книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела
..pdf§4. Задача о движении линии узлов |
161 |
Действительно, когда т движет ся по траекториям уравнений (2.2), то F(<p2, t) совпадает с углом tp, изоб раженным на рис. 17. Траектория Г, проходящая через точку ж4 = х 5 = О, делит Щ = U на две части, в каж дой из которых изменение (р непре рывно, а при переходе через Г функ ция (р испытывает скачок на тг. Но во всех случаях колебание (р ограничено заведомо числом 27т, так как в малой
окрестности U траектории уравнений (3.2) почти прямые.
В дополнении к Ui, ... , U4 функция 1 —х\ > е > 0, следо вательно, функция Ф(<£>1, (р2) ограничена, а вместе с ней огра ничено колебание функции F((p2, t). Объединяя сказанное, за ключаем, что F(tp2i t) ограничена в S1 х [0, 2TT/ CI>I ].
За время t = 2wn/oJi угол <р станет равным
п — 1
^2 f(k2nw2/ui + <£>2 ) = crn. k=0
Так как шъ/ш! иррационально, то по теореме Вейля о равно мерном распределении [65] существует
Уть
<—fOOlim п = А.
Из ограниченности функции F(ip2, t) следует, что
l i m |
^ |
27гА |
А. |
|
и>1 |
||||
t—изо |
t |
|
По той же теореме Вейля число А зависит только от I\, h - ■
Идея доказательства этой теоремы восходит к исследова ниям Вейля о среднем движении перигелиев планет [63].
§ 4. Задача о движении линии узлов
Угол прецессии ф определяется из равенства
Х1 Х4 + х 2Х5 |
Х 3Х 6 |
Ф = |
4(1 -х% )' |
1 - |
162 |
Глава 1 |
Если выполнены условия леммы 2, то ф = Ф — аналитичес кая функция от равномерно изменяющихся переменных ц>\ и ip2- В других случаях Ф имеет особенность в точках на Т 2, где х\ = 1. Пусть Хд = 1 при t = t'. Раскрывая неопределен ность по правилу Лопиталя, когда 1\ ф 0, получим
lim Фit) = =F^- Ы it) -> ± 1). |
|
t-y# |
1 1 1 |
Теорема 3. Пусть Ii ф О, Iiv 2 ф 4/|. Если частоты
и и>2 соизмеримы, то линия узлов обладает средним движени ем. Если же ц>1 и 0J2 несоизмеримы, то линия узлов обладает главным движением, зависящим только от Е , /2.
Доказательство.
Если отношение частот u/i/u/2 рационально, то ф — не прерывная периодическая функция времени (в точках, где хд = ±1, она полагается равной =F/ 2/ 2/ 1). Следовательно, ф = = А*+ 0 (1).
Рассмотрим случай, когда отношение wi/w2 иррациональ но. Если Е й2 < 4/|, то Ф(уч, <рг) непрерывна на Т 2, и заклю чение теоремы вытекает из теоремы об усреднении [4]. Если же lit/2 > 4 /f, то, как при доказательстве теоремы 2, введем функцию
F((p2,t) = jt Ф(о11т+¥>?, u2T+<p2)dT, (P2&S1, tG[0, 27T/<X)I].
0
Для доказательства ее ограниченности снова рассмотрим окрестности Ui точек ai, ... , сц. В областях Ui, где ж6 близко к 1, запишем тождество
ж3(4 + Зж6)
■Ф= ~Ф + S,
4 (1 + Жб)
Когда m(t) G Ui, то интеграл по времени от / ограничен (так как / непрерывна в Ui) вместе с интегралом от ф. Аналогич но рассматривается движение в других окрестностях, где х%
§4. Задача о движении линии узлов |
163 |
близко к —1. Вне Ui, ... , Щ функция Ф ограничена, следова тельно, ограничено колебание F. Объединяя сказанное, полу чим, что F(<£>2, t) ограничена на S1 х [0, 2ж/из{\. Для заверше ния доказательства осталось применить теорему Вейля о рав
номерном распределении. |
■ |
Предложение 2. Если Iiv2 ф 4I 2, то функция Ф(у>1, у’г) |
|
интегрируема по Лебегу на T 2{y>i, |
mod 27т}. |
Доказательство.
