книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела
..pdf§2. Возмущение равномерных движений |
81 |
существуют частные периодические решения — равномерные вращения тела вокруг главных осей эллипсоида инерции.
В специальных канонических переменных L, G, I, g вра щения вокруг меньшей и средней осей инерции записываются соответственно в виде:
L = 0, |
G == Go, |
i |
_i_ тг |
Go i I |
* = |
± 2 ’ |
g = ~At + g0’ |
||
L = 0, |
G == Go, |
1 = |
0, 7Г, |
g = ^ - t + g0. |
(2.1)
(2.2)
На траекториях вращений вокруг большей оси специаль ные канонические переменные вырождаются. Для исследова ния возмущений этих периодических решений следует подругому ввести специальные координаты, принимая вместо оси Oz, например, ось Ох (см. гл. II, § 1).
Периоды Т решений (2.1) и (2.2) равны соответственно
2-KA/GQ и 2nB/Go-
Выясним, будут ли канонические уравнения
Г - _ д Ж |
j _ дЖ (Ч _ _дЖ _ . _ дЖ |
|
д Г |
8L ’ |
dg ’ 8 3 G ' (2.3) |
|
Ж = Жо + рЖ\ |
|
допускать периодические решения, если р ф 0, но очень мало.
Случай несимметричного твердого тела
Теорема 1. Периодические решения невозмущенной за дачи — невертикальные постоянные вращения вокруг глав ных осей инерции — не исчезают при добавлении возмущения, а при малых р переходят в периодические решения возмущен ной задачи, аналитически зависящие от малого параметра р. Они существуют на каждом ненулевом уровне интеграла энер гии.
Следовательно, на почти всех трехмерных уровнях энер гии приведенная возмущенная система имеет шесть периоди ческих решений при малых значениях р.
82 |
Глава 4 |
До к а з а т е л ь с т в о .
Вокрестности невертикальных равномерных вращений гамильтониан Ж = Ж0 + цЖ± является аналитической функ цией. Значит, можно воспользоваться результатами § 1. В ка честве интеграла, аналитического по независимым перемен ным и малому параметру, можно взять интеграл энергии.
Рассмотрим сначала возмущение периодического реше ния (2.1). Нетрудно показать, что линейные уравнения
t l = ^A iT G»lu |
^1=0’ /l = A4C^Ll’ |
= |
{2Л) |
|||
суть уравнения |
в вариациях |
для |
«порождающего» |
реше |
||
ния (2.1). Они легко интегрируются |
|
|
|
|||
Gi — G i,o? gi |
Gi,o |
|
|
|
|
|
- д -t+ g i'O , Li Ai sinwf + B\ cos wt, |
||||||
|
h = A2 sincat + B2 cos wt, |
|
|
|||
и 2 |
( A - B ) ( A - C ) /G Q42 |
|
|
|||
|
в с |
U i > 0 , |
|
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
B2 — ^1,0? |
|
|
|
В - A |
G I, |
^2 |
A - C L ly0 |
|
||
A\ |
AB |
и <1’0’ |
АС и |
■ |
|
|
|
|
|
||||
Заметим, что |
|
|
|
|
|
|
A ,A 2 = ( B - A ) ( A - C ) /G o 42 |
|
|
||||
^1,0^ 1,0 |
A2BC |
v ш ) |
|
|
||
Матрица монодромии уравнений (2.4) |
|
|
||||
|
cos шТ |
0 |
7^- sinwT |
о |
|
|
|
|
0 |
1 |
*1,0 |
|
|
Х {Т ) = |
|
0 |
о |
|
||
7^- sin шТ |
0 |
coswT |
0 |
|
||
|
*1,0 |
|
|
|||
|
|
0 |
2тг |
0 |
1 |
|
|
|
|
Go |
|
|
|
Так как g = д Ж /dG ф 0 в окрестности периодического реше ния (2.1), то, применяя теорему Пуанкаре (§ 1), Надо образо вать матрицу Y = Х {Т ) - Е и, вычеркивая последний столбец
§2. Возмущение равномерных движений |
83 |
и вторую строку, убедиться в том, что определитель полу ченной матрицы V отличен от нуля. Можно показать, что это условие выполнено, следовательно, у системы (2.3) сущест вуют периодические решения, аналитически зависящие от pi, период которых в точности равен Т = 27гЛ/G o-
Действительно, определитель матрицы V равен
47rG0 1 (COSLOT — 1).
