книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

С SS' П Е' является ключевым множеством для класса А(Е') (лемма 2), то функции S’ 'о и Жо зависимы во всей области Е '. Следовательно, согласно (1.11) Ji=0 ир ^ 2. Повторяя эту опе­ рацию р раз, мы придем к заключению, что разложение (1.10) начинается с членов порядка цр+1, а не /лр, как предполагалось выше. Полученное противоречие завершает доказательство.

§ 2. Пример из динамики

Приведем пример механической системы с двумя степе­ нями свободы, удовлетворяющей условиям теоремы 1, но для которой замыкание % не совпадает с областью D.

Рассмотрим на плоскости непересекающиеся эллипс и окружность; пусть (для упрощения вычислений) центр окруж­ ности совпадает с одним из фокусов эллипса. По этим кривым могут свободно перемещаться две точки с массами и m2, которые связаны между собой упругой пру­ жиной с коэффициентом упругос­

ти к.

При к = 0 имеем интегрируе­ мый случай: независимое движение точек по инерции.

Параметры эллипса обозначим через р и е (е ф 0), радиус окружности — через R. Положение масс на окружности и эллипсе будем задавать угловыми ко­ ординатами $ 1, i?2 (в полярной системе координат с началом

вцентре окружности).

Вканонических переменных i?i, $2, ©i, ©2 гамильтони­ ан Жо невозмущенной задачи (при к = 0) тождественен живой силе движения точек и имеет вид

2m±R2 2m2p2(l + 2е cosi?2 + е2)

Переменные действие-угол Ii, I2, <pi, <Р2 в невозмущенной за­ даче суть следующие:

— периметр эллипса. Отметим, что переменная (р2 является натуральным параметром (длиной дуги) на эллипсе.

Интеграл (2.2) можно упростить. Для этого перейдем от $2 к эксцентрической аномали Е по формуле

Тогда интеграл (2.2) запишется так:

В канонических переменных действие-угол

2mxR2 2т 2Л2

§3. Несуществование частных аналитических интегралов 25

множество % задачи с функцией Гамильтона (2.1) состоит из бесконечного числа прямых, проходящих через начало коор­ динат и имеющих единственную предельную прямую I2 = 0.

Гессиан

аналитическая функция f(Ii, I2) равна нулю на £$ П D. Фик­ сируя 1\ = 7°, получаем аналитическую функцию одного пе­

ласти D. Таким образом, на множестве D {Ii, I2} х T 2{y i, ц>2 mod 27г} х (—е, е) для системы с гамильтонианом (2.1) выпол­ нены все условия теоремы 1, но множество П D не всюду плотно в D.

§3. Несуществование частных аналитических интегралов

Уканонической системы с функцией Гамильтона (1.1)

вобщем случае вековое множество всюду плотно в D. По те­ ореме 1 у таких систем, вообще говоря, не существует, кроме интеграла энергии, дополнительного интеграла, аналитичес­ кого по каноническим переменным и параметру ц.

Возможно, однако, что общего второго интеграла не су­ ществует, но может существовать частный интеграл при каком-то фиксированном значении постоянной энергии h. Ни­ же мы покажем, что в общем случае этого также быть не может: не существует частного интеграла, аналитического по

каноническим переменным и по малому параметру, который введен в общей задаче. Мы воспользуемся редукцией кано­ нической автономной системы с двумя степенями свободы

к системе с одной степенью свободы с гамильтонианом, зави­ сящим от времени (такой переход осуществляется на уровне энергии) [2, 4]. Часто новый гамильтониан зависит от времени периодически.

Итак, предположим, что на множестве (I ', i " ) x T 2W ,t mod 27г} х (—£, е) задана аналитическая функция

Функции Жк{1, <р, t) (к = 0, 1, ... ) аналитичны на (/', I") х х Т 2 и разлагаются в сходящиеся двойные ряды Фурье. Пусть, например,

Определение 3. Вековым множеством £% системы с га­ мильтонианом (3.1) называется множество всех импульсов I G (/', I"), удовлетворяющих следующим условиям:

1)miw + m2 = 0, ш(1) = дЖо/дГ, пц, m2 £ Z;

2)\rrii\ + |шг| ф 0;

3)Hmim2(I) ф 0.

