книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

Такими уравнениями описываются, в частности, колебания маятника в периодически меняющемся поле тяжести.

Предположим, что «частота» и) мало отличается от неко­ торой постоянной величины о»0:

w2(i) = WQ(1 - pcosvt),

где fj, — малый параметр (р, <С 1), и = 2тг/т = const — частота вынуждающей силы (подробности см. в [6, гл. 4]).

Когда р = 0, имеем интегрируемый случай — математи­ ческий маятник. В этой интегрируемой задаче можно перейти к переменным действие-угол I, ip. Они определяются из сле­ дующих соотношений:

Возмущающая функция Ж\ равна cos q cos ut. Для того чтобы разложить Ж\ в кратный ряд Фурье по угловым пере­ менным р , t, заменим во второй формуле соотношений (4.1) х на 2и. Тогда

9/2

или

9/2

Отсюда [7, 8]

sin|

и сп2х равен 2К [7, 8], следовательно, функция cos q перио­ дична по ip с периодом 2тг.

Разложение функции Ж\ в двойной ряд Фурье имеет вид

Коэффициенты Нт>\, Нт>~i легко вычислить, используя из­ вестную формулу Якоби [8, с. 415]:

°°

(fcK)2sn2 ^jr- = К 2 — К Е — 27г2 ^

п= 1 ^

Обозначения в этой формуле общепринятые; см., напри­ мер, [7, 8].

Вековое множество £$ рассматриваемой задачи состоит из тех значений I, при которых ± ш + v = 0 и Н ±п,i = = Hzpn,-1 ф 0. Нетрудно показать, что бесконечно много ко­ эффициентов Hnji(I) = отличны от нуля. Обозна­ чим через 1Сзначение переменной действие, соответствующей движению по сепаратрисам. Так как

то w(I) —» 0 тогда и только тогда, когда I —» 1С. Следовательно,

Шсостоит из бесконечного множества точек, имеющих только

одну предельную точку I = 1С. Поэтому вековое множество SS является ключевым множеством для класса А(Г, I") тогда и только тогда, когда Ic £ (Г, I").

Однако гамильтониан Ж не аналитичен в области (I '>I") х х Т 2{<£>, t mod 2тт} х (—£, е). Докажем это. Пусть

Последнее равенство с учетом соотношения (4.3) можно пред­ ставить в виде

l n ( h - l ) + g ( j y

а g{J) ограничена. Предположим, что функция h(J) аналити­

Функция h(J) монотонно возрастает, следовательно, ап > 0. Подставляя разложение (4.5) в формулу (4.4) и деля обе части на J ” -1 , получим

где функция gi(J) снова является ограниченной при J > 0. Перейдем в этой формуле к пределу при J -> 0. Предел левой части равен пап, а правой — бесконечности, так как / ( 0) ф 0 и при п ^ 2

lim J ” -1 In Jn = lim п Г - 1 InJ = 0.

Таким образом, из-за аналитических особенностей теоре­ му 2 в рассматриваемой задаче непосредственно применить нельзя. Тем не менее можно доказать следующее утвержде­ ние: не существует первого интеграла этой задачи, аналити­ ческого на множестве Д х T 1{t mod 27г} х (—£, е), где D — область на фазовом цилиндре {р, q mod 27г}, содержащая обе сепаратрисы.

однозначность перехода к переменным действие-угол внутри сепаратрис и вне их, получим, что д&о/др = d&o/dq = 0 на инвариантных кривых невозмущенной задачи, которые распо­ ложены на цилиндре {р, q mod 2л-} и отвечают переменным действие I £ 53. Множество всех таких инвариантных кри­ вых в области D нвлнется ключевым для класса A(D). Поэ­

тоже первый интеграл задачи с гамильтонианом Ж . Как и выше, получим, что не зависит от t и является констан­ той. Этот процесс можно продолжить сколь угодно далеко и прийти к заключению, что все функции ^ — постоянные величины. Тогда & будет просто постоянной. Это доказывает изложенное выше утверждение.

