книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

52 Глава 2

Tl = f\/1 “ (§)2sinZ+§\/1 “ ( f ) 2sin/cos^+

+ 0 . - ( | т ) COS /s i n g ,

T2 = f\/1“(§) cosZ+§^/1 _(f)aCOslcOSg~

~ \ 1 ~ ( § ) sin/sin^’

Тз = ^ У ! - ( § ) 2 ]/ l - ( § ) 2cosg,

где (ж, у, z) — координаты центра тяжести в главных осях инерции, г = у/х2 + у2 + z2 — расстояние от центра тяжести до точки подвеса.

и ip2. Согласно результатам работ [22, 18], разложение этой функции в двойной ряд Фурье по переменным (р± и ц>2 можно представить следующим образом:

Здесь элементы квадратной матрицы 5 = ЦауЦ третьего по­ рядка не зависят от ср2. Выпишем разложения в ряды Фурье по угловой переменной tp\\

Здесь К(Л) — полный эллиптический интеграл первого рода с модулем Л, F — эллиптический интеграл первого рода.

Исторический очерк

Задача о вращении тяжелого твердого тела с неподвиж­

в некоторых канонических переменных I, <р гамильтониан сво­ бодного вращения твердого тела имеет вид .'У (/i, I2). Им же введена функция а(2/У //|; А, В, С ); отношения а/2тг суть числа вращения (опять-таки определенные впервые Пуанкаре) на двумерных торах интегрируемого случая Эйлера Пуансо. Пуанкаре первым указал вид разложения возмущающей функ­ ции в кратный ряд Фурье по угловым переменным ipi, q>2. Ссы-

лаясь при этом на некоторые промежуточные формулы как на известные, А. Пуанкаре, наверное, прежде всего имел в виду ре­ зультаты работы Якоби [22], в которой указаны разложения направляющих косинусов свободно вращающегося тела в три­ гонометрические ряды по величинам и>Д и из-Я, где u>i и и>2 зависят только от постоянных первых интегралов. Так как возмущающая функция сводится к линейной комбинации на­ правляющих косинусов, то разложения Якоби после замены ui[t и u>2t на углы (fix и g>2 дают как раз ряд Фурье этой функции

впеременных ipi и tp2-

Внекоторых работах (например, [26, 33, 34]) специальные канонические переменные L, G, Н , /, g, h несправедливо назы­ вают переменными Депри. Это связано, вероятно, с тем, что

водной из работ Депри [15], где вводятся эти переменные, от­ сутствуют ссылки на другие источники. Однако специальные канонические переменные давно применялись в небесной меха­ нике при анализе вращательного движения небесных тел (см., например, трактат А. Андуайе [16]).

Используя разделение специальных канонических перемен­ ных в функции Гамильтона задачи Эйлера-Пуансо, Ю.А.Садов получил явные выражения для переменных действие-угол [18]. Отметим, что формулы, определяющие переменные дейст­ вие, были найдены иным способом в квантовой механике уже

вначале XX в., в связи с исследованием спектров многоатом­ ных молекул [19]. Дело в том, что свободно вращающееся твердое тело является в «классической» квантовой механике простейшей моделью «невозбужденной» молекулы. Как извест­ но, переменные действие играют определяющую роль в услови­ ях квантования Бора - Зоммерфельда.

Отметим в заключение, что вычисления Ю. А. Садова ко­ эффициентов Фурье разложения возмущающей функции повто­ ряют в современных обозначениях вычисления Якоби из уже упоминавшейся работы [22].

Функция Гамильтона Ж определена и аналитична по пе­ ременным I\, I2 в области

Д0а = Д а П {(Д ,/2):| /з°| < /2}.

В частности, коэффициенты (1.1) аналитичны в Д°. Согласно определению 1 § 1 главы 1 вековым множеством

системы с гамильтонианом Ж§ + цЖ\ называется множество точек I = (Ii, I2) £ Д°, удовлетворяющих условиям:

Теорема 1. В каждой из четырех связных подобластей области Д° множество 3% состоит из бесконечного числа пря­ мых, проходящих через начало координат. Эти прямые накап­ ливаются у одной из двух прямых линий

2Ж0(11, I2) = Ii/B,

лежащих на границе Д°.

Доказательство.

Из результатов § 2 гл. II следует, что множество точек из области Д° = Д П { |Zg |< / 2}, удовлетворяющих уравнению

при достаточно больших фиксированных т и выборе знака пе­ ред частотой и>2 (когда 1\ > 0, то при т > 0 (< 0) выбирается знак — (+); когда 1\ < 0, то наоборот), суть четыре прямые линии (по одной в каждой связной компоненте области Д°), проходящие через начало координат Ii = 12 = 0. Ниже будет показано, что для бесконечного числа значений т G Z функ­ ции Hm,±i(-0 отличны от нуля на прямых (1.2). Использовав теорему 1 гл. II, легко найти множество предельных точек для £$. Для этого устремим в уравнении (1.2) т к бесконеч­ ности. Тогда

0>2tJT = Ы р ш, А, в , <7)1 -> (X).

Согласно теореме 1 (гл. II) величина р = 2Ж^)1\ стремит­ ся к 1/В (В — средний момент инерции). Итак, множество

предельных точек для % — две прямые линии

2Ж0(1и h ) =

которые лежат на границе Да и пересекаются в начале коор­ динат.

