книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой
..pdfРешение второго уравнения (22.4) строится привлечением функции Племеля [12]
|
<2(г)= -Я+?- |
|
р ( г )= ^ г 2- 2гг0 соз^+г] |
(22.6) |
|
г0=ае*, |
Э=да- в ь, |
Эа>Эь |
& = 2 я - 3* и /3 = в0 - л - угловые размеры площадки с совершенным контактом и положение ее центра тяжести, $ - угловой размер трещины, во - положение ее центра тяжести. Для определения интегральных свойств системы достаточно функции, определяющей состояние матрицы. Введенные функции непосредственно связаны с функциями продольных перемещений
и = Х ( г ) Щ Г ) |
(22.7) |
и=У(г)+У(г)
Компоненты состояния связаны с разрешающими функциями известными соотношениями
щ - |
(р{г) + <р(г)', |
т = 20(р'{т)\ <т1= иг; |
<7 |
= 4 КеФ(г); |
2 = 2{гФ'(х) + У ф ] |
20 (и 2 +ш 3) = ^ (2 ) - г Ф (г ) - Т (г )
Разрешающую функцию для рассеянного поля в матрице строим с учетом равенств (22.7) в виде:
9 ( * М (1+Й [§^т+Ч2} Н ч^т). (22.8)
Для вычисления интегралов усреднения полезно воспользоваться разложениями функции Племеля
(22.9)
Хо = 1; Я1 = -со&Э/2; Хп = Рп(совд/2) - 2со89/2Рп.1(соз3/2) + Рп.2(созЗ/2)
Р„(соз9/2) - полином Лежандра первого рода л-го порядка [37]. Внося функцию (22.8) с учетом разложения (22.9) в формулы усреднения напряжений и деформаций (6.5), непосредственно определяем искомые компоненты. Путем сопоставления связи между усредненными напряжениями и деформациями найдем интегральные модули сдвига среды с несовершенным контактом компонентов.
§ 23. Продольные и поперечные состояния системы волокно - матрица
Ранее было показано (§9), что продольное состояние слагается из состояния, не учитывающего взаимодействие компонентов и плоского деформированного состояния системы при заданной разности плоских смещений, вызванных различием эффектов Пуассона. Поперечное состояние системы определяется аналогичными функциями, поэтому для анализа двух состояний приводим функции, пригодные
для построения решений в обоих случаях. Опуская детали вывода решения, приведенного в ряде работ [25, 12], запишем окончательный вид искомой функции, определяющей состояние матрицы вблизи волокна
*(г>=— - Х + 0 - $ ) ( 2 г 2 )
4
X = |{ т ° + |
)со52/7 - 2а„ $т2/){х |
И ( 2-гьУ л(г-га)'г; у=1-(\-Ш)
/би &- положение центра и угловой размер трещины, га и г* - координаты ее начала и конца. Вторая разрешающая
функция плоского состояния определена известным соотношением [101]
Ч>(2) = г-2Ф(г) + |
- г'Ф 'Ю |
(23.2) |
Для вычисления интегралов усреднения приводим разложения
го |
I 20 г0 |
) |
» ( * ) = { , |
г |
\ |
Здесь г - комплексная переменная, отнесенная к радиусу волокна, 2о = е13
а " =% (к -))! ' А=И г*-*;/ = 7; <2; = -2(5$тШ; а2 = 4 $ 5т 9/2 - 2(Ып9
я1+2 =2^Гг+ 1 )со 5 ^ -0 Ш ^1 М -2щ % п; (23.3)
ла
Ь0=1; Ь[=2р5т~; Ь2=4/}25т1 —+205т9
ьм = Т \(М )с о Л +Р * т ^ -24,2 >
С помощью соотношений усреднения напряжений при плоском деформированном состоянии (6.7)
устанавливаем связь между &1к и сг(° в матрице.
Применяя вторую группу формул (6.7), находим средние деформации композита с учетом межфазных трещин. Сопоставляя найденные таким способом деформации с законом Гука для анизотропного тела при плоском деформированном состоянии, получим формулы для определения эффективных параметров композита. Отметим, что система уравнений, служащих для определения деформаций, должна быть симметризирована по выше указанным правилам.
