книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

142 Глава 6

Согласно леммам 3 и 5 при малом фиксированном значении е множество — гладкое многообразие, диффеоморфное dD. Пусть Р и Q — гладкие непересекающиеся многооб­

ортогональная d N = ^ в своих концах.

Будем считать, что D — подмногообразие гладкого мно­ гообразия М ' той же размерности, полученного «склеивани­ ем» двух многообразий D и dD х [0, оо) по диффеоморфным краям (подробности см. в [47, 54]). Метрика dp определена в N С D с М ' и в некоторой окрестности множества N в D. Пусть dp' — гладкая метрика на т' такая, что dp' совпадает с dp на N, и риманово пространство (М ', dp') полно (т. е. каж­ дый отрезок геодезической 70: [a, b\ —> М' продолжается до бесконечной геодезической 7: R —>■М '). Такую метрику лег­ ко построить, используя утверждение о гладком продолжении тензорных полей [51]. Ясно, что геодезические в новой метри­ ке dp' совпадают на N с геодезическими линиями в метри­ ке dp.

Пусть р £ Р и q G Q. Расстоянием р(р, q) между точками р и q назовем точную нижнюю грань длин кусочно-гладких кривых с началом в р и концом в q. Расстоянием р(Р, Q) меж­ ду Р и Q назовем точную нижнюю грань расстояний между любыми точками из Р и Q. Так как р(р, q) непрерывна на Р х Q и множества Р и Q компактны, то на Р и Q существу­ ют точки ро и до, расстояние между которыми равно р(Р, Q).

Риманово пространство (М 1, dp') полно, следовательно, по теореме Хопфа-Ринова точки ро и qo можно соединить геодезической длины р(ро, qo) = р(Р, Q). Эта кривая не име­ ет самопересечений и целиком лежит в области N . Действи­ тельно, если это не так, то существует часть 7, соединяющая некоторые точки из Р и Q и длина которой меньше р(Р, Q). Геодезическая 7 ортогональна ^2 = Р U Q в своих концах. В противном случае можно указать кусочно-гладкую кривую, соединяющую Р и Q, длина которой меньше р(Р, Q) (ср. с до­ казательством теоремы 2).

По теоремам 1 и 2 существуют геодезические линии 7' и 7", выходящие из некоторых точек края 3D и пересекаю­ щие ортогонально гиперповерхность ^ соответственно в точ­ ках ро и доПоложим Г = 7' U 7 U 7". Эта кривая, очевидно, является геодезической линией метрики dp. Она не имеет са­ мопересечений, и ее концы лежат на Е± и Е2. Следовательно, Г есть траектория некоторого либрационного периодического движения. ■

§ 4. Приложение к задаче о вращении твердого тела с неподвижной точкой

в осесимметричном силовом поле

Эта натуральная механическая система рассматривалась в § 4 гл. III. Она имеет три степени свободы, конфигураци­ онное пространство есть группа 5 0 (3). Задача инвариантна при действии группы вращении g 8 (s £ [0, 27г)) относительно оси симметрии силового поля. Группе g8 соответствует цик­ лический интеграл — интеграл площадей. Через j обозначим его постоянную.

Рассмотрим сначала вопрос о существовании периоди­ ческих движений тела в трехмерном пространстве. Пусть h = из— максимальное критическое значение интеграла энер­ гии. При h > ш область возможных движений совпадает со всей SO{2>). На любом римановом 50(3) существует по край­ ней мере три различных замкнутых геодезических [52]. Им соответствуют шесть различных периодических движений твердого тела (некоторые из них могут быть перманентны­ ми вращениями). При остальных некритических h область D имеет края. Если, например, тело вращается в ньютоновском поле сил (классическое приближение, см. § 4 гл. III), то каж­ дая связная компонента области возможных движений соглас­ но [55, 56] диффеоморфна Т2 х [О, 1] (Т2 — двумерный тор) или 5 1 х D 2 (5 1 — окружность, a D 2 — двумерный диск). В пер­ вом случае граница 3D состоит из двух связных многообра­ зий, диффеоморфных Т2, и, следовательно, по теореме 3 су­ ществует, по крайней мере, одно либрационное периодическое

движение тела. Это периодическое решение уравнений дви­ жения лежит на нулевом уровне интеграла площадей, так как при j ф 0 скорость тела никогда не обращается в нуль. Ес­ ли 7(f) — либрационное решение, то £*(7), s € [0, 2ж) тоже либрационное периодическое решение. Так как 7 не являет­ ся перманентным вращением, то ^(7) Ф 7 при s € [0, 2ж). Следовательно, в области Т 2 х [0, 1] существует целое однопа­ раметрическое свойство либрационных движений.

