книги / Сфероволокнистые композиты с пространственной структурой
..pdfсфероволокнистых композитов необходимо определить их предельный коэффициент упрочнения. Здесь предполагается, что соотношение между диаметрами сфер и волокон должно быть таким, чтобы сумма их объемных содержаний была бы не выше, чем 0.7 ( ^ + & <0, 7).
§ 3. Преобразование компонентов напряжений и деформаций в эйлеровой системе координат
В многонаправленных армированных компози ционных материалах полезно ввести три координаты так, чтобы не только определить ориентацию волокон, но и углы вращения вокруг оси декартовых координат и вокруг оси волокна. Такой выбор системы координат в конфигурационном пространстве возможен при помощи эйлеровых углов в, ф у/ \2, 146]. Для регулярной компоновки структуры достаточно задать углы ориентации осей в отдельном узле, расположенном в пределах параллелепипеда периодической структуры. Матрицу преобразований локальной системы координат относительно основной хь х2, х3 запишем как результат трех поворотов (рис.7):
х'2+1х3 =е~,г(хг + /х3)
Хз+йс," =е"'в(хз+«г|) |
(3.1) |
Окончательный результат преобразований запишем в виде
г е~,9>=-гххз т 0+ ге 1<р
Компоненты тензоров второго ранга, какими являются напряжения и деформации, при поворотах системы координат преобразуются как произведения соответствующих координат (3.5). Используя эти преобразования, находим формулы преобразования компонентов тензоров второго ранга. Чтобы избежать громоздких преобразований, вводим комплексные комбинации напряжений, через которые будет удобно выразить искомые компоненты
сг,; а = а2+ а3; I = а3- а2+ 2т23: = |
6) |
Используя (3.5), получаем
& - з т 2 9 + <т
I ' е~2** = о-, соз2 в + о^~ |
+^ге'*‘с°з2у + те~,,р31И2^ х |
|
X (2,зт0)+ Ее2" с о з^ + Ё е -2'” з т 4 | |
||
т'е4* ~ |
20^+^^-^зш20^+ |
|
,,-(0050+ 00520^ _ Чш>( 0050-00520^
** [ |
2 |
; +Ге [ |
2 |
] + |
+ Ее2" ^ |
зт 0соз2 ^ + Ёе~2" | - ^-зт 0 з т 2 ^ |
|||
прямое преобразование получается при использовании формул перехода (3.4). Для полноты приводим окончательные результаты преобразований
СГ] = о-! соз2 0 + , ( " / |
) + (г'е“" |
- г 'е " |д 5 т 20^+ |
||
+ (Ге-2- + Г е 2' > |
) . ^ |
|
|
|
а = С\ $1в2 0 |
+ а ' |
°^5 |
^ + (г*е~" - Г е ,,']^“ ^ 5 т 2 ^ + |
|
♦ ( Г е ^ + Ё |
е 2" |
) - ^ |
^ ] |
(З.Ю |
Ее2'*’ = о-| з т 2 9 +а ^ — ^ + ^ е ^ соз2 у + Г в ^ в»0' |) *
х (- 2/зш0)+ Е'е-2" соз4 —+ Ё'е2" з т 4 —
2 2
|
|
. |
,(0050 + 00820^ , _, |
, - ( 0030-00820^ , |
|||||
+те |
[ |
2 |
] |