§ 24. Упругость пространственных волокнистых композитов с трещинами
1. Согласно предлагаемому алгоритму многонаправленный композит рассматривается как система б + N статически неопределимая среда. Уравнения для определения усредненных деформаций имеют вид согласно (9.19). Однако, все интегральные параметры, входящие в систему р, ул р и т.д. будут комплексными при произвольной ориентации трещины. Статическая неопределимость системы раскрывается по предлагаемому правилу, приведенному в §9. Уравнения для усредненных напряжений в данном случае строятся аналогично уравнениям (9.11). Получаемые при этом система и параметры, входящие в них, чрезвычайно громоздки, так как последние имеют комплексный вид. Однако, если ориентация волокон и межфаэные трещины ориентированы так, что существует симметрия в структуре определяющего объема, то удается получить частные обозримые результаты. Для реализации алгоритма необходимо определить усредненные характеристики рассеянных полей напряжений и
деформаций. В дальнейшем приводим соотношения усреднения во всех указанных задачах в виде:
<7, =и<т,с1Г + |
+ Ь Ь ) |
Г р |
т 1т |
<т = К е -^ |г(о й г + 2:&), 2 = --^$1:(огёГ + Е</г)
2. Для определенности рассмотрим сдвиговые характеристики триортогонально армированных композитов типа 30 с учетом межфазных отслоений. В последнем случае система является статически определимой, так как отсутствуют усредненные продольные смещения в волокнах. Принимаем, что все трещины одинаковы на волокнах одного направления 32,з=со№1 и ориентированы однотипно в = л/2. Для определенности необходимо задаться объемным
содержанием волокон с трещинами ^2*з (рис.28). Здесь и
в дальнейшем индексы у параметров означают соответствующие направления осей координат. Определим влияние на упругие характеристики композитов волокон с совершенным контактом, но
расположенных перпендикулярно к горизонтальным слоям с трещинами. Принимаем, что трещины достаточно малы или удалены друг от друга, поэтому они не взаимодействуют. Это состояние соответствует случаю, когда разъединение слоев отсутствует
Рис.28
При действии напряжений <т23 горизонтальные волокна, ориентированные вдоль осей х3 и х3} находятся, как легко видеть, в условиях продольного, а волокна, ориентированные по оси х} - в состоянии поперечного 217
сдвигов. Принимаем, что все волокна, направленные по
осям х2и х3на границе имеют трещины, поэтому Ск |
■ |
Напряжения <т12 или <т13 в случае симметричной
ориентации трещин инициируют состояние продольного сдвига у волокон, ориентированных вдоль оси х} и соответственно по осям х2 и х3. Состояние поперечного сдвига возникает у волокон, ориентированных соответственно вдоль осей х3 или х2. Из приведенных рассуждений следует, что состояния сдвигов триортогонально армированных композитов характеризуется тремя модулями С!2, Сц и 0 2з, формулы для которых легко получить по аналогии, имея решение задачи при действии напряжений только одного вида. Усредненные напряжения продольного сдвига, рассеянные волокнами, направленными по оси х3, согласно (6.5) и (22.8), будут:
0-23 -«*!) =“^ [ 1+^ г ] |
- ' <71 ° э |« » у +^ |
] + |
|
+(рп +<»1° ^ ' !'А Я»1 у |
| |
|
|
В принятом случае следует положить рз |
я + |
л/2, и |
|
напряжения становятся независимыми. Общие уравнения усреднения напряжений получаем суперпозицией однородного состояния и рассеянных составляющих от горизонтальных с дефектами и вертикальных бездефектных волокон
Последнее слагаемое получено для бездефеюных волокон. Усредненные углы при продольном сдвиге в плоскости х20х3находим согласно (6.5) в виде
У 23 ~ 1 У 13 =
-4 Н Г -
о ( |
(24.2) |
*м+«ги |
|
. 0 . “ |
2е ' ^ т 2^ - |
|
2 ^ |
При Рз |
-71/2 |
деформации, |
вызванные |
суммарными |
напряжениями, |
разделяются, |
поэтому |
суммируя |
|
усредненные деформации продольного сдвига у волокон другой ориентации и учитывая состояние поперечного сдвига бездефектных волокон, получаем
1+(1+Й
(24.3)
Формула для модуля сдвига композита, учитывающая межфазные трещины, выводится согласно (24.1) и (24.2)
Из найденной формулы путем предельных переходов нетрудно получить частные случаи. При Сг = Сз = О следует приближенная формула для поперечного модуля сдвига линейно армированного слоя:
Полагая отсутствие трещин у волокон 9 = 2и, из (22.4) находим известную формулу для модуля сдвига композита ЗБ