В общем случае осесимметричного силового поля либрационные движения тела тоже, очевидно, лежат на множестве { j = 0}. Поэтому рассмотрим подробнее случай, когда j = 0. Наличие группы симметрий позволяет факторизацией по g* свести задачу к системе с двумя степенями свободы. Ясно, что S O ^ / g 3 = S2 (сфера Пуассона). Понижая по Раусу по­ рядок системы в локальных обобщенных координатах д, <р, ф (углы Эйлера), получим натуральную систему с двумя степе­ нями свободы, в которой

9

где

К а = АВ sin2•&+ С cos2•&{A cos2(р + В sin2ф),

Kb = (В — А)С sin$cos$sin<£>cos<£>,

К с = С sin2$(Asin2tp + В cos2tp),

К = A sin2&sin2tp + В sin2i) cos2tp + C cos2■&,

У — потенциал силового поля.

Нетрудно показать, что — положительно определенная квадратичная форма. Докажем, что & и У определенные при •д ф 0, тг, аналитически продолжаются на всю сферу Пуассона. Этот факт очевиден для потенциала У. Рассмотрим форму & в локальных координатах х = sin?? sin (р, у = sin 1?cos ip на S2, не имеющих особенностей в полюсах:

значениях этих переменных, то высказанное утверждение до­ казано.

К полученной натуральной системе можно применить из­ ложенные выше результаты. При h > ш область возможных движений совпадает со всей сферой Пуассона. Поскольку на двумерной римановой сфере существуют, по крайней мере, три различные замкнутые несамопересекающиеся геодезичес­ кие, то в этом случае уравнения пониженной системы имеют шесть различных периодических решений [57]1. Если задача мало отличается от интегрируемого случая Эйлера Пуансо, то эти решения суть возмущения постоянных вращений во­ круг главных осей эллипсоида инерции (см. § 2, 3 гл. IV).

Покажем, что при остальных некритических значени­ ях полной энергии существуют либрационные периодичес­ кие движения. Действительно, в этих случаях каждая связ­ ная компонента области возможных движений диффеоморфна диску D 2 с п дырами (п ^ 0). В случае диска (п = 0) сущест­ вование либрационных периодических движений вытекает из известной теоремы Г.Зейферта [90], а в случае п ^ 1 либ­ рации существуют согласно заключению теоремы 3. Причем, во втором случае можно утверждать больше: существуют по крайней мере п {п ^ 1) различных либрационных движений с несамопересекающимися траекториями.

Если твердое тело вращается в поле сил тяжести, то, как нетрудно показать, область возможных движений диф­ феоморфна двумерному диску D 2 (п = 0). В случае ньюто­ новского поля сил связные компоненты области возможных движений могут быть уже двух типов: либо кольцо S1 х [0, 1] (п = 1), либо диск D 2 (п = 0) [55, 56]. Во всех этих случаях существуют либрационные периодические движения, причем в кольце существует либрация с самонепересекающейся тра­ екторией.

1Э тот факт был отм ечен автором в работе [58] и независимо М. П. Х арламовым в работе [59].

З ам еч ан и е. Существование либрационного решения в коль­ цевой области приведенной системы вытекает, конечно, из резуль­ тата о либрационных движениях тела в области Т 2х [0, 1] С 50(3).

Подводя итог сказанному, получаем следующий замеча­ тельный результат: если j = 0, то на любом некритическом уровне интеграла энергии приведенной системы существует хотя бы одно периодическое движение.

Исторический очерк

Если h > т а х м —У , то задача о периодических движени­ ях натуральных систем сводится с помощью принципа Мопертюи к отысканию замкнутых геодезических линий некоторого риманова пространства, т. е. уже является по существу за­ дачей римановой геометрии в целом. В нашей терминологии такие периодические движения будут вращениями.