|
I |
2 |
3 |
||
+ Т е '219 |
^ з т 0со52 ^ |
+ 2' е2,^ ^ з т 0 з т 2 ^ |
|||||||
Формулы |
преобразований |
компонентов |
деформаций |
||||||
строим для комплексных комбинаций |
|
||||||||
|
|
|
е,; е= е2 + е3; Е= |
-е3 + 1у23; у= у12гу]3 (3.9) |
|||||
Приводим окончательный результат |
|
|
|||||||
^ |
' |
= ^,соз |
2 л Г зт20^ |
, |
_ .зт2 0 . |
|
|||
|
0 + я —- — I+(у+у)—- — зт^?- |
||||||||
|
|
|
_ч з т 20 |
|
=г.зю20 |
_ |
=г. з т 2 0 . ^ |
||
- г(у - у)— -— 0О 5^-(Е+Е)------ соз2^+/(Е - Е)-------- зш2^ |
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
4 |
е'=е, зш2 в + |
^- (у + 7)~ ^ ~ зшр + |
|
|||||||
+ КУ ~У)~^~~-~ъоъд> +(Е + Е)-^у—со52р -/(Е -Б)^^-^51п2р |
|||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
4 |
|
4 |
Е'е1,г = *,(- зт 20)+ |
|
^- (у +у)зш0зт2 ^ $ т д>+ |
|||||||
+ /(г - у)зш0 зш2^ соз<р+ %уе* 51П0+ |
|
(ЗЛО) |
|||||||
+— |
—[(Е+ Е)соз2р - /(Е- Е)зт 2<р]+ |
|
|||||||
+ ^ “ [(Е “ Е)со$2$>- |(Е+Ё)зю2$>]
.. соз0 . |
|
-СО&20 |
|
со$2в . |
<р — |
+1(Г-Г)—^ - з тр + ( у - у )—-—созФ + г(у + у)—-— зт |
|||||
_ |
_ |
п |
_ |
д |
|
- |Ее2,г 8т0 + |(Е + Е)5Ш05Ш2 —соз2(р + (Е - Е>5т05т2 ^-8т2<р
Обратное преобразование осуществляем с помощью формул (3.4).
е 1 = СОЗ2 в +е' |
^ +(У'+У' |
у + |
|
|
+1{у'~у') |
С08 у - (Е'+Ё') |
С052^ - /(Е'-Ё') |
5ШЪу |
|
|
4 |
4 |
|
4 |
* * зш2 0 + г'^1 - |
- (У’+ П ^ ^ 8 Ц М /- |
|
||
" |
4 |
+ (В '+Б')^^со82(/ + |(Е,-Ё ')^ - ^ з ш 2 ^ |
||
|
4 |
|
4 |
|
|
$т20 + |
~ (У’+У')51П0ЗШ2^ $1П |
- |
|
ьха9-г{у'-у')&\п9$т2^созу/-гу'е^ «т9 + |
(3.11 |
|||
+^ ^ ! ^ ^ е.+2 .)с052^ +/(Е'-Ё,)зш2^]+
+^ [(Е -Ё )с о * Ъ г +/(Е'+Ё')зт2р]
|
- Цу'-? ) ^ р « п V +Ку'-Т) ^ ~ - с05^ - /(г'+ ^ ) ^ ^ . 5т ^ + |
||||||
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
+®’е"Мг зт0-/(Е'+Ё')зт^5т2 ~со^7ц/ + (Е'-Б')8т08т2 -зт2{/ |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
В дальнейшем |
наряду |
с приведенными будут |
||||
и< |
использоваться |
аналогичные |
преобразования |
в |
|||
м |
матричной форме. Поэтому приводим сводку основных |
||||||
п] |
преобразований |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
*<х, ’ |
V |
|
|
|
|
|
|
^2 |
|
<т |
|
|
|
|
|
*3 |
|
2 |
(3.12) |
|
|
|
|
<Гц * к 1 - |
I |
|||
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
<^13 |
|
г |
|
|
|
|
|
? ъ . |
|
X _ |
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1/2 |
-1 /4 |
-1 /4 0 |
0 |
|
|
|
0 |
1/2 |
1/4 |
1/4 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
