книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела
..pdf§3. Рождение изолированных периодических решений |
91 |
||||
то |
|
d2R |
|
,w:О- |
|
|
|
|
|
||
Gi(e, 0) = г2Т4(г д 4 |
+ £ |
|
|||
где |
|
|
|
|
|
|
-W 1 |
—U>2 |
0 |
|
|
Г = |
|
д2Ж0 |
|
|
|
d l f |
dpi)!'.} |
|
|
|
|
|
д2Ж0 |
д2Ж0 |
—U>2 |
|
|
|
dl$dl? |
d i f |
|
||
|
|
|
|
||
( д2Ж0 |
|
|
д2Ж0. |
|
|
^ d l f |
- 2_ 9 ^ о _ U>lU)2 + |
М )- |
|
||
‘ |
д!?д1$ |
|
d l f |
|
|
Два корня уравнения GI (£, 0) = 0 равны нулю, а два дру |
|||||
гих |
t |
_ Г d2R |
|
|
|
|
|
|
|||
отличны от нуля. Поскольку функция Gi(e, ^/Д) аналитична по обоим аргументам и е = 0 — двукратный корень уравне ния Gi(e, уД!) = 0 при всех достаточно малых значениях ц (так как у периодических решений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы два характеристических показате ля всегда равны нулю), то функция G2(£, ^/Д) = e~2Gi(e, ^/Д) тоже аналитична. Так как dG ijdz ф 0 при рь = 0 и е — £I j2, то по теореме о неявных функциях существуют аналитичес кие решения £(^/Д) уравнения G(£y/ji, р) = 0, значения кото рых при [1 = 0 равны £I )2. Следовательно, характеристические показатели найденных решений действительно можно разло жить по степеням pji, причем коэффициенты при p ji рав ны £1,2- ■
Функция Ж 1(/ ° , А) периодическая, поэтому существуют по крайней мере два значения А, при которых дЖ\/д\ = 0. В общем случае эти критические точки невырождены, т. е. в этих точках д 2Ж\1д>? ф 0. При этом локальных миниму мов функции Ж\ (где д 2Ж\/дА2 > 0) ровно столько, сколько локальных максимумов (где д 2Ж\/д\2 < 0). Если при 1 = 10
92 |
Глава ^ |
|
квадратичная форма |
|
|
и) >д2Ж0 |
д 2Ж0 |
Q2 *J/) |
|
то в силу соотношения (3.1) уравнение дЖг/дХ = 0 будет иметь столько корней, для которых а 2 > 0, сколько корней, для которых а2 < 0. Это равносильно тому, что при малых значениях /х ф 0 возмущенная система будет иметь ровно столько устойчивых в линейном приближении периодических решений, сколько неустойчивых. В этой ситуации обычно го ворят, что на невозмущенном резонансном инвариантном торе 1 = 1° рождаются пары изолированных периодических реше ний.
Применим теорему Пуанкаре к задаче о вращении твер дого тела с неподвижной точкой в слабом поле сил тяжести.
Случай несимметричного твердого тела
Напомним некоторые обозначения. Переменные действие-
угол невозмущенной задачи снова обозначим |
через |
(см. гл. П). Переменная /з — интеграл площадей; |
|
его постоянную обозначим I3. Отношение частот |
ква- |
зипериодических движений на инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо зависит только от 2Жо/12 и моментов инер ции А, В, С. Эта функция в гл. II обозначена через 7.
Разложение |
возмущающей |
функции Ж г^ г^ !з^ЧУг) |
в двойной ряд Фурье по переменным tp-y и (р2 имеет вид |
||
ОО |
ОО |
ОО |
£ t f r o , 1e<(m*’1+*’2) + Y , Hm ,-iei(mvl- V3) + ^ H m, |
||
—ОО |
— ОО |
— ОО |
|
|
(3.2) |
Коэффициенты Я т>ь Я т ,_ ь Я т>0 — функции от / ь 12, 1§, аналитические при фиксированном значении в области Д°.
Обозначим снова через х, у, z координаты центра тяжести тела в главных осях инерции.
Теорема 3. Пусть I = 1° £ 5$, 5$ С Д° — вековое мно жество возмущенной системы. Тогда из семейства периоди
§3. Рождение изолированных периодических решений |
93 |
ческих решений задачи Эйлера Пуансо, лежащих на торе I = = /° £ Д°, рождаются при возмущении по крайней мере два изолированных периодических решения, существующие при до статочно малых р и аналитически зависящие от этого па раметра. При этом одно из них устойчиво по первому прибли жению, а другое неустойчиво.