Осталось показать, что в разложении (1.1) бесконечно много коэффициентов вида Нт>±i отличны от нуля. Рассмот­ рим три случая:

1) X2 + у2 = О, г ф 0; 2) ж2 + у2 ф 0, г = 0; 3) х 2 + у2 ф 0, г ф 0.

Пусть сначала центр тяжести лежит на оси Oz (случай 1). Согласно формулам § 4 гл. II в этом случае т — четные це­ лые числа. Пусть т = 2п, пЕ N — натуральное число. Случай т = —2п, пЕ N рассматривается аналогично. Используя фор­ мулу (4.2) (гл. II), разложения Фурье для S13, S23>5зз> а также формулы

Так как sin<$ ф 0 (в противном случае |/j| = I2), то коэффи­ циент H2n, - i равен нулю только в том случае, если

Когда п —>• сю, то согласно теореме 1 (гл. II) функция р =

=2Ж0Щ стремится к 1/В. При этом, очевидно,

Л= х,

58 Глава 3

Так как Л — непрерывная функция от р в некоторой окрест­ ности точки 1/В, то существует номер Ni(A, В, С), такой, что при tn2/wi = 2п > N± справедливы неравенства

О < Ai < А < Л2 < 1; Ai, Л2 = const.

При этом, очевидно, |сг| < сг0 и |g| < q0 < 1 (числа Ai, Л2, Сто и до в конечном счете зависят только от А, В, С). Следо­ вательно, существует номер N(A, В, С) (N > Ni) такой, что при 2п > N равенство (1.4) не может выполняться.

Рассмотрим теперь случай 2, когда х2 + у2 ф 0, г = 0. В этом случае числа m нечетные. Согласно формуле (4.2) (гл. II)

Ж\ = |)(sin(5sim£>2Sn + sin(5cos^>2S2i + cos<Ss3i) +

+ | (sinSSin <£>2S12 + sin(5cOS^>2S22 + CO<SS32).

Используя разложения Фурье функций Sij, нетрудно устано­ вить, что для натуральных п

если обращаются в нуль его действительная и мнимая части. Значит, когда х ф 0, то

Эти уравнения имеют вид равенства (1.4). Совершенно анало­ гично можно доказать существование такого N (A, В, С), что соотношения (1.5) и (1.6) не имеют места при 2 п + 1 > N. Следовательно, при достаточно больших п коэффициенты Я 2я+1,1 ф 0.

Общий случай, когда х2+ у 2 ф 0,2 ф 0, очевидно, сводится к двум рассмотренным. ■

Напомним (§1, гл. I), что вековым множеством мы на­ зываем также множество резонансных торов в фазовом про­ странстве невозмущенной задачи, отвечающих значениям пе­ ременных действие I € £$. Опишем это множество, используя специальные канонические переменные L, G, I, g (значение интеграла площадей Н = const зафиксировано).

Рассмотрим двумерное кольцо

К = {(/, L) <ЕR 2 : 0 < I ^ 2тг, \L\^G ,G = G°, g = 0},

секущее трехмерный уровень интеграла модуля момента G = const задачи Эйлера Пуансо (ср. с § 1 гл. II). Траектории невозмущенной системы трансверсальны к кольцу К всюду, кроме границ, которые представляют собой периодические ре­ шения — постоянные вращения вокруг большей оси инерции в противоположных направлениях. Любая точка к кольца К через некоторое время снова вернется на К .

Ж0 = |(asin2I + bcos2l)(G2 - L2)^L 2,

будем иметь

g = G(a sin21+ bcos21).

Следовательно, за конечное время переменная g станет рав­ ной 27г , и точка к снова вернется на кольцо К , подойдя к ней с «противоположной стороны».

Таким образом, получаем естественное отображение S внутренности кольца К на себя. Используя интегральный ин­ вариант Пуанкаре-Картана, нетрудно показать, что S сохра­ няет меру

v «»-// dL dl

D

(см., например, [23, 24]). Преобразование S по непрерывности вращает границы К в противоположных направлениях.

Задача Эйлера-Пуансо интегрируема, поэтому фазовое пространство расслоено на замкнутые двумерные поверхности

которые являются в общем случае двумерными торами. Оче­ видно, что поверхности (1.7) пересекаются с кольцом К по замкнутым инвариантным кривым отображения S, которые совпадают с линиями уровня функции fflo(lgLG°). Значит, кольцо К расслоено на замкну­ тые инвариантные кривые отобра­ жения S. Эти кривые показаны на рис. 9 (чтобы получить эту картин­ ку, надо отождествить на рис. 5 точ­ ки, Z-координаты которых отлича­

ются на 27г).

Неподвижные точки 1 и 2 соот­ ветствуют периодическим решени­ ям — вращениям вокруг меньшей оси инерции в противоположных на­ правлениях. Точки 3 и 4 тоже явля­

ются неподвижными точками отображения S. Им отвечают постоянные вращения вокруг средней оси инерции, которые имеют гиперболический тип. В невозмущенной интегрируе­ мой задаче сепаратрисы неподвижных точек 3 и 4 сдвоены: они идут из седла в седло. Эти сепаратрисы разбивают коль­ цо К на четыре связные подобласти Ki (i = 1, 2, 3, 4).

После этого анализа легко представить себе двумерные инвариантные торы в задаче Эйлера-Пуансо. Они являют­ ся прямым произведением двух окружностей, одна из кото­