книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

Как показала С. В. Ковалевская [36], в новых переменных урав­ нения движения имеют следующий вид:

dsi + ds2 _ n sids! + s2dsi _ jdt

Авторы работ, посвященных задаче Ковалевской, исполь­ зовали уравнения (1.4), в которых явно присутствуют комп­ лексные величины. Это создает определенные неудобства при исследовании действительных движений системы. Мнимых величин можно избежать, записывая уравнения (1.4) в форме

(1.5)

Докажем, что в действительном движении переменные si и s2 принимают действительные значения. Ясно, что Z2~z\, z2 = zi. Так как R(z±, z2) и (zi —z2)2 — симметрические мно­ гочлены относительно z\ и Z2 с действительными коэффици­ ентами, то они принимают только действительные значения. Далее, выражение

R(Z I)R(Z2) = R (zi)R (zi) = R(Z!)R (Z I),

очевидно, неотрицательно. Действительность переменных si и 82 вытекает теперь из формул (1.3).

Из формул (1.5) следует, что область действительных движений определяется на плоскости R 2{ S I, s2} неравенст­ вами $ (si) ^ 0, Ф(в2) ^ 0. На рис. 18 изображена область возможных движений для случая, когда многочлен Ф(г) име­ ет пять действительных корней (она заштрихована).

Движение не может происходить в областях 3, 5 и 7, так как внутри этих областей существуют точки si и s2 такие, что si = s2. Из (1.3) следует тогда, что R(z\) = Д(.г2) = 0.

Так как R{z) — многочлен четвертой степени, то при фиксированных постоянных первых интегралов уравнение R(z) = 0 может иметь не более четырех корней. Поэтому на инвариантных торах существует конечное число точек, в ко­ торых si = S2. Но в областях 3, 5 и 7 таких точек бесконечно много.

Таким образом, движение может быть только в областях 1, 2, 4, 6, 8, 9. Покажем, что при малых значениях v дей­ ствительное движение происходит в «стаканах» 1 и 9. Пусть сначала v = 0. Выясним, в какую область попадут начальные условия для si и S2- При v = 0 многочлен Ф(,г) не зависит от постоянной площадей I2 и имеет вид

$ { z ) = z ( z - I 1 - h ) 2( z - h + h ) 2.

Интегралы энергии и интеграл Ковалевской запишутся так:

Н = х\ + х 2 + x \/2 = h , К = х\ + х\ = I3 (h > 0).

Очевидно, что на любой из двух связных компонент множест­ ва {Н = 1\, К = / 3} в R 3{x i, Х2, хз} существуют точки,

Ж1-координата которых равна нулю. Рассмотрим эти началь­ ные условия. Тогда из (1.3) получим, что si = 0, «2 = h + h - Заметим, что корень (Д —13) многочлена ФД) лежит справа от нуля, так как Д —1 3 = х Ц 2 > 0. Значит, область действи­ тельных движений в этом случае si ^ 0, s3 = Д + 13. Пусть теперь v ф 0, но очень мало. Тогда s± будет изменяться от —оо до числа, близкого к нулю (так как z = 0 — простой корень многочлена Ф(z) при v = 0), а к2 будет заключено между дву­ мя числами, мало отличающимися от Д = 13. Следовательно, действительное движение при малых значениях параметра v имеет место в областях 1 и 9.

Для того, чтобы изучить это движение, перепишем урав­ нение (1.5) в виде

( 1.6)

2 (3 1 -8 2 )’ S2 2(^1 —s2)

Эти уравнения имеют тот же вид, что и уравнения (2.3) гл. VII в случае Горячева-Чаплыгина. Поэтому качествен­ ный характер изменения переменных si, S2 в случае Кова­ левской тот же самый, что в соответствующих переменных si, S2 в случае Горячева-Чаплыгина, с той лишь разницей, что в рассматриваемой ситуации si, 82 могут уходить в бес­ конечность. Заметим, что уход si (или зг) в бесконечность происходит за конечное время, так как сходится интеграл

на Ф(z). Возвращение переменной si (или s2) также происхо­ дит за конечное время.

Перейдем к вычислению инвариантов динамических сис­ тем, возникающих на 8 — чисел вращения касательных век­ торных полей, которые индуцируются уравнениями Эйле­ ра-Пуассона.

Для определенности будем рассматривать двумерные ин­ вариантные торы, которые соответствуют областям 1 и 9 на

Данные преобразования содержат только алгебраические опе­ рации, вычисление интегралов от известных функций и об­ ращение этих интегралов. Таким образом, уравнения (1.9), определяющие на двумерных инвариантных торах условно­ периодическое движение, и есть те уравнения, которые долж­ ны существовать по теореме Лиувилля-Арнольда об интег­

лом вращения 7 = u>i/w2. При этом надо иметь в виду, что у этой системы есть бесконечно много чисел вращения, но все они выражаются через одно 7 = ш\/ш2 при помощи соот­ ношения

_ й-7 + b

C7 + (f

где |“ ь |— унимодулярная матрица с целочисленными коэф­ фициентами (см. §2 гл. II). В частности, 1/7 — также число вращения.

Для торов, соответствующих области 1, числа вращения даются формулой 7 = т \/т2 . Ясно, что число вращения для области 9 то же, что и для области 1. Значит, при малых v

динамические системы, возникающие на двух связных ком­ понентах множества ё, изоморфны.

ЗАМЕЧАНИЕ. Число вращения векторных полей на двумерных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо вычислены в § 2 гл. II. Нетрудно показать, что в случае Лангранжа —Пуассона числа вра­ щения равны отношению периода изменения угла нутации к пери­ оду среднего собственного вращения.

§ 2. Собственное вращение

Лемма 2.Если в начальный момент времени Ii ф 211 + / 3, то существует s > 0 такое, что

ICOS T?| < 1 - £

для всех t £ R.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим, что в некоторый момент времени х\ = 1. Тогда Х4 = Х5 = 0 и, следовательно,

ж3 = ±2 12, х\ + х \ = h (h), 2(х$ + х\) + х\ = 2/i.

Значит, в этом случае 2/ 3+ 4/| = 21\. Но этого не может быть согласно предположению. ■

Таким образом, в отличие от случая Горячева - Чаплыгина, лишь в исключительных случаях ось динамической симмет­ рии волчка Ковалевской может сколь угодно близко подходить к вертикали. Всюду ниже будем считать, что Д ф 21$ + h -

Предложение 1. Собственное вращение волчка Кова­ левской обладает средним движением А = rtiicoi +

mi, m2 G Z. (См. доказательство предложения 1 гл. VII).

Найдем mi и го2 при достаточно малых значениях пара­ метра и и малых значениях постоянной площадей I2. Рассмот­ рим случай, когда начальный момент времени ж3 > 0. Случай Хз < 0 рассматривается аналогично (при v = 0 в точках, где Хз = 0, первые интегралы зависимы).

Подсчитаем значение А при v = 0. Так как при v = 0 частоты u>i и о.’2 не зависят от /г, то А в этом случае тоже

При вычислении этого предела было использовано следующее утверждение: если функция /(ж) непрерывна в окрестности точки х = Ь, то

Уравнения (1.9) и (2.1) являются уравнениями одной и той же динамической системы. Поэтому существует диф­ феоморфизм двумерного тора, переводящий уравнения (1.9) в уравнения (2.1). Покажем, что любое такое преобразование является линейным и унимодулярным. Действительно, любой диффеоморфизмI

I = l{<Pi, <р2), g = g i v 1,<р2)