книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

компактное, ориентированное аналитическое двумерное мно­ гообразие, допускающее касательное векторное поле без осо­ бых точек (ср. с § 1 гл. VII). Заключение в) предложения оче­ видно. Существование интегрального инварианта у системы дифференциальных уравнений на L вытекает из теоремы о по­ следнем множителе [36]. Из формул Якоби можно получить явное выражение для плотности

где Vn-2 — (п — 2)-мерный объем параллелепипеда, построен­ ного на векторах grad Ф*(ж) (г = 1, ... , п —2) как на сторонах (ср. с доказательством леммы 3 гл. VII). Следовательно, U — аналитическая функция на L и U < 0.

Вчастности, уравнения движения задачи о качении ша­ ра по горизонтальной плоскости [82] удовлетворяют условиям предложения. Следовательно, все доказываемые ниже утверж­ дения справедливы для динамических систем, возникающих

вэтой классической задаче неголономной механики.

Вуказанных выше предположениях относительно систе­ мы (4.1) А. Н. Колмогоров доказал [83], что эти уравнения

в новых переменных равна /(ж, у). Всюду ниже рассматри­ вается случай, когда отношение 7 = А2/А 1 иррационально. Для почти всех 7 уравнения (4.4) задают квазипериодическое движение на Т 2, т. е. в некоторых угловых координатах и, v mod 1 они записываются в виде

192 Глава 8

Однако известны примеры, когда такое приведение невоз­ можно (см., например, [84]).

Обозначим начальные значения переменных ж, у соответ­ ственно через Жо, У о •Из теоремы об усреднении следует, что

X = х 0 + + X (£, ж0, Уо), У = Уо + ~rt + Y(t, ж0, уо),

11

Л= J J f(x , y)dxdy,

ОО

Так как числа 1 и A2/Ai несоизмеримы, то по теореме об

усреднении

д/

t = — (ж - ж0) + о(ж - Жо), Ai

где

Следовательно, при t —> oo

ж — Жо -I- -д-£ ^(^)*

Расстояния d между точками Т 2{ж, у mod 1} вычисля­ ются в метрике ds2 = dx2 + dy2 (как в § 3).

Теорема 6 (ср. с [85]). Для любых е > О, Т > 0 сущест­ вует т > Т такое, что |Х(т, Жо, уо)| < £, |И(т, жо, уо)| < d{(x(r), у(т)), (ж0, уо)} < ^ для всех (ж0, у0) £ Т 2.

Доказательство.

Если иррациональное число у = А2/А 1 принадлежит клас­ су К 2 (введенному в § 2), то уравнения (4.4) приводятся к сис­ теме (4.5) (ср. с [83]) и утверждение очевидно. Пусть 7 £ К i и \Щ — т\ < iV-3/ 2. Так как dyjdx = А2/А 1 = 7, то у =

Хо

Аналитическая функция F(z, жо) периодична по z с перио­ дом 1 и

J1F {z , x0)dz = 0 Уж0 £ [0, 1].

о

Положим т = N A/Ai. Пусть за время /,(ж(), у0) координа­ та ж стала равной ж0+ N. Из (4.6) следует, что t(ж0, уо) = т + + I(N + ж0, ж0, уо). По теореме о среднем

Так как существует бесконечно много натуральных чи­ сел N, удовлетворяющих при некоторых целых m неравен­ ству IIV7 — m\ < IV-3/ 2, то справедливость теоремы в случае

X 2{t, х 0, y0) + Y 2(t, ж0, уо) имеет бесконечно много нулей при

t00.

До к а з а т е л ь с т в о .

Пусть Х 2(т, ж0, уо) = 0. Тогда

Y ( т , х 0, Уо) = У ~ Уо ~ = ^ ( х - х0) - у т = 0 .

Следовательно, достаточно доказать, что бесконечно много

196 Глава 8

где da — мера инвариантная относительно сужения действия фазового потока на Т 2.

В § 1 гл. VII были вычислены числа вращения 7(/i, / 2) касательных векторных полей на Т2 (они равны отношению периодов некоторого гиперэллиптического интеграла). В ко­ нечном счете 7 зависит от х £ R 6. Напомним, что 7 — непо­ стоянная аналитическая функция на плоскости R 2{ / I , 12}.