Если Iiu2 < 4/|) то Ф непрерывна на Т 2 и утверждение очевидно. В случае, когда I\v2 > 4if, функция Ф непрерывна всюду, кроме точек ai, ... , а4, где ж| = 1. Поэтому доста точно доказать интегрируемость Ф в малых окрестностях 17* точек ai, ... , a4. Так как Дг/2 ф 4 , то за локальные коор динаты в Ui можно взять переменные ж4 и х$. Якобиан пре образования (y>i, <£>2) —>•(ж4, Жб)
Уг)
5 (ж4, ж5)
аналитичен по Ж4, Ж5. По формуле замены переменных
J J < p 2 ) d < p i d < p 2 = |
Ц |
4 |
d(Fb У2) dx/idxb. |
|
|
Ф(® , «б) |
3 (ж4, Ж5) |
Воспользуемся равенством |
|
|
|
Ф = |
- |
Х 3 Х 6 |
|
|
|
4 (ж| +ж|)'
Функции жз и же аналитичны по ж4 и жб в Ui, причем жз = О, когда ж4 = жб = 0. Следовательно, подынтегральная функция в переменных Ж4, Ж5 имеет вид
F = f(x4, x 5)/(xl + xl),
где / — аналитическая функция в 17* и /(0 , 0) = 0. В полярных координатах (г, (р): ж4 = г cosip, Ж5 = г sin <р.
Fdx^dxs I I f-d rd p .
Ui Ui
164 Глава 7
Так как / / г непрерывна и ограничена в проколотой окрест
ности |
точки |
а*, |
то F |
интегрируема по Лебегу в облас |
ти |
, U4. |
|
|
я |
Т ео ре м а |
4. |
При малых v |
||
|
|
|
2тт 2 7 Г |
|
|
|
|
/ / * < |
* ’1, (P2)d<fi2 d(p2 = 0. |
|
|
|
о о |
|
Для доказательства этой теоремы потребуется |
||||
Л ем м а 3. |
Пусть сужение функции f(x i, ... , ж6) на ин |
|||
вариантный тор Т 2 интегрируемо по Лебегу. Тогда |
||||
|
|
2 7 Г |
2 7 Г |
|
J J f(T i, T2)d(pid<p2 = j) ~ da,
о о
где V4 — четырехмерный объем параллелепипеда, построенно го на векторах grad/; (г = 1, ... , 4) как на сторонах, a da — элемент площади на Т 2 как поверхности в R 6{x i, ... , XQ}.
Доказательство.
В некоторой окрестности инвариантного тора T 2{p i, р 2 mod 27г} в R 6 можно сделать обратимую замену переменных
X i — Х { ( / 1 , . . . , I 4, р \ , ^ 2) |
— 1 , . . . , 6 ) . |
В новых переменных I, (р уравнения движения имеют вид (когда 13 = 0) Ii = 0, p>j = ... , / 4); i = 1, ... , 4; j = = 1, 2. Эти уравнения имеют интегральный инвариант с плот
ностью
д {х г, ... , х в)
р = М
d(Ii, ■■■ , h , <fi, <Р2)’
где М — плотность интегрального инварианта в переменных Xi, ... , х 3. Так как М = 1, а р = 1, когда 13 = 0, то в этом случае
д {х х, ... , х в) |
_ |
d(h, ... , I4 , <pi, <Р2)
§4. Задача о движении линии узлов |
165 |
Рассмотрим векторы
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(grad/i, £,■) = % |
i , j = 1, ... , 4, |
|
|
|
|
|
||
|
(grad/j, щ) = 0; г = 1, |
к = |
1 , 2, |
|
|
||||
(<$ij — символ Кронекера). Представим |
векторы |
^ в |
виде |
||||||
Сг + |
ГДе |
ортогональны |
щ, т]2, а £" |
разлагаются по щ |
|||||
и ?72- Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
д (х и |
... , х6) |
V &)V |
|
(Vj) = |
|
- |
|
Ve(£i ■■■Umm) |
|
|
1 |
||||||
, I4V1 V2) |
4 |
|
2 |
|
|
||||
|
|
d(Ii, ... |
|
|
|
|
(4.1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь через Vn(ai, ... , ап) обозначен n-мерный объем парал лелепипеда, построенного на векторах а\, ... , ап как на сто ронах. Так как снова
(grad/j, £'•) = 5ij,
то
V4(grad Ii)V4(%) = 1.
Учитывая (4.1), получим, что
V4(grad/i) = У2(п о
следовательно,
2 7 Г 2 тг |
2 7 Г |
2 |
|
2 7 Г |
27Г |
J J |
f<kpxdip2 = |
fV2(m, m) d(p\d(fi2 = |
О О |
0 0 |
^4(grad Ц) |
0 0 |
|
|
так как |
по определению элемента площади da |
|
= Рг(»71? V2)d(p1d(p2.
