книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

§ 2. Доказательство теоремы 1

Разложим функцию 3>{1, <р, pi) в ряд по степеням pi:

Если (7, <р) G Д(Е, и) х 12 (V С ТЕ, г/ — достаточно мало), то этот ряд сходится при малых значениях параметра pi.

Лемма 1. Функция So не зависит от уз.

Действительно, если (7, <р) G D х Т 2, то из невырожден­ ности невозмущенной функции вытекает, что So не зависит от /р (§ 1, гл. I). Если же р G 12, то это утверждение следует из связности области

Лемма 2. Функции Жо и So зависимы в области ТЕ, т. е. якобиан

д(Ж 0,&о)

d (h ,l2 ) - ’

когда I G ТЕ.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Так как S (I, р, pi) — первый интеграл канонической сис­ темы уравнений с гамильтонианом (1.1), то эта функция по­ стоянна вдоль решений (1.2). Следовательно, ее значения в мо­ мент времени т G Г и после обхода контура Г совпадают. От­ сюда

S'о(70 + pil1 (т) + ...) + piS1 (7° + pil1(т) + ... ,

р° + cot + pup1(т) + ...) + ... =

= ^ o ( /° + M /1(r) + C(70)) + ... ) +

+ piSi (7® + ... , p ** + cot + ...) + ...

Разлагая это тождество в степенные ряды по /х и приравнивая нулю коэффициент при первой степени pi, получим

Так как Ж(1, (р, /х) — тоже первый однозначный интеграл, то

Сравнивая (2.2) и (2.3), заключаем, что при I°£ U n W якобиан

д(Ж0, &о) _

Следовательно, эти функции зависимы в области U nW , а зна­ чит и во всей области W . Ш

Предположим теперь, что функции (1.1) и (2.1) независи­ мы. Пусть J — ненулевой минор второго порядка матрицы

Якоби

д{Ж, &)

d (h, h , Pi, Ч>2)

Функция J {I, ip, /х) аналитична, и ее можно разложить в схо­ дящийся степенной ряд по ц. Предположим, что в этом раз­ ложении коэффициент при /хр (р ^ 0) отличен от нуля. Из леммы 2 вытекает, что р 1.

Так как гессиан д2Жо/д12ф0, то в некоторой малой об­ ласти V С W С D производная дЖо/dh ф 0. Следовательно, в этой области уравнение Жо(1ц h ) = Жо можно разрешить относительно h и подставить полученное выражение в функ­ цию &о{h , h )- Тогда &0 = ^о{Ь{Жо, h ), h )- Так как Ж0 и &0 зависимы, то So = Я(Жо), где S(x) — аналитическая функция в интервале (miny Жо, т а х у Жо). Заметим, что 9t(z) аналитична в малой комплексной окрестности этого интерва­ ла.

Если /х достаточно мало, то функция $,(Ж ) аналитична по /, ip в области V' х 11, где V — компактная область, лежа­ щая внутри V. Так как разложение функции S —St/Ж ) в ряд по степеням /х не содержит свободного члена, то S - Щ Ж ) = = pS '. Функция S '(I, р, /х) — первый однозначный интеграл, аналитический в области A.(V', и') х П х (—е', е'), где и', е' до­ статочно малы. По леммам 1 и 2 функция S'0 не содержит и Жо{1) и S'0{I) зависимы в области V' С D. Так как

S = 91.{Ж) + pS'o + /x2^ 'i + . .. ,

Можно показать [22, 26, 39], что

Через #i(z) (г = 1, 2, 4) обозначены, как обычно, тэ­ та-функции [7, 8], а выражения для х, Л, и выписаны в § 4 гл. II.

Из формул (3.2) видно, что при фиксированных значени­ ях / £ Д° С Да возмущающая функция Ж\(1, <р) аналитична на двумерном торе Т 2{^> mod 27т} и является однозначной мероморфной функцией в С х С. Следовательно, в рассматрива­ емой задаче можно поставить вопрос о существовании новых однозначных аналитических интегралов.

Обозначим через Вп (и G Z) мно­

DС жество точек I G Д°, удовлетворяю­ щих условиям: oj2(I)/ui(I) = п и I G£0 (£$ — вековое множество). Пусть 10

Т = 2тт/ш\. Число т выберем так, чтобы мероморфные функ­ ции

Пусть F — малая окрестность точки I°£ B n,fl — связная окрестность контура 7 в С х С, П(а) С Я С П(5) (0 < s < 5), такая, что при всех I = 1° E.V мероморфные функции (3.5) не имеют полюсов в области П.

Теорема 2. Для любого несимметричного твердого тела существует N(A, В, С) такое, что, если точка

1 °£ В = (J Вп С ® , \n\~2N

то канонические уравнения движения тяжелого твердого те­ ла с неподвижной точкой не имеют независимого от функ­ ции (3.1) однозначного интеграла &{1, р>, р), аналитического в прямом произведении V х П х (—е, г).

§ 4. Доказательство теоремы 2

Так как невозмущенная задача невырождена, то согласно теореме 1 достаточно установить неоднозначность функции

I^t, Л 0).

Действительно, заменяя переменные по формуле t = z +га/изх, получим

Коэффициенты этого разложения можно представить в следу­ ющем виде:

—ОО

Используя это соотношение, а также формулы (3.3) и (4.5), получим, что

Пусть теперь п — нечетно. Тогда согласно результатам § 1

В обоих случаях должно выполняться соотношение (4.6). За­ пишем его в явном виде: