книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела
..pdf§2. Теорема о возвращении |
181 |
|
Доказательство. |
|
|
Оценим разность |
|
|
п —1 |
п—1 |
€ |
X f ( ka + v ) - ' 5 2 f ( klZ + ¥>) |
||
к=0 |
к=О |
|
п —1 |
|
|
^ X |
\f ( ka + v5) - / (kIw + v) |
< |
А = 0 |
|
|
п —1 |
п —1 |
|
< М щ Х
А=0 |
|
к=0 |
|
<: M in2 а — — |
< Mi |
|
п |
V ^ ’ |
|
|
|
|
Mi = max |/'(ж)|. |
|
|
Ж651 |
|
Следовательно, |
n —1 |
|
|
|
|
X / ( * « + ¥>) < E / ( * £ + « > ) |
||
k=0 |
fc= 0 |
|
<
Mi
+ (2.4) V'n
Так как числа т и п взаимно просты, то точки на 5 1, угловые координаты которых
<Р+(п~ 1)Щ
расположены в вершинах правильного вписанного п-угольника. Так как / е С 2(5х), то по известному способу (прямоугольни ков) вычисления определенных интегралов [78], на окружнос ти 5 1 существует точка £ такая, что
/ /№ = !x/(fc +(р) + ^ 1 -
Отсюда
X / {klt + (?) |
М2 = тж\Г(х)\. |
к =О
182 |
Глава 8 |
|
|
|
|
Учитывая (2.4), получим окончательно |
|
||||
71—1 |
М\ |
М 2 |
|
||
X] / (ка + Ч>) |
я |
||||
7 ^ |
~ 24п' |
||||
к = О |
|||||
|
|
|
|||
Из лемм 5 и 6 легко вытекает |
|
|
|
||
Теорема 2. |
Пусть |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
/ |
G C ^ S 1), I f(x)d x = 0. |
|
|||
|
о |
|
|
|
Тогда для любых е > 0 и Щ существует N > 7V0 такое, что |5jv(a, ф)\ < г для всех <рG S1.
В качестве примера рассмотрим колебания упругой стру ны длины d\ пусть а — скорость распространения возмуще ний. Предположим, что в начальный момент времени 7 = 0 струна неподвижна, левый конец постоянно закреплен, а пра вый начинает совершать периодические колебания по закону /(7) (/(0) = 0) с периодом Т. Задача определения вынужден ных колебаний струны при 7 ^ 0 является смешанной задачей для волнового уравнения
ё |
= 4 f t ^ ’ x : 0 ^ 7 < o o , о < :x < :d }. |
ot |
а ох |
Обозначим решение через и(7, х).
Нетрудно доказать, что если отношение d/(aT) рацио нально, то на струне существуют точки х = £ такие, что и(7, £) —»■оо при 7 —»■оо («параметрический резонанс»).
Теорема 3. Предположим, что d/aT иррационально, функция f из класса С2. Тогда для любых е > 0 и тсуществу ет 7 > т такое, что |и(7, х)\ < е для всех х G [0, d\.
Доказательство.
Используя основное свойство характеристического парал
|
§2. Теорема о возвращении |
183 |
||
лелограмма, получим равенство |
|
|||
/ |
|
\ |
п |
п |
и ( 2|п; |
х\ ='Y^f{t2 i)-'Y ^ f{h i-1 ), |
|
||
' |
' |
i=1 |
i=1 |
(2.5) |
t2 i = t2 + 2( г —1)^, |
|
|||
t2 i-l = ti + 2(* —1) Ц, |
||||
fl — |
d — x |
d + X |
|
|
a ’ |
^2 — |
|
Представим функцию /(f) в виде c + g(f), где с — среднее функции /(f). Тогда равенство (2.5) можно переписать так:
\ |
П |
П |
|
2! п> х ) = 1 > ( ^ ) - $ > ( * 2*-i). |
(2.6) |
||
' |
2—1 |
2=1 |
|
Так как среднее периодической функции g(t) класса С2 равно нулю, а отношение d/(aT) иррационально, то по теоре ме 2 для любых е > 0 и TVo существует N > 7V0 такое, что
N N
$ 2 #(*2i-l)
2=1
равномерно по х. Учитывая (2.6), заключаем, что в момент времени t = 2dN/a будет справедливо неравенство \u(t,x)\ < е
для всех х 6 [О, d\. |
я |
|
Теперь обратимся к вопросу о возвращаемости интеграла |
||
I(t, |
у>°)- Зафиксируем начальные фазы <р\, у®. |
|
Теорема 4 (теорема о возвращении). Если / |
непре |
|
рывна |
на Т 2 и имеет две непрерывные производные |
по ц>2, |
а пространственное среднее функции / равно нулю, то для лю бых е > 0 иТ существует т > Т такое, что \1{г, ip((, (р^)\ < £■
Доказательство.