Исторический очерк

К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, име­ ющих п степеней свободы, основано на существовании п пер­ вых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилля [2] уравнения движения решают­ ся в квадратурах. Можно показать [4], что существование полного набора интегралов в инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в 2п-мерном фазовом про­ странстве. Все фазовое пространство разбивается на облас­ ти, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые п-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть п-мерные торы, несу­ щие на себе квазипериодические движения.

Отыскание случаев интегрируемости уравнений динами­ ки было в основном делом XIX в. (Якоби, Лиувилль, Ковалев­ ская и др.). Но с появлением работ Пуанкаре стало ясно, что уравнения динамики в общем случае неинтегрируемы: интег­ ралы не только неизвестны, но и не существуют вовсе, так как траектории в целом не ложатся на инвариантные много­ образия [9].

До исследований Пуанкаре в классических работах Брунса и Пенлеве [10, 11] был получен ряд результатов отрицатель­ ного характера, касающихся существования новых алгебраи­ ческих интегралов уравнений задачи трех тел. Однако эти изящные отрицательные результаты не имеют «какого-либо значения в динамике» [12, с. 120]. Свойство интегралов быть алгебраическими в очень сильной степени зависит от выбора независимых переменных, что не соответствует инвариант­ ной природе уравнений динамики.

Теорема Пуанкаре о несуществовании аналитических интегралов была доказана впервые в знаменитом мемуаре «О проблеме трех тел и об уравнениях динамики» [13] с исполь­ зованием невырожденных периодических решений. Другое дока­ зательство неинтегрируемости, данное в пятой главе «Новых методов небесной механики» [1], отличается от первого, как замечает сам Пуанкаре, только формой. В том и другом слу­ чае используется по существу тот факт, что резонансные торы общего положения невозмущенной задачи распадаются при возмущении.

Более того, основная идея доказательства и более поздней теоремы Зигеля о неинтегрируемости гамильтоновых систем вблизи положений устойчивого равновесия [14] тоже восходит к Пуанкаре. Рассуждения основаны на подробном исследовании некоторых множеств долгопериодических решений каноничес­ ких систем дифференциальных уравнений.

В работах Пуанкаре говорится о несуществовании «од­ нозначных интегралов». По существу Пуанкаре заимствовал этот термин из известных работ Абеля и Якоби, касающихся обращения эллиптических и гиперэллиптических интегралов. Однако к функциям комплексного переменного термин Пуан­ каре не имеет прямого отношения. Это обстоятельство «яв­ ляется часто причиной непонимания физиками-теоретиками результатов Пуанкаре» [12, с. 120]. Вопрос о существовании однозначных интегралов в смысле теории функций комплекс­ ного переменного мы рассмотрим в главе V.

Г л а в а II

Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвижной точкой как возмущение случая Эйлера-Пуансо

Функция Гамильтона в задаче о вращении тяжелого твер­ дого тела вокруг неподвижной точки имеет вид [1 гл. V]

Ж = S + 1лЩ,

где S — живая сила (гамильтониан случая Эйлера-Пуансо), fj, 41 — потенциальная энергия системы. Выделенный постоян­ ный множитель /х, параметр Пуанкаре — произведение веса тела на расстояние от центра тяжести до точки закрепления.

Будем считать параметр /х малым. Тогда рассматривае­ мая задача является возмущением интегрируемой задачи Эй­ лера Пуансо. Отметим, что исследование канонической сис­ темы уравнений с гамильтонианом S Л-g,°U при малых значе­ ниях параметра /х математически эквивалентно исследованию быстрых вращений тела в умеренном поле тяготения.

Как и во всякой интегрируемой задаче с компактными уровнями энергии, в задаче Эйлера Пуансо существуют ка­ нонические переменные действие-угол I, (р, в которых функ­ ция Гамильтона S зависит только от действия I. Геометри­ ческий анализ переменных действие-угол дает возможность установить новые свойства представления Пуансо.