Пусть / 2 ф 0, h ф |/£|. Рассмотрим множество инвари антных торов приведенной задачи Эйлера Пуансо с числами вращения
7(2^0 Д1; л, В, С) = к, к £ Z. |
(3.3) |
Если х2 + у2 ф 0, z = 0, то к нечетно, если х2 + у2 = 0, z ф О, то к четно, если, наконец, г ф 0 и х 2 + у2 ф 0, то к — любое целое число. Из результатов § 1 гл. III вытекает, что для любо го несимметричного тела существует N (A, В, С), такое, что при |fc| > N инвариантные торы (3.3) принадлежат вековому множеству и, следовательно, на этих торах рождаются пары изолированных периодических решений.
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы 3 . |
Пусть для I |
= 1° = (I?, 1$) € Д« частоты невозмущен |
ной задачи Эйлера-Пуансо соизмеримы. Тогда функция Lj2t+X) периодична по t. Обозначим через Ж\(1°, А)
ее временное среднее. Для того, чтобы на торе 1 = 1° рожда лись пары изолированных периодических решений, достаточ но в силу теоремы Пуанкаре проверить выполнение следую
щих условий: |
|
|
|
|
|
||
1) гессиан д2Ж0 |
Ф 0 для I = /°; |
||||||
|
д2Ж 1 |
dh |
|
дЖх |
|
||
2) |
Ф О, когда ds |
= 0; |
|||||
д\2 |
|
д\ |
|||||
3) квадратичная форма |
|
|
|||||
|
2д 2Ж0 |
2U)IU)2 |
д 2Ж0 |
||||
|
LJ, ----- |
|
^ 0 , |
||||
|
1 |
дЦ |
|
|
d h d h |
||
когда I |
= 10. |
|
|
|
|
|
|
Условие |
1) выполнено |
|
во |
всей области Да (теорема 3 |
|||
гл. III). Условие 3) означает геометрически, что линия уровня
94 |
|
|
Глава 4 |
|
|
|
функции Жа{1\, I2) |
не имеет перегиба в точке (Д, / 2) = |
То- |
||||
Предложение 1 гл. II утверждает, что это условие выполнено |
||||||
всюду в Д„. |
|
|
|
|
|
|
Осталось |
проверить |
условие 2). Если I |
= |
/ 0 £ |
то |
|
Ш2/Ш1 = т, т £ Z \ {0} |
и Я _то,1 = t fTO,_ i ^ |
0 |
(§ 1 гл. III). |
|||
Положим <£1 = |
ojit, |
ц>2 = |
w2i + А. Тогда из разложения (2.1) |
|||
вытекает, что |
|
|
|
|
|
|
Ж\ = Я _ т д е гА + Нт,-\е ®А+Я о,о-
Предположим, что при 1 = 1° условие 2) теоремы Пуанкаре нарушено. Тогда при некотором А = А одновременно выполне ны равенства
<Ш\дХ = iH _ mAeix - Ш т , _ ie“iA = 0,
(3.4)
д2Жл = —H - m \eix —Н т ie ~ ix = 0.
дХ2
Так как уравнения (3.4), являющиеся системой линейных уравнений относительно е*А и е_ *А, имеют нетривиальное ре шение (егА, е~гХ), то определитель этой системы
—2 г Я _ ТО) 1Нщ, —1
должен быть равен нулю. Однако при 1° £ SS
Н—т, lHm,—1 = Я т> —1Нщ, - 1 7^ 0 ’ |
^ |
За м еч а н и е . Можно указать примеры канонических систем
дифференциальных уравнений, мало отличающихся от интегриру емых, для которых вековое множество не совпадает с множест вом 9й резонансных торов невозмущенной задачи и которые удов
летворяют теореме А. Пуанкаре о рождении изолированных пери одических решений.
Случай динам ической сим м етри и
В случае А = В можно считать, что у-координата цент ра тяжести равна нулю. Тогда согласно формулам (4.1) гл. II
3. Рождение изолированных периодических решений |
95 |
функция Гамильтона (1.1) в специальных канонических пере менных имеет вид
где (ж, 0, z) — координаты центра тяжести в главных осях инерции, г = V x2 + z2. Отметим, что эти переменные явля ются переменными действие-угол интегрируемой задачи Эй лера-Пуансо в симметричном случае.
Теорема 4. Пусть х ф О и А = В > 2С. Тогда на дву мерных инвариантных торах
A = ± i b ~ j ) L’ G^ °’ |
(3‘5) |
приведенной задачи Эйлера Пуансо рождаются пары изолиро ванных периодических решений возмущенной системы при ма лых ц. Они аналитически зависят от pi, и одно из решений каждой пары устойчиво в первом приближении, а другое не устойчиво.
