книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

Здесь при возмущении рождается бесконечно много различ­ ных пар невырожденных долгопериодических решений.

Вслучае жесткой восстанавливающей силы локальным максимумам (минимумам) усредненного возмущения отвеча­ ют гиперболические (соответственно, эллиптические) перио­ дические решения. Для мягкой силы свойства устойчивости меняются на противоположные.

Эти выводы полезно сравнить с результатами работы [14],

вкоторой при выполнении неравенств (2.9) или (2.10) дока­ зано существование одного периодического решения с часто­ той (2.8). Метод Пуанкаре позволяет удвоить количество пе­ риодических решений и, что даже более важно, сделать заклю­ чение об их устойчивости. Любопытно отметить, что в книге Лефшеца [3] (в которой изложена работа [14] в несколько бо­ лее общем виде) имеется ссылка на классическое сочинение Пуанкаре [9]. Специалистам по теории колебаний следовало бы более внимательно изучать работы Пуанкаре. Это замеча­ ние относится и к работам по синхронизации динамических систем (см., например, [15]): сформулированные в этой тео­ рии экстремальные свойства синхронных (резонансных) дви­ жений часто оказываются следствием результатов Пуанкаре

орождении периодических решений многомерных гамильто­ новых систем.

Взадаче о вынужденных колебаниях маятника (при­ мер б) функция (2.7), очевидно, убывает и, следовательно, частота oj(,J) убывает с ростом J. В частности, (PH^/dJ2 < 0. Можно показать, что в этой задаче ряд Фурье для функции g содержит все гармоники с ненулевыми коэффициентами, и по­ этому возмущенная задача имеет бесконечное число пар не­ вырожденных 27гп/А-периодических решений, где п > А/а>о-

Взаключение этого параграфа сделаем важное замечание. Как заметил В. И. Арнольд (см. [16], добавление 9), если для заданных т и п уравнение

гпХ w(J) п

имеет решение, то при малых значениях параметра е урав­ нения (1.2) имеют не менее двух различных периодических решений типа {т, п}. Доказательство основано на примене­

242 Приложение

нии теоремы А. Н. Колмогорова о сохранении сильно нерезо­ нансных инвариантных торов и геометрической теоремы Пу­ анкаре о неподвижных точках отображения кольца. При этом остается неясным вопрос об аналитической зависимости этих решений от параметра е, а также ничего определенного нельзя сказать об их устойчивости.

Аналогичные соображения использованы в [8] для дока­ зательства существования бесконечного числа периодических решений различных типов при фиксированных конечных зна­ чениях параметра е. В [8] малый параметр вводится искус­ ственно в области, где потенциальная энергия много меньше кинетической. Периодические решения, полученные в работах [4]—[7], составляют половину периодических решений, сущест­ вование которых установлено в [8] методами гамильтоновой механики.

Другой конструктивный подход к поиску новых периоди­ ческих решений основан на использовании подходящих кано­ нических замен переменных J, р mod 2л- —> J, ф mod 2л- (за­ висящих от г), после которых гамильтониан принимает вид

Я = H0(J) + eHi(J) + e2H2{J, ф, t) + о(е2).

Ряд Фурье функции Н2, как правило, содержит новые нетри­ виальные гармоники, и поэтому метод Пуанкаре (после не­ сложной модификации) приводит к появлению новых субгар­ монических решений. Примеры эффективного использования этой идеи можно найти в книге [16, гл. IV].

3. Расщепление сепаратрис и периодические ре­ шения. Предположим, что фазовый портрет невозмущенной системы содержит петлю сепаратрис или пару сдвоенных се­ паратрис. Оказывается, при малых значениях г ф 0 эти сепа­ ратрисы, как правило, расщепляются (перестают быть сдво­ енными), и это явление, обнаруженное Пуанкаре, приводит к появлению областей с квазислучайным поведением траек­ торий (см. [9, 10, 16]). Как показано в [17], расщепление се­ паратрис тесно связано с рождением бесконечного числа пар различных долгопериодических решений, одно из которых эл­ липтическое, а другое — гиперболическое.