166 |
|
Глава 7 |
|
|
Доказательство теоремы 4. |
|
|
||
|
Рассмотрим |
преобразование |
а |
: R 6 —> R 6, определен |
ное |
формулой у |
= а(х), где |
х |
= ( x i , . . . , x e ) , а у = |
= (—х\, —Х2, хз, Х4, xs, —х6). Отображение а — линейное ор тогональное преобразование — произведение трех зеркальных отражений относительно координатных гиперплоскостей. При малых v каждый из двух инвариантных торов, составляющих совместный уровень интегралов, переходит в себя (см. доказа тельство леммы 1). Так как а : Т 2 —> Т 2 сохраняет площадь, то якобиан этого преобразования равен единице и, следова тельно,
Ф(а(ж)) |
Ф(ж) |
(4.2) |
rji2 VA(а(ж)) |
da. |
|
|
|
|
По формуле Грама |
|
|
y4(grad/fc) = ^/det ||(grad/i |
gradTj)||; i, j, к = |
1, ... , 4. |
Используя это соотношение, можно показать, что Vn(a(x)) = = Vi(x). Так как Ф(а(ж)) = —Ф(ж), то из (4.2) следует равен
ство
2-к 2ж
J |
J |
V2)d<pid(p2 = j) |
= 0. |
и |
0 |
0 |
т 2 |
|
|
Следствие. Если v мало и отношение частот u>i/u>2 ир рационально, то главное движение линии узлов равно нулю.
Действительно, по теореме о равномерном распределе нии [6, 65]
2ж 2п
Ит |
t |
= Л = —Ц- [ |
/ф ( у 1 , <f2)d<pid(p2 = 0. |
<-юо |
47Г J |
J |
|
|
|
о |
о |
З ам еч ан и е. |
Пусть 1 2 Ф 0 и v мало. Тогда главное движе |
||
ние линии узлов А равно нулю. Будем увеличивать значения пара метра V. При этом, очевидно, коэффициент А будет равен нулю по
крайней мере до тех тор, пока интегралы (1.1) независимы, и функ ция ф = Ф не имеет аналитических особенностей (т. е. h v 2 < 4 /f ).
§5. Теорема о временных средних |
167 |
§ 5. Т еорем а о врем енны х средних
Рассмотрим в прямом произведении D х Т п, где D — об ласть в R k{ h , ... ... , <рп mod 27г} — п-мерный тор, следующую систему уравнений с непрерывными правы ми частями:
Ij —0, фг — ^ (/i, •••, Ik)*i |
Ъ— 1? •••? Щ 3 — 1) ••• 1к. |
|||
Они немедленно интегрируются: |
|
|||
1 = |
1°, |
ip = U>t + <p°, |
I = (h , ... , Ik), |
|
(fi = |
(ip!, |
, (рп), |
Ш= |
(Ши ... , Шп). |
Пусть / ( / , ц>) — непрерывная функция на D х Т™. Положим
\{1) = {2жУ п j7Г ...j2 7 Г f(I , <p)dp,
Оо
|
т |
g{H Ч>) = lim ^ |
[ / ( / , ut + <p)dt. |
Т —ю о 1 |
J |
|
О |
По теореме об усреднении [4] предел всегда существует. Меж ду временными g(I, р°) и пространственными Х(1) средними известны соотношения [4, 20]:
1) для всех I функция g(I, ip) непрерывна по ip £ Т ” и
2 7 Г 27Г
(2тг) - ” / • • • / g(I, <p)d<p = А(/);
Оо
2) если при 1 |
= 1° частоты |
, ... , |
независимы, |
|
то g(I°, <р) = А(/°) |
ДЛЯ всех ip £ Т ". |
|
|
|
В общем случае функция g(I, <р) разрывна на В х Т ". |
|
|||
Теорема 5. Пусть при 1 = 1° частоты од, ... , |
ра |
|||
ционально независимы. Тогда равномерно по ip £ Т ” |
|
|||
lim g(I, ip) = 4 1°)- i—>iu
168 |
Г л а ва 1 |
Таким образом, функция g(I, ф), (I, ф) £ D х Т ” , непре рывна на нерезонансных торах и, вообще говоря, разрывна
вточках, лежащих на резонансных торах. Эта функция напо минает классический пример функции Римана, непрерывной
виррациональных и разрывной в рациональных точках [66].
Доказательство теоремы 5.
Для любого е > 0 существует окрестность U\ точки 1° £ D и два тригонометрических полинома Pi и Р2 от ip, такие, что
РЛч>) < f ( i , ч>) < AM v(/, <р) eU i |
х т™, |
(5.1) |
|
2п |
2-к |
|
|
(2тг)-" |
J (Р2 - Pi)d<p < |
£. |
(5.2) |
о |
о |
|
|
Действительно, для любого е > 0 существует окрестность U± точки 10 такая, что
|/(/, ф) - f(I° , ф)\ < е/4 V(J, ф) £ C/i X Т ".