§1. Переменные действие-угол

Вдинамике твердого тела с неподвижной точкой удоб­ но использовать специальные канонические переменные L, G, Н, I, g, h. Описанию механического смысла этих переменных предпошлем некоторые обозначения: O X Y Z — неподвижный

угол между осью Ох и линией пересечения Е с Оху, g — угол между линиями пересечения Е с плоскостями Оху и O X Y , h — угол между осью О Х и линией пересечения Е с плос­ костью O X Y (см. рис. 4). Переменные I, g, h, сопряженные с L, G, Н, являются углами, изменяющимися по модулю 2тг.

Пусть, как обычно, ■в, ц>, ф — углы Эйлера (обобщенные координаты в динамике твердого тела с неподвижной точкой), a Рз, Pv, Рф — им сопряженные канонические переменные.

Лемма 1. Аналитическое преобразование (д, tp, ф, р$, pv, Рф) —> (I, g, h, L, G, H) — однородное каноническое:

p$dd + pvdp + pфdф = L dl + G dg + Н dh.

Это утверждение, доказываемое с помощью формул сфе­ рической тригонометрии, можно найти, например, в кни­ гах [15, 26].

Из леммы 1 следует, в частности, что уравнения дви­

где Ж — полная энергия тела, записанная в этих координатах. Главные моменты инерции твердого тела будем обозна­ чать всюду через А, В, С. Наравне с главными моментами

инерции мы будем использовать им обратные величины, ко­ торые обозначим соответственно а, Ь, с.

Пусть р, q, г — проекции вектора угловой скорости тела на главные оси инерции Ox, Оу, Oz. Тогда Ар, Bq, Сг — про­ екции кинетического момента на те же оси. Из определения специальных канонических переменных нетрудно получить, что

Ар = s/G2 - L2 sin/, Bq = y/G2 - L2 cos/, Cr = L.

Кинетическая энергия тела (гамильтониан задачи Эйле­ ра -Пуансо) равна

Отметим, что специальные канонические переменные в динамике твердого тела аналогичны каноническим перемен­ ным Делоне в интегрируемой задаче двух тел [17].

Область возможных значений L и G есть

Д = {(L, G )S R 2 :G ^ 0 , |L| ^ G}.

Не теряя общности, можно считать, что А ^ В ^ С. При фиксированном значении G ф 0 линии уровня функ­

ции ЕЕна плоскости (/, L )GR 2 изображены на рис. 5. Заметим, что точки на этой плоскости, /-координаты которых отлича­ ются на 2п, соответствуют одним и тем же точкам фазового пространства. Производя соответствующее отождествление, получим двумерное кольцо К , расслоенное на замкнутые ли­ нии уровня функции ЕЕ.

В задаче Эйлера-Пуансо обычным способом введем пере­ менные действие [18]: I3 = Н, I2 = G,

12ЕЕ—I 2(a sin21+ bcos2/)

dl. ( 1. 1)

с—a sin2/ —b cos2I

Впоследней формуле интегрирование производится по замк­ нутым кривым, на которые расслоено кольцо К (подробности

см. в [4, 19]). Сопряженные с I\, I2, I3 переменные выражают­

зависит только от Ii, I2. Используя формулу (1.1), легко полу­ чить, что линии уровня функции 23{I\, h)/!^ в координатах действие суть прямые линии, проходящие через начало коор­ динат. Прямые Ii = 0, |/i| = I2 (лежащие в Д) отвечают вра­ щениям твердого тела вокруг меньшей и большей осей инер­ ции. Вращениям вокруг средней оси инерции соответствуют точки из Д, расположенные на двух прямых 2 3 (h , I2) = Wf.

Отметим, что положение прямых линий 2 3 = Wf зави­ сит от двух параметров — отношении моментов инерции тела. Когда В —у А, эти прямые стремятся к прямой Ii = 0; ког­ да В —>•С, они стремятся к паре прямых |/i| = I2.

Лемма 2. Функция 3{I±, I2) непрерывна, является од­ нородной степени 2 в А и аналитична в области

А а = А \ ({h = 0} U {2 3 = W f} U {\h\ = 12}).

Доказательство легко следует из формулы (1.1). Отметим, что если А > В > С, то три прямые линии

Ii = 0, 2 3 = В _1/| не лежат в области аналитичности функ­ ции 3{1\, / 2). Более точно, при фиксированном I2 = if ф 0