книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

Следствие 4. Если А > В > С и хотя бы один из интег­ ралов (4.4) отличен от нуля, то уравнения Эйлера-Пуассона задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки в ньютоновском поле сил не имеют дополнительного анали­ тического интеграла, независимого от классических.

по р.

Этот ряд будет сходиться для достаточно малых значений р, ес­ ли (р, q, г) £ G (G — некоторая малая окрестность нуля в R 3{p, q, г}), а л принимают значения из сферы Пуас­ сона

S2 = {TI + т ! + 7з : !}•

После введения малого параметра ц уравнения (4.1) будут иметь тот же вид, а потенциал станет равным

У = рУ1 + р2У2 + ■- •-

Таким образом, новые уравнения (4.1) будут описывать дви­ жения твердого тела в слабом потенциальном поле. Заметим, что форма рУ1имеет смысл потенциальной функции силы тя­ жести, а ее коэффициенты можно интерпретировать как про­ изведения веса тела на координаты центра тяжести в главных осях инерции.

Переменные 71, 72, 7з выражаются через специальные ка­ нонические переменные L, G, Н, /, g, h по формулам (4.1)

72 Глава 3

Обозначим через D область на кольце К , содержащую при каждом значении G G (ад, аг), 0 < ai < аг ((ад, аг) — малый интервал R) обе сепаратрисы неподвижных точек 3 и 4 (см. § 3).

Согласно формулам (4.1) (гл. II) и (4.5) переменные Эй­ лера-Пуассона являются аналитическими функциями специ­ альных канонических переменных, если

G G (ai, a 2), \Н\ < а±, (L ,l)E D , g G Т 1{ж mod 27г}.

Подставляя выражения (4.1) (гл. II) и (4.5) в функцию &, получим при фиксированном значении переменной Н = Н° (|if°| < ai) интеграл канонических уравнений с функцией Гамильтона (3.5), аналитический в области

D х (ад, аг) х mod 27г} х (—е, е).

Так как Ж и 9 как функции от переменных L, I, G, g и параметров Н, ц независимы, то при некотором фиксирован­ ном значении Н = Н° из интервала (—а±, ai) новый интеграл уравнений с гамильтонианом (3.5) не зависит от интеграла энергии. Но это противоречит заключению теоремы 1 (с уче­ том замечания 3 предыдущего параграфа). ■

Исторический очерк

Задача о существовании дополнительного интеграла урав­ нений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвиж­ ной точки, аналитического по каноническим переменным и параметру //, впервые поставлена А. Пуанкаре в п. 86 его «Новых методов небесной механики». Анализируя разложение возмущающей функции, А. Пуанкаре показал, что (в нашей терминологии) вековое множество не является всюду плот­ ным, и, следовательно, его общая теорема об отсутствии новых аналитических интегралов не применима: <г. . . ничто не препятствует существованию третьего однозначного ин­ теграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только п' (у нас и>2, В. К.) становится кратным п (у нас LJi, В. К.); отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим.

Поскольку сформулированные в этой главе условия явля­ ются необходимыми, но не достаточными, ничто не доказы­ вает, что этот третий интеграл существует. . . » [1, с. 226].

Фактически в этих строках содержится постановка задачи о существовании новых алгебраических интегралов

иутверждение, которое сейчас принято называть теоре­ мой Пуанкаре-Гюссона: если твердое тело несимметрично,

ицентр тяжести не совпадает с точкой подвеса, то ново­ го алгебраического интеграла нет. Общая задача А. Пуанкаре

одополнительных алгебраических интегралах решена в рабо­ тах Лиувилля, Гюссона, Бургатти. Исследования этих ав­ торов аналогичны работам Брунса и Пенлеве, посвящен­ ным задаче трех тел. Прекрасное изложение истории во­ проса об алгебраических интегралах можно найти в статье П. Я. Полубариновой-Кочиной [44]. Следует сослаться также на недавние работы А. И. Докшевича [88, 89], в которых ис­ правлены и упрощены некоторые существенные моменты до­ казательства теоремы об отсутствии новых алгебраических интегралов.

Г л а в а IV

Динамические эффекты, препятствующие интегрируемости уравнений движения несимметричного тела

Теория рождения периодических решений в каноничес­ ких системах дифференциальных уравнений, близких к ин­ тегрируемым, была разработана А. Пуанкаре для целей не­ бесной механики. В данной главе устанавливается примени­ мость этих результатов к классической задаче о движении тяжелого твердого тела с закрепленной точкой. Тем самым удается существенно расширить класс известных периодичес­ ких решений. В этой же главе исследовано воздействие воз­ мущения на сепаратрисы неустойчивых периодических реше­ ний задачи Эйлера-Пуансо — постоянных вращений вокруг средней оси эллипсоида инерции. Сложное поведение траек­ торий уравнений движения несимметричного тяжелого твер­ дого тела вокруг неподвижной точки (в частности, рожде­ ние многочисленных изолированных периодических решений и расщепление сепаратрис) несовместимо с существованием нового независимого аналитического интеграла.