1/2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|/2 |
-1 /2 |
|
|
0 |
0 |
-Н А |
ИА |
0 |
0 |
|
Для упрощения записи матричных элементов вводим обозначения, справедливые только при расшифровке матриц
• |
• |
а |
в |
О |
а = ят0; В = созв; Л = е'4'; |
у= е1<р; |
= $ т —; Ь = соз—; |
||
|
|
|
2 |
2 |
= со&2в;/ = север; % = з\п<р |
|
|
(3.13) |
|
В соответствии с этим |
|
|
|
|
а, |
|
|
|
|
а |
|
С7' |
|
|
I |
= М - |
Ё |
|
(3.14) |
Ё |
Ё |
|
||
гг*
г_Г_
/>2 |
^ • |
-я2 |
а 2 |
|
шрЛ |
|
- /а/7Я |
|
||
2 |
|
— ;I2 |
|
|
|
|||||
|
|
г |
а2 |
|
|
|
|
|
||
а2 |
а2 |
|
|
|
|
|
||||
"2~ |
-я 2 |
я2 |
- 1 а0Л |
|
\сфЛ |
|
||||
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
||
Л ’ 2 |
<*2 _2 |
ьАХ |
|
4,2_2 |
|
2 - |
2 |
|
|
|
------Г |
|
а Л у |
|
|
|
|
|
|||
|
22 |
2 |
V |
|
|
-ТЛсЬ Лу |
-21аа2Лу2 |
|||
Л 2 |
« |
|
|
|
|
21аа2Лу2 |
7 |
2 |
||
2 |
7 |
|
|
|
|
2/0*^Яг |
|
|||
'<*Рг |
/ |
|
/ |
2 -2! » 2 2 . |
1 |
_ |
-(/>-с)рЯ |
|||
— Ц0Г |
— о* рГ |
—ап Я |
у |
~{Р + с)уЛ |
||||||
|
2 |
|
2 |
2-2 |
|
|
|
|
2 |
|
-'(фу |
-ару |
/ |
'-Ф 2Х2у |
~{Р~с)уЛ |
-(у? + с)/Я |
|||||
-~аа |
уЯ' |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
Преобразование комплексных напряжений, заданных в локальной системе координат через напряжение в основной системе координат осуществляется матрицей
&^2
го-з
г-м - 0-12
г' ^13
Гст23
|
ы - |
|
|
|
|
2о* |
- 2а? |
- 2о2* |
|
|
-2о* |
2а#- |
2о * |
|
|
|
2Я2о(>Г +1*) |
2А2[-0+ Д2)* + |
|
|
|
|
||
|
|
2а!2 (/Г + <8) |
+0(/2 ~<2)] |
|
2-2 |
|
- 2Я2[(1 + |
)Л + |
|
|
|
|
||
|
|
А(*-кЯ |
+ </>(/2 -в2)] |
|
-1аДХ |
С&Ы +1ДГ) |
-о2(/2 - |
||
|
а*(/"+ |
|
||
|
|
-*2 +2//Й) |
||
|
|
А(А + |
||
1аД |
-<**(« +</Г) |
_ |
2 |
|
|
|
|
-оД(/ |
- |
|
|
|
-12-2»Л) |
|
Аналогичное |
построение |
приводим |
для |
||||
компонентов деформаций |
|
|
|
|
|
||
|
' е\ " |
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
*3 |
Е |
|
|
|
|
|
|
=[о.]- |
|
|
|
|
|
|
|
Га |
Ё |
|
|
|
|
|
|
Га |
Г |
|
|
|
|
|
/23. |
.Г т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.16) |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
' |
|
0 |
1/2 |
1/4 |
1/4 |
0 |
0 |
|
|
0 |
1/2 |
-1 /4 |
-1 /4 |
0 |
0 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
1/2 |
1/2 |
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
/72 |
- /7 2 |
|
|
0 |
0 |
-/7 2 |
и г |
0 |
0 |
|
|
Прямое преобразование комплексных деформаций при поворотах системы координат осуществляется с помощью матрицы
V
ее'
ЕЕ'
Ё= [А]- Ё'
У/ '
.У . |
I . |