Это утверждение доказывается так же, как теорема 3.
За м еч а н и е . Если А = В и х = 0, то задача относится к числу интегрируемых (случай Лагранжа). В этом случае резонансные ин вариантные торы (3.5) невозмущенной задачи не разрушатся при добавлении возмущения; они перейдут в резонансные торы возму щенной задачи, снова сплошь заполненные траекториями периоди ческих решений.
Если А = В, то в невозмущенной задаче есть замечатель ное семейство периодических решений — постоянные враще ния вокруг главных осей инерции, расположенных в эквато риальной плоскости эллипсоида инерции. Траектории этих ре шений заполняют двумерный инвариантный тор
L — О, G — 6?о > 0. |
(3.6) |
96 |
Г л а ва 4 |
Исследуем бифуркацию этого семейства периодических |
|
решений. |
|
Теорема 5. |
Пусть А = В ф С , хфО и НфО, вф\Н\. |
Тогда на резонансных торах (3.6) приведенной задачи Эйле ра -Пуансо рождаются пары изолированных периодических ре шений возмущенной системы при малых значениях парамет ра ц. Они аналитически зависят от р, и одно из решений каж дой пары устойчиво в первом приближении, а другое неустой чиво.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Положим I = из\t + A, g = u>-zt (wi = 0, и)2 = G°/А > 0). Тогда
~Ж\ = j J r sin А.
В предположениях теоремы д 2Ж\/д}? ф 0, когда д 2Ж\/дХ2 =
= 0. Так как при А ф С невозмущенная задача невырождена
илинии уровня функции Ж0 не имеют перегибов, то справед ливость утверждения вытекает из теоремы Пуанкаре о рож дении периодических решений.
Начальное значение А найдется из равенства
дЖ 1 |
х Н |
\ |
п |
ЭХ |
— |
cos А = |
0. |
Сто |
|
|
Следовательно, при добавлении возмущения не исчезнут по стоянные вращения твердого тела вокруг оси Ох (от которой наименее всего удален центр масс тела). ■
За м еч ан и е. С помощью теоремы Колмогорова-Арнольда [9]
осохранении условно-периодических движений и геометрической теоремы Пуанкаре [32] можно доказать, что при добавлении возму щения исчезают не все периодические решения, лежащие на любом инвариантном торе задачи Эйлера-Пуансо с рациональным числом вращения, а при малых р, остаются, по крайней мере, два ([4, до
бавление 9]). Неизвестно, правда, будут ли они изолированными
ианалитически зависеть от //.
Рождение изолированных периодических решений |
97 |
§ 4. Рождение изолированных периодических решений — препятствие
к интегрируемости
Согласно теореме 3 вековое множество совпадает с мно жеством резонансных торов задачи Эйлера Пуансо, кото рые удовлетворяют условиям теоремы Пуанкаре о рождении изолированных периодических решений. Ниже будет показа но, что как раз рождение большого числа невырожденных пе риодических решений уравнений движения несимметричного тяжелого твердого тела с неподвижной точкой несовместимо с интегрируемостью этой задачи.
Принципиальной основой доказательства несуществова ния нового аналитического интеграла является лемма Пуан каре (§ 1, гл. I): если
&— ^о(1, ф) + pS'iil, <£>) + •••
—первый интеграл канонической системы с гамильтониа
ном (1.1), то не зависит от (р и функции Жо и З-о зави симы на множестве Ш. Мы сейчас докажем это утверждение с использованием изолированных периодических решений, су ществование которых устанавливает теорема 3.
Действительно, периодические решения Г(д), рождаю щиеся из состава периодических решений, расположенных на произвольном резонансном торе T Q С SB задачи Эйле ра-Пуансо, невырождены, поэтому, как доказано в § 1, функ ции Ж и S' зависимы во всех точках траектории Г(д). Устре мим fi к нулю. Периодическое решение Г(/х) перейдет в перио дическое решение Г(0) невозмущенной задачи, лежащее на T Q, а функции Ж и S' перейдут соответственно в Жо и 3~о- По не прерывности функции Ж0 и З'о будут зависимы во всех точ ках траектории периодического решения Г(0). В некоторой окрестности тора T Q , на котором лежит Г(0), введем пере менные действие-угол задачи Эйлера Пуансо: I\, I2, <pi, tfi2- Тогда Жо и 3<) будут зависеть только от 1\ и I2 (послед няя — в силу невырожденности приведенной задачи Эйле ра-Пуансо). Так как функции Ж0 и зависимы на Г(0),
98 |
Глава 4 |
то матрица Якоби
д(Жо, #о)
д(1, ч>)
имеет ранг единицу, когда (I , (р) £ Г(0). В частности, в этих
точках
д(Ж 0, &0)
det |
= 0. |
d (h , h )
Для завершения доказательства осталось заметить, что функ ции Же и не зависят от у>.