Теорема 2. Пусть система с гамильтонианом Жо не­ вырождена, т. е. д 2Жо/д12 ф 0. Пусть вековое множество £$ задачи с функцией Гамильтона (3.1) является ключевым мно­ жеством для класса А (Г , I"). Тогда система с гамильтони­ аном (3.1) не имеет интеграла I , у, t, р), аналитического в области (/', I") х Т 2{(р, t mod 27г} х (—е, е).

Замечание. С помощью теоремы Вейерштрасса о бесконеч­ ном произведении [5] можно доказать, что множество М С (I I " )

является ключевым для класса тогда и только тогда, имеет предельную точку, лежащую внутри интерва­

Доказательство теоремы 2 вытекает из следующей индук­ тивной леммы, которая потребуется нам в дальнейшем.

Лемма 4. Пусть д 2Жо/д12 фО. Предположим, что у сис­ темы с функцией Гамильтона (3.1) существует аналитичес­ кий интеграл

§ 3. Несуществование частных аналитических интегралов 27

Тогда

1) &0 (I , р, t) зависит только от I ; 2) d&a/dl = 0, когда I G £$.

Доказательство (ср. с [1, гл. V ]).

1. Разложим функцию «^(-Г У? *) в сходящийся двойной ряд Фурье:

00

Так как &0 — первый интеграл канонической системы диф­ ференциальных уравнений с гамильтонианом Жз, то

Предположим, что при некоторых целых mi, m2 (|mi| + |m2|7^ ф 0) функция Fmim2(I) ф 0. Тогда из (3.4) следует, что

miu)(I) + m2 = 0.

Следовательно, ш(1) = const, что противоречит невырожден­

Так как & является первым интегралом системы с гамильто­ нианом (3.1), то

дффф №ф<ТЖ _ dSF дЖ _ п

§3. Несуществование частных аналитических интегралов 29

Нетрудно установить, что функция Ж0 удовлетворяет уравнению

а функция Ж\ равна

M h , Ji), <pi, Ф2). (3.7)

Зафиксируем значение постоянной интеграла энергии h. Положим Ii = I, (pi = f , f 2 = t. Тогда на трехмерном уровне интеграла Ж = h возникает каноническая система дифферен­ циальных уравнений с функцией Гамильтона [2, 4]

на 5£0(1) невырождена, и вековое множество Зё полной сис­ темы имеет предельные точки внутри интервала (Г , I "), то согласно теореме 2 пониженная система канонических уравне­ ний с гамильтонианом (3.8) не имеет аналитического и анали­ тически зависящего от параметра /х первого интеграла, 27г-пе- риодического по переменным f , t. Другими словами, в этом случае исходная автономная система с функцией Гамильто­ на (1.1) не имеет частного аналитического интеграла при фиксированном значении постоянной энергии h. Невырожден­ ность невозмущенной системы (д25£0/д12 ^ 0) означает гео­ метрически, что линия уровня {I £ G : Жо(1) = h} не есть прямая.

Вековое множество системы с полным гамильтонианом Ж тоже описывается достаточно просто:

т = prh (т п {1 : Ж0(1) = h}).

Действительно, дифференцируя соотношение (3.6) по I\ (= I), получим, что

Разложим возмущающую функцию Jz?i(7, (p, t) в сходящийся двойной ряд Фурье по угловым переменным у>, t:

Соотношения (3.9) и (3.10) позволяют описать вековое мно­ жество 5$. Оно состоит из точек I = 1± таких, что

(Iu I2) е я , X o (h , h ) = h.

Другими словами, £$ состоит из проекций на ось Ii точек пе­

§ 4. Приложение к динамике. Вынужденные колебания математического маятника

Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях матема­ тического маятника, описываемых уравнениями

q = p, p = - J 2(t)smq,

где q — естественная угловая координата материальной точ­ ки, oj(t + т) = ta(t), t G R ([6, гл. 4]). Эти уравнения имеют канонический вид с функцией Гамильтона

X = т;— w2(£) cos q.