Сравнительно просто доказать существование замкну­ той геодезической, если на римановом многообразии существу­ ют негомотопные нулю замкнутые кривые-, среди всех кривых из данного гомотопического класса ищется кривая минималь­ ной длины; она и будет искомой геодезической [48]. Зада­ ча существенно усложняется, если пространство односвязно. А. Пуанкаре получил здесь первый нетривиальный результат: на выпуклой двумерной римановой сфере существует хотя бы одна замкнутая несамопересекающаяся геодезическая [60]. Позже этот результат был распространен Дж. Биркгофом на компактные многообразия, гомеоморфные п-мерной сфере [24]. В 1930 г. Л. А. Люстерник и Л. Шнирельман существенно уси­ лили теорему Пуанкаре, доказав существование 3-х замкну­ тых несамопересекающихся геодезических на любой двумерной сфере [57]. В 1951 г. Л. А. Люстерник и А. И. Фет доказали, что на каждом компактном римановом многообразии сущест­ вует замкнутая геодезическая линия. Для некоторого класса односвязных многообразий, например, гомеоморфных произведе­ нию сфер Sm х Sn (т, п > 1), удалось установить существо­ вание бесконечного множества замкнутых геодезических. Од­ нако до сих пор неизвестно, справедлив ли этот результат

для Sn (п > 1). Относительно современного состояния вопро­ са см. [52].

Уиттекер и Биркгоф исследовали существование замк­ нутых геодезических на римановых пространствах (М , ds) с краем [2, 24]. Их результаты касаются случая, когда в М есть нестягиваемые в точку замкнутые кривые и М локально выпукло в метрике ds.

Если у области возможных движений есть края, то пе­ риодические движения натуральной системы могут быть уже двух типов: вращения и либрации. В этой ситуации результа­ ты Уиттекера и Биркгофа не применимы из-за вырожденности метрики Якоби на границе. Легко указать примеры, когда вращения отсутствуют. Первый общий результат о либрационных периодических движениях натуральных механических систем принадлежит Г.Зейферту [90], доказавшему сущест­ вование либраций в случае, когда область возможных движе­ ний диффеоморфна п-мерному диску. В работе автора [58] до­ казано существование либрационных решений для случая, ког­ да область возможных движений диффеоморфна N х [0, 1], где N — гладкое компактное многообразие. Методы доказатель­ ства существования либраций в работах [58, 90] имеют неко­ торые общие моменты. Доказательство теоремы о либраци­ ях, проведенное в этой главе, отличается от первоначально-

Глава V II

Вопросы качественного анализа движения волчка

ГорячеваЧаплыгина

В случае Горячева Чаплыгина задачи о вращении тяже­ лого твердого тела вокруг неподвижной точки главные мо­ менты инерции удовлетворяют соотношению А = В = 4С,

ацентр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллип­ соида инерции. Кроме того, начальные условия выбираются так, чтобы постоянная интеграла площадей была равна ну­ лю. Тогда существует дополнительный частный интеграл, на­ личие которого позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам [36].

Вэтой и следующей главах рассматриваются некоторые математические задачи, возникающие в связи с качествен­ ным анализом движения тела в случае Горячева-Чаплыгина. Эти задачи в основном связаны с исследованием квазипериодических движений, квазипериодических функций и их ин­ тегралов.

Вэтой главе исследуются качественные свойства ти­ пичных вращений тяжелого твердого тела в случае Горяче­ ва-Чаплыгина, когда первые интегралы уравнений движе­ ния независимы. Найдены числа вращения касательных век­ торных полей на двумерных инвариантных торах. Показано, что нутация твердого тела — квазипериодическое движение,

асобственное вращение и прецессия обладают главным дви­ жением. Если число вращения иррационально, то в случае быстрых вращений твердого тела главное движение линии уз­ лов равно нулю.

где Г = const. Функция Г, являющаяся первым интегралом уравнений движения, в специальных канонических перемен­ ных имеет вид

г L(G2 - L 2) ^ p 2(G2 - L 2)

sin Icos g.

8С 2G

Нетрудно показать, что в традиционных переменных Эйле­ ра-Пуассона р, q, г, 7i, 72, 7з

Г = 2С272, I2 = r(p2 + q2) - рр'уз {v = р/С).

Отметим, что 12 есть интеграл Горячева-Чаплыгина (см. [36]). Выпишем теперь замкнутую систему уравнений для из­

менения pi и р2.

Или, учитывая (1.2)

i/p2pl-(r + hPlpl /2 Cy

Pi

Pi ~Р2

(1.3)

Vp,*pl-(r + hpi-pl/2Cr

Р2

Pi ~Р2

Положим pi = Csi, р2 = Cs2, Г = Си, Г = 2C2I2, h = CIi/2.

Тогда уравнения (1.3) в переменных si, s2 примут следующий вид:

Ф(,г) = 4U2Z2 — {z3 - h z - 472)2-

Эти уравнения равносильны системе