З а м еч ан и е. Основная идея проделанных рассуждений содер
жится в первом доказательстве Пуанкаре общей теоремы о неинтегрируемости канонических уравнений, близких к интегрируе мым ([13, §22]).
§ 5. Теорема о расщеплении сепаратрис возмущенной задачи Эйлера—Пуансо
В специальных канонических переменных функция Га мильтона невозмущенной интегрируемой задачи Эйлера-Пу ансо записывается следующим образом (см. § 1 гл. II):
Же = ^ (a sin21 + 6cos2 l)(G2 - L2) + | L2,
где a,b, с — величины, обратные главным моментам инерции твердого тела. Далее всюду рассматриваем несимметричное тело и без ущерба общности считаем, что а < Ь< с. При каж дом значении интеграла энергии Же уравнения задачи Эйле ра Пуансо имеют два изолированных периодических реше ния гиперболического типа — постоянные вращения тела во круг средней оси инерции в противоположных направлениях. Записанные в специальных канонических переменных, они та ковы:
Г* : I = 7г(* — 1), g = G 0bt, L = 0,
(5.1)
G = G 0, (Жо =ЪС2/2), г = 1,2.
5. Теорема о расщеплении сепаратрис |
99 |
Через траектории решений (5.1) проходят две двумерные ин вариантные асимптотические поверхности с уравнениями
Эти поверхности называются сепаратрисами. Они сплошь заполнены траекториями, неограниченно приближающимися при t —> ±оо к траекториям периодических решений Ti и Г2.
Если неустойчивые периодические решения невозмущен ной задачи не вырождены, то они не исчезнут при добавлении возмущения ([1, гл. III]), и через их траектории снова прой дут пары сепаратрис ([1, гл. VII]). Однако возмущенные сепа ратрисы не обязательно совпадут. Это явление, обнаруженное впервые Пуанкаре [13, § 19], называется расщеплением сепа ратрис. Оно коренным образом рознит поведение траекторий невозмущенной и полной систем. Из существования расщеп ленных сепаратрис вытекает, например, расходимость рядов многочисленных вариантов теории возмущений. Таким обра зом, расщепление сепаратрис также является динамическим эффектом, препятствующим интегрируемости уравнений ди намики.
Невырожденность периодических решений (5.1) задачи Эйлера-Пуансо, установленная в § 1, позволяет рассмотреть задачу о расщеплении сепаратрис (5.2) при малых значениях параметра pi.
Будем считать постоянные вращения (5.1) невертикаль ными. В противном случае эти вращения вырождаются в по ложения равновесия приведенной системы, и задача о сепа ратрисах теряет смысл.
Рассмотрим поведение асимптотических поверхностей (5.2) при малых pi в случае, когда центр тяжести тела лежит на средней оси инерции. При этом согласно формуле (5.1) гл. II возмущающая функция Ж\ представима следующим образом:
cosg —sin l sin g
100 |
Г л а ва J, |
Теорема 6. Если центр тяжести тела находится на средней оси инерции, то асимптотические поверхности (5.2) расщепляются при малых значениях параметра р ф 0.
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Для определенности рассмотрим случай, когда в первом уравнении системы (5.2) стоит знак плюс. В другом случае доказательство аналогично.
Уравнения асимптотической поверхности, проходящей через траекторию возмущенного периодического решения ГД, можно представить в виде
i = f f ’ G = l ? |
S = So + ^ i + - . . , |
где S — функция от / и g, удовлетворяющая уравнению
Щ , Ц ) |
(l, g, Щ , g ) = (= ЪСЦ2) |
(см. [1, гл. VII]). Когда р = 0
S = S0 = G0g + f |
V b ^ G 0sinx----- дгс. |
^ |
\/с —a sin2 х — Ъcos2 а; |
Что касается функции 5i, то она должна удовлетворять урав нению
(asin21 + bcos2 1) ( G 0* ^ - L ^ f ) +
|
+cL^ |
+ §-0] F ~ ^ 0 cosi+ |
|
|
||
+4 1 |
H 2 ( |
L |
, |
• , ■ |
\ |
n |
— —5-177- cos l cos g-— sin/sing-1 |
= 0. |
|||||
|
GQ \CTO |
|
|
/ |
|
|
Здесь L, согласно формуле (5.2), — функция от I. Функ цию Si будем искать в виде
Si = X (l) sing-f Y(l) cosg + Z(l) + sg, s = const.