Рис. 2. Расщепление сепаратрис

Пусть

— двоякоасимптотическое решение невозмущенной задачи. Ввиду автономности, в (3.1) время t можно заменить на t —а, а — произвольный вещественный параметр.

Чтобы сформулировать условия расщепления сепаратрис, введем функцию

j 1J'Ct 1 yet

—OO

Видно, что I — 27г/А-периодическая функция от а. Оказывает­ ся, если 1(a) ф 0, то возмущенные сепаратрисы расщепляют­ ся. Более того, если функция а —>■1(a) имеет простые нули, то расщепленные сепаратрисы пересекаются, причем транс­ версально (см. [16]). Картины трансверсально пересекающих­ ся сепаратрис показаны на рис. 2.

В нашем случае, согласно (3.2),

2тг/Л

У I(a)da = 0.

о

Поэтому функция I обязательно имеет нули. Вопрос в том, когда среди них имеются простые нули. Справедлива

преобразование Фурье функции t —> x a(t). Поскольку функция

t—> x a(t) аналитическая и экспоненциально быстро стремится

кнулю при t —> ±оо (теорема Ляпунова), то ci — гс2 также аналитически зависит от А (теорема Пэли Винера).

Покажем, что cf + с| ф 0. Действительно, в противном случае по теореме обращения преобразования Фурье

+00

x a (t) = ± J (С1(А) - гс2(А))е-ш йА

—00

будет иметь :/;a(<)=const. Однако асимптотические решения не сводятся к равновесиям. Ввиду аналитичности, c^(a) + c|(a) = = 0 лишь для дискретного набора частот А. Согласно (3.3), для оставшихся значений А функция 1(a) имеет на периоде два простых нуля. Теорема доказана.

Исключительное множество значений А, о котором идет речь в теореме, не пусто. Оно содержит точку А = 0.

В работе [17] получен следующий результат о рожде­ нии изолированных периодических решений вблизи расщеп­ ляющихся сепаратрис в гомоклиническом случае. Если функ­ ция 1(a) имеет простые нули, то возмущенная система допус­

кает бесконечно много невырожденных периодических реше­ ний с частотой

где п — любое достаточно большое целое число (п ф По). Доказательство этой теоремы основано на проверке вы­

полнения всех условий теоремы Пуанкаре о рождении изоли­ рованных резонансных решений, если выполнено неравенст­ во (3.4). При этом начальные фазы порождающих решений стремятся к нулю функции I, когда п оо.

В теореме о расщеплении сепаратрис утверждается, что функция 1(a) имеет на периоде два простых нуля (в кото­ рых V ф 0). Пусть а0 — простой нуль и е1'(ао) > 0. Тогда периодические решения, о которых идет речь в теореме из ра­ боты [17], будут гиперболическими и, следовательно, неустой­ чивыми. Если же еГ(ао) < 0, то получим бесконечное се­ мейство эллиптических периодических решений. С помощью результата работы [11] С. А. Довбыш показал, что при выпол­ нении дополнительного условия

\Ъ(1")2 —М'1'"] ( а 0) ф0

эти эллиптические решения устойчивы по Ляпунову для ма­ лых е [18]. Им же доказано, что найдется такая постоянная с > 0, что с возрастанием |е| < с/п мультипликаторы ц, цГ1 периодического решения Пуанкаре, появляясь из точки ц = = цГ1 = 1 при е = 0, либо монотонно движутся в противопо­ ложных направлениях положительной вещественной полуоси (когда е1'(ао) > 0), либо обегают единичную окружность на комплексной плоскости, встречаются в точке pi = /z-1 = —1 и затем расходятся в противоположных направлениях отрица­ тельной вещественной полуоси (когда е1'(ао) < 0), становясь неустойчивыми. При |е| ^ с/п монотонный характер движе­ ния мультипликаторов может нарушиться.