Угол прецессии можно представить в виде

ф = оф + f ( t , Х о ) , Х 0 = ж(0), /(0, х0) = 0.

Согласно теореме 1 и предложению 1 на каждом инвариантном торе существуют точки хо £ Т2 такие, что ф ^ ф 0 ( ф ^ ф 0 ) и Ф(*0) = 0. На резонансных торах (когда 7 рационально) таких точек даже две.

Если начальное значение хо принадлежит нерезонансно­ му тору, то по теореме 4

Уе > 0 VT > 0 Зт > Т : | / ( т , х0)| < е.

Так как почти все точки лежат на нерезонансных торах, то движение линии узлов устойчиво по Пуассону.

Пусть 7(жо) иррационально (т. е. хо принадлежит нерезо­ нансному тору) и Ф(*0) ф 0. Тогда, согласно теореме 5, функ­ ция f(t, хо) бесконечно много раз меняет знак при t —> 00. В частности, бесконечно много раз имеет место равенст­ во ф = фо.

Отметим еще, что для почти всех хо (более точно, когда 7(®о) G К 2 линия узлов совершает ограниченные квазипериодические колебания. Это следует, например, из леммы 5 и тео­ ремы Боля об ограниченных интегралах квазипериодических функций [64].

Будем увеличивать значения параметра и. Тогда доказан­ ные выше утверждения будут справедливы по крайней мере до тех пор, пока первые интегралы уравнения движения неза­ висимы, и функция Ф не имеет аналитических особенностей (т.е. пока Iiu2 < 4/|).

Первый нетривиальный результат в теории «малых дели­ телей» принадлежит К. Брунсу. Он доказал, что

1)если 7 G А (А — множество алгебраических чисел,

А= R ), то ряд (3) сходится;

2) если все коэффициенты f mi,m2 отличны от нуля, то существует множество R, R = R такое, что при jE R ряд (2) расходится.

Следующий важный результат принадлежит Гильдену. Он доказал, что для почти всех 7 (в смысле меры Лебега) ряд (3) сходится. Отметим, что в то время (1888 г.) не была развита теория меры, и Гильден использовал вероятностные термины: вероятность расходимости ряда (3) равна нулю.

Этот результат Гильдена является следствием извест­ ной теоремы, касающейся диофантовых приближений [65]: для почти всех 7 существуют постоянные к(7) и K (j) такие, что

|m |R

при всех т, пЕ Т .. В частности, все алгебраические числа обладают этим свойством (теорема Лиувилля [65]).

С проблемой «малых делителей» приходится сталкивать­ ся при решении многих задач математики и механики (см., например, [9, 29, 77]). Общей чертой здесь является примене­ ние теоретико-числовых оценок типа неравенства (4).

Указанные результаты не исчерпывают полностью проб­ лемы: они оставляют открытым вопрос о поведении интег­ рала I(t) в тех случаях, когда ряд (2) расходится. Известные примеры А. Пуанкаре показывают, насколько сложным может быть поведение функции I(t) при t —> 00 [75]. Утверждения гл. VIII вносят в этот вопрос определенную ясность.

удовлетворяют системе уравнений (1.2). Ясно, что 8 инвари­ антно относительно группы g* сдвигов по траекториям урав­ нений (1.1). Так как 8 замкнуто и ограничено в R 6, то оно компактно. Всюду ниже рассматриваются только такие мно­ жества 8, на которых первые интегралы (1.2) независимы. В этом случае 8 — гладкое двумерное многообразие. Исклю­ чительные значения параметров Д, 12, /3 образуют множест­ во нулевой меры. Точно так, как в § 1 гл. VII, доказывается, что каждая связная компонента множества 8 является дву­ мерным тором.

Лемма 1. Если и мало, то 8 — объединение двух торов.

Покажем теперь, как привести с помощью квадратур уравнения движения на этих торах к следующему виду:

фг = , ф2 = ш2; 071,^2 = const.

Такая форма уравнений существует согласно теореме Лиувил- ля-Арнольда об интегрируемых системах [4]. Введем, следуя С. В.Ковалевской, новые переменные si, S2, которые выража­ ются через переменные Эйлера-Пуассона по формулам

R(zi, z2) =F ^/R{Z 1) R ( Z 2)