§ 1. Характеристические показатели. Теорема Пуанкаре о периодических

решениях

В этом параграфе содержатся некоторые утверждения те­ ории дифференциальных уравнений, принадлежащие, в основ­ ном, А. Пуанкаре, которые будут использованы нами в даль­ нейшем.

Эта система имеет единственное аналитическое решение x(t, £) такое, что

6

Ф , £ ) = £, С

£»7

(см., например, [3]). Предположим, что при £ = £* решение системы (1.1) периодическое с периодом Т*. Частные произ­ водные

дхк

дЬ

удовлетворяют линейной системе

где в выражении для d fk/дхг вместо х подставлена периоди­ ческая функция x(t, £*). Введем матрицу n-го порядка

F = dfk дхг

Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами

называются уравнениями в вариациях периодического реше­ ния ж(£, £*).

Матрица

т =II*WWII

является, очевидно, фундаментальной матрицей линейной системы (1.2), причем Х(0) = Е, где Е — единичная мат­ рица п-го порядка. Матрица Х (Т*) называется матрицей монодромии системы линейных уравнений (1.2). Собственные числа Ai, ... , Ап матрицы Х (Т *) называются мультиплика­ торами, а величины ад, ... , а п: А* = ехр(а*Т*) — характе­ ристическими показателями системы (1.2). Числа ад, ... , ап называются также характеристическими показателями пери­ одического решения x(t, £*). Система (1.1) предполагается ав­ тономной, поэтому хотя бы один из характеристических по­ казателей равен нулю. Действительно, в этом случае

Для таких систем справедлива

Теорема Пуанкаре —Ляпунова. Характеристичес­ кий многочлен р(А) матрицы монодромии периодического решения гамильтоновой системы (1.4) возвратный: (р)А = = А2> (1 /А ).

Доказательство можно найти, например, в [4, 20]. Значит, если А — корень характеристического уравне­

ния р(х) = 0, то 1/А — корень того же уравнения. Так как многочлен р(х) имеет действительные коэффициенты, то его корнями являются также числа А и 1/А.

Так как /(£*) = /* ф 0, то из этих равенств вытекает линей­ ная независимость векторов щ, ... , i)n, f* . Из формул (1.3) и (1.6) следует, что щ, ... , т]п, /* — собственные векторы матрицы

Y = ||Х(Т*) - Е\\

с собственными значениями А = 1. Следовательно, по крайней мере ш + 1 ее характеристических чисел (мультипликаторов) равны единице. Это и требовалось доказать.

В качестве следствия получаем следующее утверждение: если п — m характеристических показателей решения x(t, £*) отличны от нуля, то на его траектории интегралы S i, ... , S m зависимы. В частности, на траекториях невырожденных пе­ риодических решений двумерной гамильтоновой системы ин­ теграл энергии Ж и любой первый интеграл 3- зависимы.

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравне­

ний

R " х (—е, е; х G R ", a G (—£, е). При всех значениях парамет­ ра a G (—е, г) существует аналитическое решение x(t, £, а) системы (1.7) такое, что ж(0, £, а) для всех а. Предположим, что решение x(t, £*, 0) — периодическое с периодом Т*. Бу­ дет ли «возмущенная» система (1.7) допускать периодические решения, если а ф 0, но мало?

Для рассматриваемых ниже приложений особый интерес представляет случай, когда система (1.7) имеет первый ин­ теграл g(x, а), аналитический в R™ х (—е, е).

Без ущерба общности можно считать, что /„(£*, 0) ф 0. Так как

dg

dxi fi +

отлична от нуля. Пусть, например, gi ф 0.

Для некоторых целей выгодно искать периодические ре­ шения «возмущенной» задачи, расположенные на фиксирован­ ном уровне g(x, а) = g* = g(£*, 0). Тогда к уравнениям пери­ одичности

надо добавить уравнение

При этом в уравнениях (1.10) период Т является неизвестной функцией а.

Полагая £„ = £*, ищем решение £ i(a ,), ... , ^n_ i(a ), Т(а) уравнений (1.10), когда к ф 1, и (1.11). Этим уравнениям при а = 0 удовлетворяют величины , £*_l5 Т*. Соот­ ветствующая функциональная матрица

то х подставлено i* . Если |W| ф 0, то по теореме о неявных функциях при малых а существуют периодические решения системы (1.7), расположенные на интегральной гиперповерх­ ности g(x, а) = g*.

§ 2. Возмущение равномерных движений

Когда параметр Пуанкаре /х равен нулю, имеем случай Эйлера-Пуансо. В этой невозмущенной интегрируемой задаче