книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

функция I2 ) не аналитична в окрестности точек Ii = О, Ii = J: £?(«/, = &(/°). Неаналитичность в окрестности нуля вытекает из того, что

а в окрестности точки I± = J это доказывается так же, как для гамильтониана математического маятника (§ 4, гл. 1).

Положим шф1) = dST/dli (г = 1, 2). Величины u)i, 0)2 яв­ ляются частотами квазипериодических движений на двумер­ ных инвариантных торах задачи Эйлера-Пуансо.

Рассмотрим в области Д линию уровня функции

Откуда

dll _ U)2 Ш2 ~

Из формулы дифференцирования интеграла вида (1.1) по па­ раметру

Из (1.3) следует, что при В ^ 0 производная д1\/д!г < 0 . ■

Положим

^ 7 = 7 (р; 4 , -В, (7).

Значения функции 7 являются числами вращения потоков, возникающих на соответствующих двумерных торах задачи Эйлера Пуансо ([1, п. 86; 20]).

Доказательство.

Рассмотрим сначала случай, когда 1/В < р < 1/С. Про­ дифференцируем соотношение (1.3) по параметру р:

2п

= _ 1 _ [ 1 х

^^ (р - a sin2I — bcos2/)3

у с — a sin2I — bcos2/

Пусть теперь 1/А < р < 1/В. В этом случае для ин­ теграла (1.3) формула (1.2) уже несправедлива. Для вычис­ ления d j /др в интеграле (1.3) сделаем замену переменной по формуле х = cos/ (знак — [+] выбирается в том случае, когда интегрирование производится по замкнутому конту­ ру на плоскости (L, /) £ R 2, охватывающему точку (0, тг/2) [(0, —тг/2)]). Тогда

^ 2тг / ^/(1 _ х2)[(с - а) + (Ь — а)х2]

[а + (Ъ—a)x2]dx

Замечание. Условие отсутствия перегибов у линий уровня функции & можно представить аналитически в сле­ дующем виде:

На рис. 6 изображены линии уров­ ня функции & (ясно, что все они подоб­ ны). Область Д заштрихована, и выде-

§ 2. Числа вращения и их свойства

Исследуем более подробно отношение частот

g = 7 (p; А, В, С).

Теорема 1. Функция j ( p ;A ,B ,C ) аналитична на

( i ’ Ь ) \ { i ? } ’ пРичем пРи

Доказательство.

1) Воспользуемся следующим предложением: пусть функ­ ция f(x ), х € R непрерывна в окрестности точки х = 0. Тогда

т= оГ

^У л/Ь — а у/ ( 1 — х2)[(с — а) —(Ь —а)ж2](а2 — ж2)

где

Следовательно, по формуле (2.1)

По лемме 4 функция 7(р) возрастает в интервале (а, Ь) и убывает в интервале (6, с). Из неравенства треугольника для моментов инерции (А + В > С) и теоремы 1 следует, что пределы

больше нуля. Следовательно, функция 7 (р) всюду положи­ тельна. Нетрудно показать, что д2у/др2 > 0 при всех р £ (а, с) \ {&}. Значит, график функции 7 (р) имеет вид, изо­ браженный на рис. 7.

Специальные канонические пере­ менные можно ввести в окрестности вращений вокруг большей оси инерции (т. е. вместо оси Oz взять ось Ох). Тогда для отношения частот полу­ чим формулу (1.3), в которой момен­ ты инерции А и С переставлены мес­ тами. Обозначим это отношение че­ рез 7' (р; А, В, С). Устремим в новой формуле р к 1/А. Нетрудно показать, что

(ср. с доказательством п. 2 теоремы 1). Формулы (2.2) и (2.3) не совпадают, однако здесь нет никакого противоречия. Дело в том, что у векторного поля без особых точек на двумерном торе существует не одно, а бесконечно много чисел вращения (они зависят от выбора замкнутой трансверсали) [21]. Все они связаны между собой следующим соотношением:

Если в качестве замкнутой трансверсали взять окружность S1 = {(ipi, 1Р2) € Т2 : (р2 = 0}, то число вращения поля (2.5)

тп

переменных ip' mod 27Г уравнения (2.5) запишутся в следую­ щем виде:

Iр\ = ки)\+1ш2 = Ф2' = mu)i+nu>2 = {ш\1 Ш2 = const).

Пусть, например, и>'2 ф 0. Тогда в качестве замкнутой трансверсали можно взять окружность S1 = {(<£>i, Ч>Ф) £ Т 2 : трi + + пр2 = 0}. Соответствующее число вращения равно

Рассмотрим геометрическое представление Пуансо. Ког­ да на эллипсоиде инерции точка касания (полюс) сделает один полный оборот, тело повернется вокруг оси постоянного мо­ мента на некоторый угол а = а(2£7//|; А, В, С). Функция а (р; А, В, С), р = 2£7//| была введена А. Пуанкаре; отно­ шения а/2ж являются числами вращения потоков, возника­ ющих на соответствующих инвариантных торах задачи Эйле- ра-Пуансо ([1, п. 86; 9, дополнение]).

Теорема 2. Если р £ (1/А, 1/В), то а = 2л- (7 + 1), если р £ (1/В, 1/(7), то а =

Доказательство.

Так как величины а/2ж и 7 являются числами вращения одних и тех же потоков, то они связаны формулой (2.4). Най­ дем коэффициенты к, /, т, п.

Пусть j(x ) — непостоянная аналитическая функция. Предположим, что выполнено тождество

матрицы. Тогда, очевидно, £ ' = ± £ " . Следовательно, в нашей задаче коэффициенты к, /, то, п определяются с точностью до знака.

Рассмотрим сначала случай, когда 1/В < р < 1/С. Полагая А = В, найдем

lim я!=а(р; А, А, С). р—^1/С 47Г

Для этого исследуем качение эллипсоида вращения с полуосями о, с по неподвиж­ ной плоскости, отстоящей от центра эл­ липсоида на расстоянии у/р = д/2S'//| (см. рис. 8). Очевидно, что

а_ _ П

2тг

где п , гг — радиусы окружностей являющихся соответствен­ но полодиями и герполодиями. Рассмотрим сечение эллипсо­ ида инерции плоскостью, проходящей через ось симметрии и точку касания. Координаты точки касания в прямоугольной системе координат Оху обозначим через £, у (рис. 8). Нетруд­ но проверить, что

Заменяя £2 на ^ с учетом (2.6) получим следующее равенство:

2 _ ( А - С) V - А(А - C )2rf

r2 С[С + А(А - С)у2}

тях А а, примыкающих к прямым |Ji| = 1 2. В остальных двух подобластях А а гессиан Г < 0.

Доказательство.

Утверждения 1 и 2 очевидны.

3. Когда В = С, интеграл (1.1) нетрудно вычислить. Он равен

Следовательно,

где 7 = w2/u)i- Каждая из этих матриц Якоби определена в Да. При этом

Дифференцируя выражение (1.1) по 1±, получаем