Для того, чтобы этот определитель был отличен от нуля, нуж но потребовать выполнения условия OJT ф 2жк, fc£ Z, или, что то же самое,
( А - В )(А -С )/ В С ф к2.
Это неравенство справедливо всегда. В противном случае
А = В + С + (к2 - 1)ВС/А.
При к ф 0 последнее соотношение противоречит неравенству треугольника А < В + С, а при к = 0 легко вытекает из условия А > В > С. Таким образом, |1^| ф 0.
Установим, что периодические решения возмущенной за дачи существуют на любом ненулевом уровне интеграла энер гии. Для этого составим следующую матрицу пятого порядка
где ip — вектор-столбец правой части невозмущенной системы уравнений, а ф — строка
дЖ0 дЖ0 |
дЖ0 |
дЖ0 |
(д Ь ' а с ’ |
dl ’ |
dg )' |
в которую подставлено решение (2.1) при t = Т. Можно пока зать, что ранг матрицы Z равен четырем, поэтому согласно результатам § 1 периодические решения возмущенной задачи существуют при любом значении полной энергии
h — Жо
L = 0 , G = G 0 , l = ± n / 2
84 Г л а ва If
Действительно, вычеркивая из Z последний столбец и вторую строку, получим матрицу, определитель которой равен
- ( G Q/A)2(COSU)T - 1).
Как было показано выше, эта величина никогда в нуль не об ращается.
Для равномерных вращений вокруг большей оси инерции теорема доказывается точно так же.
Осталось рассмотреть возмущения постоянных вращений вокруг средней оси инерции (2.2). Уравнения в вариациях для
этого решения следующие: |
|
|
||
и |
А - В |
G\ — 0, |
В — А т |
. _ G1 |
АВ G lh , |
ВС Lu |
gl ~ ~В~' |
Решения этих линейных уравнений с начальными условия ми Lh0, Gi,o, Zi,0) gi,o суть
|
L 1 = А\ sh Sit + В\ ch Sit, |
G i = G 1, 0 ) |
|||||||
|
h = Ai sh Sit + B2 ch Sit, |
gi |
<?i,o |
|
|||||
где |
В |
t + gl,0) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SI2 |
(■A - B ) { B - C ) ( Gp\2 |
. |
A - B & o , |
||||||
|
АС |
|
\ В ) |
’ |
Al |
AB |
SI h |
||
|
|
|
|||||||
Bl — i l ;0, A2 |
B - C |
Li,o |
|
B2 — h,o |
|
|
|||
BC |
SI |
|
h, QLI ,O |
||||||
|
|
|
|
|
|||||
Матрица монодромии |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ch SIT |
0 |
7^- sh SIT |
0 |
||||
|
|
|
|
|
|
n,o |
|
|
|
|
X (T ) |
|
0 |
|
1 |
|
0 |
|
0 |
|
TA2 |
sh SIT |
0 |
|
ch SIT |
0 |
|||
|
|
|
|||||||
|
|
-bl, 0 |
|
2тг |
|
|
|
||
|
|
|
0 |
0 |
|
1 |
|||
|
|
|
Go |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Образуем матрицу Y = |
Х (Т ) — Е й , |
вычеркивая из нее по |
следний столбец и вторую строку, получим матрицу с опре делителем
47Г ch 2irBSl
Go Go
§2. Возмущение равномерных движений |
85 |
Определитель равен нулю только в том случае, если
(А — В )(В — С) = 0.
