книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела
..pdf§ 3. Теорема о поведении циклических переменных |
211 |
В первом случае И2 = —од — W2, ^1 = —wi и А = |
—2CJI — |
—и>2 < 0. Этот случай следует исключить, так как А > 0. Во
втором случае fi2 = |
+ w2, Hi = |
и А = 2 + сд2 > 0. Итак, |
|
7Г |
(2.5) |
|
2Л |
|
|
|
|
Аналогично доказывается, что при v = 0, Т2 = 0 и х$ < 0 |
||
|
А |
( 2.6) |
Так как отношение периодов п /т 2 непостоянно при 1/ = 0 и / 2 = 0, то формулы (2.5) и (2.6) справедливы при достаточ но малых значениях этих параметров (ср. с доказательством теоремы 2 гл. II).
§3. Теорема о поведении циклических переменных в интегрируемых системах
Рассмотрим каноническую систему с п+ 1 степенями сво боды, функция Гамильтона которой
•^{Qiy •■•) Qny Ply •••5Рпу J) |
(3-1) |
аналитична по всем своим переменным и не содержит в явном виде координаты ф, сопряженной с J. Полезно рассмотреть систему с п степенями свободы, гамильтониан которой есть функция (3.1), где J считается параметром. Такую систему назовем приведенной.
Система канонических уравнений с гамильтонианом (3.1) предполагается интегрируемой по Лиувиллю: существуют п + 1 независимых первых интегралов в инволюции
S ' l = Ж , STiy • • • у З'пу З 'п + Х = Jy
аналитических по всем каноническим переменным. Тогда приведенная система при каждом значении J будет также ин тегрируемой, так как п функций
З'х = Ж , ^ 2, ... , З 'п |
(3-2) |
независимы, не содержат ф и находятся в инволюции.
212 Глава 9
Будем предполагать, что в фазовом пространстве при веденной системы совместные уровни интегралов (3.2) ком пактны, и на этих уровнях функции (3.2) независимы. Тогда эти n-мерные инвариантные многообразия суть и-мерные то ры Т ", которые несут на себе квазипериодические движения. Таким образом, в этом случае качественная картина движе ния в приведенной системе ясна. Для того, чтобы дать полный анализ системы с гамильтонианом (3.1), достаточно знать по ведение циклической координаты 'ф.
В некоторой окрестности и-мерного тора Т га, где интегра лы независимы, можно перейти к переменным действие-угол приведенной задачи. Эта окрестность диффеоморфна прямо му произведению D х Т™, где I) — область R ". Перемен ные действие I = (Д, ... , 1п) постоянны во все время дви жения и принимают значения из области D, а переменные угол tpi, ... , р п суть угловые координаты на n-мерном то ре Т га, равномерно меняющиеся со временем. В переменных
действие-угол /*, pi, (i |
= 1, 2, ... , п) функция Гамильто |
на (3.1) не зависит от pi, |
т.е. |
Ж = Ж (1и ... , In] J).
Ясно, что
ф = Ф(J, It, рф
будет квазипериодической функцией времени с п частотами, и поставленная задача сводится к вопросу о поведении интег
рала
t
J Ф(J, Г», |
+ p°i)dt, |
о |
|
где u>i = д Ж /dli — частоты приведенной системы.
Теорема 1. Предположим, что при J = Jo приведенная система невырождена, т. е.
д 2Ж |
^0. |
dlidlj |
§3. Теорема о поведении циклических переменных |
213 |
|||
Пусть начальные условия (/?, |
выбираются из указанной |
|||
выше области D х Т п. Тогда в области D х Т п существует |
||||
непрерывная функция f(I , ip) такая, что для всех t |
|
|||
ф = фО + м + / ( Д |
+ ^0) _ |
/ ( Д ^о); |
|
|
Л = (2тг)~п J2 7 Г ... J27Г Ф(«70, |
<^1, |
, <p„)d<pi ... d<p„. |
||
о |
о |
|
|
|
Замечание. Функция / ( / , |
на самом деле аналитична. |
|
||
Д о к а з а т е л ь с т в о .
Рассмотрим для простоты случай, когда п = 2. В общем случае доказательство аналогично. Пусть
& х = Ж = Ж0{1, Jo) + (J - Jo)^i(J, V, Jo) + •••,
S'2 = S' = S'Q(I, Jo) + (J —Jo)^l(J, <p, Jo) + •••
Тогда
J) = Ф = |
|
= Ж1 = Н 0 + |
||
V |
dJ |
J=Jо |
|
т ф О |
Так как I = 1°, |
ip = |
u>t + t p a , TO |
i(m,¥>) _ *(m,¥>°) |
|
|
|
|
||
V, = A* + V > ° + ; £ T f^ { e i |
}, |
|||
|
|
га^О г(ш, w) |
|
(3 .3 ) |
|
|
2 7 Г 27Г |
||
А = ЯП= (2тг)-2 / |
/ |
Ф dp\ dip2- |
||
|
|
о |
о |
|
Функция ^ — первый интеграл канонической системы с гамильтонианом Ж . Следовательно,
(Ж0, 3~'ф) = О, (Ж0, 3~'\) + {Ж\, 3~'ф) = 0.