Рассмотрим на Т 2 окружность
^1 = {(¥>1,¥>2) е Т 2 : ¥.1 = ^ }
и на ней функцию |
|
1 |
~Ш^+х)d<Puxes1. |
F(x)= f f |
0
184 |
|
|
Глава 8 |
|
|
|
|
|
Очевидно равенство |
п —1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
I(na, <р\, A ) |
= Y , F ( fc§ |
+ |
<Р°) = |
Sn ( g , |
¥>S) ; |
|
||
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
“ = g > 0- |
|
|
|
|||
Функция F(x) E C ^ S 1). Далее, |
|
|
|
|
|
|||
Jl F(x)dx = ± |
Jl iJf |
(ipu |
|
|
+ x) |
dipxdx = |
|
|
0 |
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
= ih J |
j |
^ |
dri = |
°- |
|
|
||
|
|
о |
0 |
|
|
|
|
|
Теперь заключение теоремы 4 вытекает из теоремы 2. |
■ |
Покажем, что теорема 4 неверна, если функция / толь ко непрерывна. Мы воспроизведем здесь с точными оценками пример Пуанкаре [75, 76], о котором говорилось в начале этого параграфа.
Положим
|
|
|
|
П |
/ |
\ |
П |
|
|
/ ( ^ ь |
т ) = |
( л ) |
cos27r( ^ ^ i + |
v n¥>2), |
|||||
|
|
|
|
n=0 ^ |
' |
|
|
|
|
где Л = л/2 4- 1, (Л + 1)/2 |
< |
А < |
Л, а целые числа ип и vn |
||||||
определяются из разложения |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(V 2 - |
1)п = |
ип + |
vnV2. |
|
|
Пусть частоты шх и Ш2 |
равны соответственно 1/27Г, \/2/2тг, |
||||||||
а начальные фазы <£>5? <р% равны нулю. Тогда |
|
||||||||
оо |
/ |
|
\ 71 |
|
Щ = |
/* |
00 |
||
JW = E |
' |
I |
' |
cosjr , |
f(t)dt = '£ A n* b ± |
||||
п = 0 |
|
|
|
|
|
|
п =0 |
||
Лемма 7 (ср. с [76]). |
Если 1 < (Л + 1)/2 < А < Л, то |
||||||||
I{t) -»■ оо при t |
|
оо. |
|
|
|
|
|
§2. Теорема о возвращении |
185 |
Доказательство.
Пусть
п = 1, 2, ...
Тогда
0 < ~ 1 ~ Г Т |
^ |
Т~ГГ ^ |
~ZTZ ^ |
17: |
л = 0,1, 2 , . . . |
|||
2Afc+1 |
^ Ап+к " |
2Ак ^ |
2 |
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin — |
|
|
|
> |
1 |
|
|
|
|
An+fc " |
тгАп+* ^ Afc+1’ |
||||
О О |
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
к=О |
|
|
Л’п+к |
|
^к = О Afc+1 |
Л - А |
||
При всех t £ R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а " |
|
|
|
Ап - |
1 |
|
|
|
|
|
|
А - |
1 * |
||
|
|
к=О |
|
|
|
|
|
|
Значит, в интервале |
7ГДп—1 |
7ГДП |
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
’ |
2 . |
|
|
/(£) ^ ^ |
|
|
sin |
£ |
п—1 |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
Дп+А |
|
|
||||
к=0 |
|
|
2А - Л - 1 |
(2.7) |
||||
А» |
А” - 1 _ |
1 |
||||||
Л - А |
А - 1 |
(Л-А)(Л-1) |
А - 1 ‘ |
|||||
Так как Л > А , |
А > 1 и 2 А > |
|
Л + 1, то правая часть неравенст |
ва (2.7) стремится к оо при п —>■сю. Следовательно, I(t) |
—» с» |
при t ^ ос. |
■ |
Покажем, что функция f не дифференцируема по пере менным т>\ и (р2. Предположим, что f имеет производную, например, по ip\. Тогда дифференцируема функция
А'М |
cos 2пип(р. |
186 |
Глава 8 |
Нетрудно показать, что коэффициенты ип равны
( - 1) ” |
Л" + |
( ~ 1)га1 |
2 |
|
Л" . ' |
Справедлива
Лемма 8. Если 1 < А < А, то функция g{<p) нигде не дифференцируема.