Но этого не может быть из-за условия А > В > С. Следовательно, при малых р, существуют периодические
решения возмущенной системы, аналитически зависящие от этого параметра, которые при р = 0 совпадают с равномер ными вращениями вокруг средней оси эллипсоида инерции. Существование периодических решений при фиксированной постоянной интеграла энергии доказывается так же, как для рассмотренных выше случаев. ■
Случай динамической симметрии
Теорема 2. Если А = В ф С , то два периодических ре шения невозмущенной приведенной задачи — невертикальные постоянные вращения вокруг оси симметрии в противополож ных направлениях — не исчезают при добавлении возмущения, а переходят при малых р в периодические решения возмущен ной задачи, аналитически зависящие от параметра р. Они существуют на любом ненулевом уровне интеграла энергии.
Доказательство этого утверждения аналогично доказа тельству теоремы 1.
Замечание 1. Случай А = В = С не рассматривается, ибо он
относится к числу интегрируемых.
Замечание 2. В рассматриваемой задаче известен ряд част ных случаев интегрируемости [36]. В основном это периодические решения, выраженные в конечном виде через известные функции. Некоторые из них (например, решения Бобылева-Стеклова) при малых значениях параметра р представляют собой частные случаи
периодических решений, существование которых доказывается те оремами 1 и 2.
Нетрудно вычислить характеристические показатели по стоянных вращений вокруг главных осей эллипсоида инер ции. Например, мультипликаторы (собственные числа матри цы монодромии) постоянного вращения вокруг меньшей оси
86 |
Г л а ва 4 |
равны |
|
AI ,2 = 1, |
Аз:4 = coswT ± г sinwT = е±гшГ, |
J ( A - B ) ( A - C ) Gо
V в с Л ’
Следовательно, характеристические показатели этого перио дического решения равны
од,2 = о, Q3,4 = iiw .
Аналогичные формулы справедливы для показателей постоян ных вращений вокруг средней и большей осей инерции:
«1,2 — О, |
|
( А - В ) ( В - С ) Ср |
|
а з,4 = ± |
В ’ |
||
|
|
Л<7 |
|
ai,2 — 0, |
аз;4 |
(Л - С) (В - |
С) Со |
±* |
С ' |
||
|
|
ЛВ |
Таким образом, в случае несимметричного тела враще ния вокруг большей и меньшей осей являются решениями эл липтического типа, а вращения вокруг средней оси инерции имеют гиперболический тип. Несложно показать, что в слу чае Л = В ф С вращения вокруг оси динамической симмет рии — эллиптические, а вращения вокруг любой оси из эква ториальной плоскости эллипсоида инерции вырождены. Если А = В = С , то любое равномерное вращение является вырож денным.
§ 3. Рождение изолированных периодических решений из семейств периодических
решений задачи Эйлера—Пуансо
Сформулируем сначала одну теорему А. Пуанкаре о су ществовании периодических решений системы канонических уравнений следующего вида (см. гл. I, § I):
i |
дЖ |
■ _ д Ж |
I = (В, I2)<ED с R 2, |
|
dip ’ |
^ д ! ’ |
|||
|
|
<Р = {<Р1 , |
6 т2, Ж = Жо{1) + цЖх{1, у) +••• |
§3. Рождение изолированных периодических решений |
87 |
Пусть для I = 1° £ D частоты од и ох2 невозмущенной задачи соизмеримы. Тогда функция Ж\(1°, oj\t, ui2t + X) пери одична по времени с некоторым периодом Т. Положим
т
~Жх(Л X) = f j |
(Л Wit, 4 2t + A)dt. |
о |
|
Инвариантный тор 1 = 1° невозмущенной задачи сплошь заполнен траекториями периодических решений. Спрашивает ся, если р ф 0, но очень мало, существуют ли периодические решения возмущенной задачи, аналитически зависящие от па раметра р и при /х = 0, совпадающие с некоторыми периоди ческими решениями невозмущенной системы?