По теореме Вейерштрасса об апроксимации [46] существует тригонометрический полином Р{ф), для которого
| /(Л Ф) ~Р(г)\ < е/4 VV> £ Т ".
Положим Pi = Р —е/2, Р2 = Р + е/2. Тогда Pi и Р2 удовле творяют (5.1) и (5.2).
Пусть N — степень Pi и Р2. Так как при 1 = 1° частоты и>х, ... , шп независимы, то в некоторой окрестности U2 С D
точки 1° справедливы неравенства |
|
||
I (*, * (/))! |
£ 4 |
i <*>*(/) |
> £ > 0; |
|
i=1 |
|
|
k = (ki, ... , kn); £ = |
const, |
||
где ki — целые числа, 0 < |
|fc| = |
П |
|
X) \h\ ^ N. |
|||
|
|
i=1 |
|
Для любого тригонометрического полинома
/ = Е № {k,v)
\k \^ N
|
5. Теорема о временных средних |
169 |
|||||
существует полином g(<p) такой, что |
|
|
|
|
|||
g = р - Ш1 + |
... + |
- ^ - и п = |
f |
- |
и |
(5.3) |
|
|
ар 1 |
|
орп |
|
|
|
|
Действительно, можно положить |
|
|
|
|
|||
|
g(<P) = |
^2 |
ih__e*(fc,¥>)_ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
0<|fe|<JV г(к, ш) |
|
|
|
|
||
Из (5.3) следует, что |
|
|
|
|
|
|
|
Jt f(ujt + <p°)dt = f 0t + g{ut + p°) |
- |
g(p°). |
|||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
2 п |
|
2 п |
||
lim 1 f |
f(w t + p°)dt = / 0 |
|
' |
/ |
^ <p^d<p' |
||
T-^00 1 J |
|
|
(27Г) ” / |
||||
0 |
|
|
|
О |
|
|
О |
В нашем случае |
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
27Г |
|
27Г |
|
|
Tlim ^ J Pi(ut + p°)dt = |
Л* = |
(27г) n J |
. -. J |
Pidp\ i = 1, 2. |
|||
о |
|
|
о |
о |
|
|
|
Из (5.1) следует, что для всех Т > 0 и всех / |
£ Ui |
||||||
т |
т |
|
|
|
|
т |
|
^ J |
Pidt < f J |
/ ( 7>ut + <p)dt < |
f |
j |
P^dt. |
||
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
Переходя к пределу при Т —> оо, получим для I Е U = t/i П U2 неравенство
Ai ^ g(I, р) ^ Л2. |
(5.4) |
С другой стороны, интегрируя по у соотношение (5.1) |
|
при 1 = 1°, будем иметь |
|
Л! «С \(1°) < Л2. |
(5.5) |
170 |
Глава 7 |
Так как 0 < Ai —Лг < £, то из (5.4) и (5.5) вытекает неравен ство
\g(I, - А(7°) |< е V(7, < p )eU x Т п. и
Возвращаясь к исследованию волчка Горячева Чаплыги на, рассмотрим случай, когда I\V2 < 4/| и v мало. В этом слу чае Ф, u>i, и>2 аналитичны по I, <р: I = (Д, I2), т = (74, Уг)- Если для 1 = 1 ° частоты шг и и>2 несоизмеримы, то по тео реме 3 главное движение линии узлов А равно нулю. Одна ко на практике невозможно установить, рационально или нет отношение u>i/u>2. Теорема 5 утверждает, что независимо от соизмеримости частот число А мало, если I близко к 1°.
Исторический очерк
Качественное исследование движения волчка Горячева Чаплыгина начато Л. Н. Сретенским в работе [67]. В ней под робно изучается случай, когда тело приведено в быстрое вра щение относительно горизонтально расположенной главной оси эллипсоида инерции, на которой лежит центр тяжести. Нетрудно показать, что в этом случае справедливо неравен ство IiV2 4/|, т. е. ось динамической симметрии может занимать вертикальные положения. Л. Н. Сретенский вводит в уравнения движения малый параметр, соответствующий быстрым вращениям тела, и в первом приближении по этому параметру получает формулы:
cos д = — COS (pi COS Ц>2 tg = sin^i c!,g ip2,
cosyi sin <pi COS Ц>2 |
3zv |
Ф = |
Vl = -- A---- « 1 , 7>2=W0 » 1 . |
■ COS2 ipx COS2 Ф 2 |
4CJ() |
(u>o (u>o 3> 1) — начальная угловая скорость тела). Отсюда вытекает, например, что нутация твердого тела имеет ха рактер «биений».
Однако из формул для ц> и ф не удалось сделать качест венных выводов о характере собственного вращения и пре цессии тела при изменении времени от — с ю до с ю . Препят ствием оказалось то обстоятельство, что в общем случае,