Доказательство.
Рассмотрим функцию
00
G(<p) = 5 3 (f) совтгА>.
П =0
Покажем, что разность g{ip) — G(<p) дифференцируема всюду. Производная от функционального ряда
( ± |
1 |
|
гй)’М А-+ Л” |
. |
(р — COS |
га= 0 |
|
|
равна
п = 0
+ ( - 1)’ ■jy —7гЛ" sin7rA"y|. (2.8)
Так как
Л" sin А„ Ч «С
|A'(” P - O I < A - ® 7 > = ^ .
то выражение, стоящее в фигурных скобках, не превосходит
+ ^ + ^ М ) ^ |
2 + 2 + ’’’И ) = | М И + 2)2- |
3. Т е о р е м а о н у л я х |
187 |
Следовательно, на каждом компактном множестве R ряд (2.8) мажорируется некоторым сходящимся рядом с положитель ными членами и, стало быть, равномерно сходится к неко торой непрерывной функции. Отсюда, согласно известной те ореме о производной функционального ряда, функция g — G принадлежит классу С 1.
Если g(p) имеет производную в точке р = р', то функция G(p) также дифференцируема при р = <р'. Однако G(p) — классический пример функции, не имеющей производной ни
в одной точке [79]. |
■ |
Аналогично доказывается, что функция / |
не дифферен |
цируема по координате р2. |
|
§ 3. Теорема о нулях
Теорема 5. Пусть f непрерывна и имеет две непрерыв ные производные по р 2, А = 0, а отношение частот wi/w2 иррационально. Если f(p l, р 2) ф 0, то VT > 0 3ii, t2 > Т : I{t\, р\, р 2) > 0, I{t2, (pi, p f) < 0.
Следствие (теорема о нулях). Пусть выполнены усло вия теоремы 5. Если f ( p l , р 2) ф 0, то функция I(t, (pi, ip2) имеет бесконечно много нулей при t —>■оо.
Доказательство теоремы 5.
Расстояние d{ax, а2} между точками ах, а2 £ Т 2 будем определять в метрике
ds2 = dp\ + dp\.
Докажем сначала, что
Ve > 0, VT > 03т > Г : \1 (т , p i , р%)\ < |
е, |
d{(wiT + p i , ш2т + (р \), {(р\, (р%)} < |
е. |
Рассмотрим на Т 2 окружность S1 = {{р х , р 2) : р \= р \] и на ней функцию
Х / ш г
f{(jj\t + р\, ux2t + х )dt.
о
188 Глава 8
Так как за время t, кратное l/wi, точка (uit + ipi, ei21 + <p2) снова вернется на S'1, то
П—1
/(nwj-1, <^2) = X] F (ka + vh <Pi), a = w2M - k=l
Функция F G C2(S1) и
Jl F(x, <fii)dx = 0.
0
Предположим, что a G K 2. По лемме 5 для фиксированного у® существует непрерывная функция Ф(ж) на S 1 такая, что
/(n w f1, у»?, <£>°) = Ф(па + ч>%) - Ф(¥>2)-
Так как точки на S 1 с угловыми координатами па+(р% (п G Z) всюду плотны, то для случая а £ К2 утверждение (3.1) дока зано.
Если a G К\, то по лемме 6 существует бесконечно мно го натуральных чисел N, удовлетворяющих при некоторых целых т неравенству |N a —т\ < IV-3/ 2, таких, что
|/(ЛЧ-1, ^ , ^ 2)| < ^ = |
+ М2 |
(3.2) |
|
VN |
24ЛГ’ |
||
Mi = m ax\F'(x)\, М2 = |
m ax\F"(x)\. |
|
|
xes1 |
xes1 |
|
|
При этом точка |
|
|
|
(WIT + y>?, ш2т + <pl), |
T |
= N u )i1 |
|
отстоит от (у>3, у)®) на расстоянии |
|
|
|
d ^ \Na-m\ < N ~3/2. |
(3.3) |
Так как N может быть выбрано сколь угодно большим, то из (3.2) и (3.3) следует (3.1). Утверждение (3.1) доказано пол ностью.