Теорема (А. Пуанкаре). Предположим, что выполне-
ны следующие условия: |
|
|
|
|
1) |
гессиан д2Ж0 ф 0 для I + 1 °, |
|
||
|
д Г |
|
|
|
0\ |
. |
т дЖх |
п д2Ж г |
, п |
2) |
при некотором А = |
А |
= 0, а ------ ^ |
о. |
Тогда при малых р ф 0 существует периодическое решение возмущенной системы, период которого равен Т; оно аналити чески зависит от параметра р и при р = 0 совпадает с пери одическим решением невозмущенной системы
I —7°, (fix — t, (f2 — Ш21+ А.
Два характеристических показателя этого решения всегда
равны нулю, а два других ± а |
можно разложить в сходящий |
||
ся ряд по степеням Д~р: |
|
|
|
а = адУ/х + 0,2р + аз/хУД + •••j |
|||
причем |
|
|
|
2 2 д 2Ж 1 |
.д 2Ж0 |
д 2Ж0 |
292^ о' |
д\2 А=А |
ох. |
— 2bJiU)2 |
+ ш2 ' dll |
дЦ |
d h d l2 |
(3.1)
Все детали доказательства (которое мы ниже кратко вос производим) можно найти в книге [1, пп. 42, 79]; там же рас смотрен случай систем со многими степенями свободы.
88 Глава ^
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Пусть в начальный момент времени / = /° , уц = <рЧ, р2 = = р 2. Так как wi(Jo) ф 0, то можно положить р\ = 0. Через время Т значения переменных действие-угол станут равными
I\ = I I + I I > 12 |
= ^2 + |
Т2 , |
<^1 = 27ГШ1 + у>1, |
¥>i = 27ггаг + |
у>2 + |
^ 2 |
(m i, m 2 Е Z). |
Величины /, ip аналитически зависят от 1°, р° и параметра р. Условия периодичности записываются в виде: Ii = 12 = pi = = р2 = 0. Эти уравнения не все независимы; они связаны следующим соотношением:
Ж (1°, р°, р) = Ж{1° + Т,р° + р, р).
Поэтому отбросим условие Ii = 0. Из уравнений движения легко вывести, что / 2 = pJ, где J — аналитическая функция начальных данных и параметра р.
Если уравнения периодичности ip1 = ip2 = J = 0 удовле творяются при / = 1° и р2 = Л, р = 0 и при р = 0 функцио нальный определитель
d p i |
d p i |
d p i |
d l l |
d l l |
d p i |
d p 2 |
d p 2 |
d p 2 |
d l l |
Щ |
dp% |
d J |
d J |
d J |
d l l |
d l l |
d p i |
отличен от нуля, то по теореме о неявных функциях существу ют аналитические решения I°(p), рЦр) уравнений периодич ности и, следовательно, решения возмущенных канонических уравнений с этими начальными данными периодичны с пери одом Т.