Важно отметить, что предположение о наличии петли сепаратрисы является существенным. В гетероклиническом случае (например, в системе Дуффинга с мягкой восстанавли­ вающей силой) теорема Пуанкаре может давать лишь перио­ дические решения с частотой (3.4), где п пробегает нечетные числа.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Университеты России» (проект №5581).

Литература

[1]Duffing G. Erzwungene Schwingungen bet veranderlicher Eigenfrequenz und ihre technische Bedeutung. Sammlung Vieweg, Braunschweig, 1918.

[2]Сансоне Дж. Обыкновенные дифференциальные уравнения.

Т. II, М.: ИЛ, 1954.

[3]Лефшец С. Геометрическая теория дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1961.

[4]Harvey С. A. Periodic Solutions of Differential Equation x + + g(x) = p(t) / / Contribution to diff. equations. 1963, v. 1, №4, p. 425-451.

[5]Heinbockel J., Struble R. A. The existence of periodic

solutions of nonlinear oscillators / / Journal SIAM, 1965,

v. 13, № 1, p. 6 36.

[6]Morris G .R. A differential equations for undamped forced

nonlinear oscillations. I, II, III / / Proc. Cambr. Phil. Soc.,

+ 2x3 = p(t) I/ Proc. Cambr. Phil. Soc., 1965, V. 61, part. 1,

р. 157-164.

[8]Довбыш C.A. Колмогоровские торы в некоторых неинтегрируемых системах, не содержащих малого парамет­ ра II Вести. Моек, ун-та., Сер. Матем., механ., 1988, №2, с. 36-39.

[9]Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. В кн.: Из­ бранные труды, т. 1, М.: Наука, 1972.

[10]Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математи­ ческие аспекты классической и небесной механики. М.: ВИНИТИ АН СССР, 1985.

с. 634-639.

[12]Opial Z. Sur les periodes des solutions de I’equation

differentielle x + g(x) = 0 / / Ann. Polon. Math., 1961, v. 10,

p. 49-72.

[13]Уиттекер E., Ватсон Г. Курс современного анализа. Т. II, М.: Физматгиз, 1962.

[14]Shimizu Т. On differential equations for non-linear oscillations / / Mathematica Japonica, 1951, v. 2, p. 86-96.

[15]Блехман И. И. Синхронизация в природе и технике. М.: На­ ука, 1981.

[16]Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамиль­ тоновой механике. Ижевск: Изд-во Удм. гос. ун-та, 1995.

[17]Козлов В. В. Расщепление сепаратрис и рождение изоли­ рованных периодических решений в гамильтоновых систе­ мах с полутора степенями свободы / / УМН, 1986, т. 41, №5, с. 177-178.

[18]Довбыш С. А. Расщепление сепаратрис и рождение изоли­ рованных периодических решений в гамильтоновых систе­

мах с полутора степенями свободы / / УМН, 1989, т. 44, № 2, с. 229 230.

Козлов Валерий Васильевич

МЕТОДЫ КАЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА

В ДИНАМИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА

Директор А. В. Борисов Главный редактор И. С. Мамаев Дизайнер М. В. Ботя

Технический редактор А. В. Широбоков Компьютерная верстка С. В. Высоцкого Корректор М. А. Ложкина

Подписано к печати 30.10.00. Формат 84 х 108Уз2. Уел. печ. л. 13,44. Уч. изд. л. 13,16.

Гарнитура Computer Modern Roman. Бумага офсетная №1. Печать офсетная. Тираж 1000 экз. Заказ №

Научно-издательский центр «Регулярная и хаотическая динамика» 426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13.

Лицензия на издательскую деятельность ЛУ №084 от 03.04.00.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленных диапозитивов в ГИПП «Вятка».

610033, г. Киров, ул. Московская, 122.