое включениенеограниченная матрица (так называемые рассеянные напряжения), сг^- напряжения, возникающие

вследствие взаимодействия смежных включений в первом приближении и т.д. Последние напряжения могут быть отнесены к двухкратному рассеянию. Принимается, что последующие члены ряда достаточно быстро убывают при удалении от источника рассеянного поля. Если в разложении (5.1) ограничиться только двумя первыми членами ряда, то оценку погрешности этого приближения можно получить из анализа точных решений задачи, решенной для плоского состояния линейно-волокнистой среды с регулярной структурой [12]. В частности, при гексагональной упаковке волокон указанное приближение вносит погрешность в формулу для определения эффективных модулей, не превышающую 10% при объемном содержании волокон % <0.7 [12]. Однако, для тетрагональной структуры эта погрешность будет выше, поэтому следует вывод, что предлагаемое приближение будет наиболее эффективно для структуры, обладающей наивысшей симметрией. Однократное рассеянное поле в дальнейшем устанавливается в локальной системе координат с началом на оси волокна или в центре сферического включения. Ось X] всегда совмещается с осью волокна. Рассмотрим сферопластики: поле, рассеянное сферическим включением, определяем в локальной сферической системе координат, вводимой преобразованием [37] (рис.8):

Для упрощения записи решения общий случай нагружения разбиваем раздельно на случай растяжения и сдвига. Решение подобных задач для сферического включения не представляет принципиальных трудностей

Рис.8

Для симметричных относительно оси 0х1 структур, образованных сферическими включениями, краевые условия при осесимметричном трехосном растяжении вдоль координатных осей на внутренней (г = 0 <0 <к,

0 <дКл) и внешней поверхностях (г = а, 0 <$< 7Ц0 <<р<я)

полого сферического включения при а° = сг3° будут

(г = ао) <г;=<т;,(т;в =<т^, < = «;,

Локальное поле в матрице при однократном рассеянии включением будет [27]

Остальные компоненты состояния выписываются по аналогии [12, 82]:

-(2 0 -4 ^ )^ + 1 ? ./)]/> 2(^)|;

^= 20сГ(7+ 2ус)Лг2 + 5 + (2 + 2уе) ~