Подсчитаем значения функций pi, р2 при р = 0. Так как
P i = дЖ()/ d l i = и){ = const,
то pi = Twj —27гт,- (г = 1, 2). Для вычисления функции J воспользуемся уравнением
d ( h |
—I2 \ |
_ |
/ h У _ |
дЖ\ |
дЖ2 |
dt\ |
V ) |
~ |
V /* / _ |
др2 |
^ др2 |
§ 3. Рождение изолированных периодических решений |
89 |
Полагаем /х = О, I = /° , ц>\ = uiit, <р2 = W21 + А. В результате получим, что
тт
J = / ^ dt = ^ J Ж[(1°, Ш11, co2t+X)dt = Т -^ Ж гЦ 0, А),
оо
Уравнениям <pi = ф2 = 0 удовлетворяет, очевидно, значе ние I = 1°. Предположим, что А = А удовлетворяет уравне нию J = 0. Якобиан
Фи J) d (h , h , А)
при 1 = 1°, А = А равен |
|
|
д2Ж0 |
д2Ж0 |
|
dl\ |
dhdh |
д2Ж1 |
д2Ж0 |
д2Ж0 |
д\2 ' |
di2dh |
oil |
|
В силу предположений теоремы Пуанкаре этот якобиан от личен от нуля. Итак, существование периодических решений доказано. Обозначим их через I = 1° + I(t, 1°, р>°, /х), р = = р>° + u;t + p(t, 1°, р°, /х). Функции I(t) и p(t) периодические с периодом Т. Матрица монодромии этого решения есть
|
1 + ^1 |
dli |
|
dli |
dii |
||
|
dll |
dll |
|
dpi |
dpi |
||
|
dl2 |
|
1 + dh |
dl2 |
dh |
||
х = |
dll |
|
dil |
dpi |
dpi |
||
dwij, |
dpi |
dwij, |
dpi |
1 + ^ 1 |
dpi |
||
|
|||||||
|
dll |
dll |
dll |
dll |
dpi |
dpi |
|
|
du!2rp |
dp2 |
du^rp , |
dp2 |
dp2 |
1 + dp2 |
|
|
dll |
dll |
dll |
dll |
dpi |
dpi |
Пусть Y = X —E. Тогда собственными числами матри цы Y будут величины еаТ —1, где а — характеристические показатели. Обозначим через G(a, /х) определитель |Y —S E \, где S = еаТ —1. Очевидно, что G аналитична по а и /х. Поло жим а = £yf\i. Разделим первые две строки и последние два
90 |
Глава . |
столбца определителя |Y — SE\ на УД. В результате получим следующий определитель:
1 CJ>/I _ _5_
уд <7/i |
УД |
1 |
y/2 |
уда/? |
|
Уил rp |
dpi |
dll |
dli |
dullrp |
, dp2 |
9/? |
9/? |
1 Oh |
||
УДУ/1? |
||
J _ d h |
|
_ _S_ |
УД dll |
|
уд |
Уил rp |
, |
УД1 |
y /2° |
|
y /2° |
Уи>2 ^ |
, |
dip2 |
dll |
|
dil |
1 dh |
1 dh |
** dp! |
» dpi |
1 У/2 |
1 y/2 |
Vdpl |
»dp% |
J_dpi _ _s_ |
1 y^i |
y/P dpi yfp |
УД Уу>2 |
1 dp>2 |
1 dp>2 |
y/P dpi |
УД У^2 |
При этом уравнение G{a, р) = 0 превращается в уравнение
p~2G(eJ]l, р) = Gi(e, УД) = 0. Вычислим lim Gi(e, у/p). Для |
||||
v |
|
|
/i—fO |
v |
этого воспользуемся следующими соотношениями: |
|
|||
1 dli |
.. |
1 |
= Ш п * Й = о , |
|
lim ——— - = |
lim..... |
— . М |
|
|
у д dl9 |
я-»-0 УД dtp® |
я-ю Д/0 |
|
lim 4: = |
lim eT£^ |
= £T |
у д |
д->о УД |
|
|
|
1 |
<Pii T2) = 'f' J
Тогда
- eT 0
0 |
-e T |
Gi(e, 0) —
1 dlj |
|
d2R |
lim 77— Jr |
|
|
/i-уб Г dipV |
|
dp®dp? |
+ V’li w2t + pfydt. |
||
rp O'*It |
rp |
(PR |
d p ? |
d p l d p |
|
rp |
|
|
rp d 2R |
R |
|
d p \ d p \ |
|
d p ? |
|
|
Т У 2 ^ ? 0 |
rp d 2Ж е |
d i ? |
d l l d l l |
rp d 2Ж 0 |
r p d 2Ж е |
di® di® |
d i ? |
Так как
-e T |
0 |
0 |
- e T |
d2R wi + |
d 2R |
n |
d 2R |
, d 2 R u |
dip? |
d < & d ip lU * |
" |
d ip id ip r |
1 ' |