4. Динамические системы |
189 |
Обозначим через Up окрестность точки (у>°, <£>2) радиуса р > 0. Пусть, для определенности, /(у ? , у’г) > 0- Тогда в неко торой области Us функция / > 7 > 0, 7 = const. Существуют е > 0 и /3 > 0, зависящие от д, такие, что если в момент времени t = т точка (ш\т + <р°, ш2т+ <р%) £ USo, то {w\t + + <р°, oj2t + <p2) & Us при т— (3 < t < т+ (3. Следовательно, если е < £0, то согласно (3.1) существуют сколь угодно большие т такие, что
|Т(т, <р°, ipl)I < е, i(t , <р°, ср°) = f(u>it + <р°, ui2t + vl) > 7
при т — (3 < t < т + (3. Так как постоянные £0, 7 и (3 не зависят от £, то при малых £ функция I(t, (pi, <£>2) принимает значения
разных знаков в интервале (т — (3, т + (3). |
Ш |
Теорема 5 неверна, если функция f |
только непрерывна. |
Действительно, в примере, рассмотренном в § 2, /(0 , 0) > 0, |
a I(t, 0, 0) —»■ +оо при t —»■ + 00. Более того, нетрудно пока зать, что I(t, 0, 0) > 0 при t > 0. Это вытекает из следующего утверждения: если (Л + 1)/2 < А < Л, то
ОО |
/ |
\ п |
n = 0 |
4 |
7 |
при t > 0. Действительно, если 0 < t ^ 7г/2, то, очевидно,
щ> 0. При доказательстве леммы 7 было установлено, что
при t G |
^A” j , п = 1, 2, ... , справедливо неравенство |
||
|
|
Ап |
Ап - 1 |
|
m |
^ А - А |
А - 1 ' |
Так как 1 < |
^ ^ * < |
Д < Л, то в этих интервалах функция |
|
I(t) > 0. |
|
|
|
§ 4. Динамические системы с интегральным инвариантом на торе
Рассмотрим на двумерном торе Т 2{(рг, <р2 mod 1} систе му дифференциальных уравнений
Ф \ = |
<р2), ф 2 = F2(<pi, <р2), |
(4.1) |
190 |
Глава 8 |
|
обладающую интегральным инвариантом |
|
|
/(«» = / / |
U(<pi, <p2)d<pid<p2 |
(4.2) |
G |
|
|
(G — измеримая область на Т 2). Всюду ниже предполагает ся, что Fi, F2, U — аналитические функции на Т 2, причем U > 0, F 2 + F l > 0 (т. е. система (4.1) не имеет положений равновесия). Общая теория уравнений (4.1) восходит к Пуан каре [75]. Основные результаты более поздних исследований можно найти в книгах [20, 80].
Уравнения (4.1), имеющие интегральный инвариант (4.2), часто встречаются при качественном анализе динамических
систем. Многочисленные примеры дает |
|
|
Предложение 2 (ср. с [81]). |
Рассмотрим автономную |
|
аналитическую систему дифференциальных уравнений в R " : |
||
ж = /(ж), х = (жь ... , ж„), |
/ = (Л, ... , /„ ) . |
(4.3) |
Предположим, что эта система имеет интегральный инва риант с плотностью А (ж) > 0 и п — 2 аналитических первых интеграла Фх(ж), ... , Фга_ 2(ж). Пусть на инвариантном мно жестве
М = {х e R B : Ф1(ж) = ci, ... , Ф71—2(ж) = Сп- 2}
функции Фх, ... , Ф„_2 независимы и на М нет положений равновесия системы уравнений (4.3). Если L — связная ком пактная компонента множества М , то
a) L — аналитическое двумерное многообразие, аналити чески изоморфное Т 2;
в) в |
любых угловых координатах ц>\, у>2 mod 1 уравне |
ния (4.3) |
имеют вид системы (4.1); |
с) система уравнений на L обладает интегральным инва риантом с положительной аналитической плотностью.
Действительно, с точностью до аналитического изомор физма L совпадает с двумерным тором как всякое связное,