Если
= Y ,F m{I)ei{m'v\
(■т, oj)Fm = ( т, |
) Н„ |
214 |
Глава 9 |
(ср. с доказательством леммы Пуанкаре из § 1 гл. I). Рассмот рим линейную систему уравнений
nriiHm д&р |
т2Нт д&р _ |
|
(т, ш) dli |
(т, ш) dl2 |
т ’ |
ггцНщ дЖ0 |
т2Нт дЖ0 _ |
„ |
(т, и>) д!\ |
(т, ш) dl2 |
т |
относительно величин miHm/(m,u)), т2Нт/(т,ш)-, (т,шф 0). Ее определитель
Д = д(Ж 0, &о) d (h ,h )
в области D. Если mi = 0, то положим
//„ |
d&O |
дЖ0 |
Нт |
dh |
dh |
(т, ш) |
т2Д |
(3.4) |
|
||
если т2 = 0, то |
|
|
ТТ д&о |
„ дЖо |
|
Нт |
m dh + |
m dh |
(т, ш) |
mi А |
(3.5) |
|
||
если же mi ф 0 и т2 ф 0, то можно использовать любое из соотношений (3.4)-(3.5). Поскольку ряды ^ \Нт\, ^ |FTO|схо дятся, то при l£ D , таких, что (ш, ш) ф 0, для всех т £ Z х Z, ряд
н т c i(m ,ip) i(m , и>)
сходится к некоторой непрерывной функции / ( / , ф). В этом случае из формулы (3.3) следует, что
ф = ф0 + М + / (1 ° ,ф - / (1 0, ^ ) . |
(3.6) |
Так как приведенная система невырождена, то ее нерезо нансные торы всюду плотны [4]. По непрерывности равенст во (3.6) справедливо для всех 1° £ D. Я
§4. Поведение линии узлов |
215 |
§ 4. Поведение линии узлов. Качественная картина вращения волчка Ковалевской
Теорема, доказанная в §3, применима, конечно, при ис следовании движения линии узлов волчка Ковалевской. В этом случае циклической переменной служит угол прецессии ф, причем
Ф = Ф(<ръ (р2); ф г= щ = const.
Пониженная система в случае Ковалевской невырождена, по крайней мере, при малых значениях v (вероятно, она не вырождена всегда). В этом случае из теоремы 1 §3 вытекает
Предложение 2. Линия узлов волчка Ковалевской обла дает средним движением
2п 2TV
(4.1)
Оо
(независимо от соизмеримости частот и шф)-
Точно так же, как в § 3 гл. VII, доказывается Теорема 2. Если / 2 = 0 и v мало, то Л = 0.
Таким образом, в этом случае линия узлов совершает ограниченные квазипериодические колебания.
Полученные качественные утверждения о поведении уг лов Эйлера позволяют указать простую геометрическую кар тину вращения волчка Ковалевской. Сначала исследуем дви жение оси динамической симметрии. Обозначим через р след оси симметрии на единичной неподвижной сфере 5 2 с центром в точке подвеса. Углы д, ф являются сферическими коорди натами точки р.
Зафиксируем постоянные первых интегралов h , h , /з- Если Ii ф 212 + h i то согласно лемме 2 точка р никогда не совпадает с полюсами сферы S2 и, следовательно, угол 0 бу дет некоторой непрерывной функцией g((pi, <рф), где tp\,tp2 — угловые переменные на инвариантном торе T 2 (/i, h , h )i из меняющиеся с постоянными скоростями и о»2, которые да ются формулой (1.9). По теореме 1 существует непрерывная
216 Глава 9
27г-периодическая функция f(<pi, <£2) такая, что
Ф = ф о + A t + f ( i p i , <р2 ) ~¥>°)-
Здесь постоянная Л вычисляется по формуле (4.1). Рассмотрим подвижную систему координат, которая вра
щается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью Л в направлении среднего движения линии узлов. Предположим, что в начальный момент времени подвижная система совпада ла с неподвижной. Тогда сферические координаты ф ' точ ки р в подвижной системе будут изменяться со временем сле дующим образом:
= g i < Pь < Р 2 ), Ф ' = +Ф fо( < P i , <Р2) ~ ¥>°)-
Рассмотрим непрерывное отображение инвариантного то ра T 2(/i, /2, 1з) на «подвижную» сферу 5 2, определяемое фор мулами ■&' = g(ipi, ( р ъ ) , ф' = f(<p1, <р2 ) . Образ тора Т 2 при этом отображении обозначим через D. Пусть D' — область S2 в подвижной системе, получающаяся из D поворотом на угол Фо — f(<P1) 2)• Конфигурация области D' зависит только от постоянных первых интегралов, а ее положение зависит еще от начальных фаз (р°, ip\ и начального положения линии уз лов. В подвижной системе отсчета движение точки р проис ходит в замкнутой области D '. Если отношение частот OJI/OJ2 рационально, то траектория точки р является замкнутой кри вой, если же 0J1 /0J2 иррационально, то, очевидно, р заметает D всюду плотно.
В неподвижной системе отсчета движение точки р можно рассматривать как сложное: точка р движется в области D ' , которая, в свою очередь, вращается как твердое тело вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью Л. Вокруг оси ди намической симметрии твердое тело вращается с постоянной угловой скоростью и еще совершает ограниченные квазипериодические колебания около этого среднего движения.
При v = 0 область D является окружностью (что легко выводится из представления Пуансо). При этом якобиан
т= d(f, g) _ n d(<Pi,<P2)~ '
§5. Приложение к исследованию лиувиллевых систем |
217 |
Разлагая решения уравнений движения в ряды по степе ням малого параметра v, можно убедиться в том, что коэффи циент при v в разложении функции J не равен тождественно нулю. Стало быть, в общем случае J £0, и, следовательно, множество D (конгруэнтное с D') является двумерной облас тью.
З а м еч а н и е . Несложно показать, что в случае Лагранжа для почти всех начальных данных (за исклю чением точек, лежащих на некоторых особых уровнях первых интегралов) углы Эйлера изме няются следующим образом:
д = f(t), tp = \t + g(t), ф = АЬ + И(Ь),
где постоянные А, Л зависят от констант интегралов, а функции f , g , h — периодические с одним и тем же периодом т (причем f(t) £ (0, 7г) Vt £ R). Из этих формул следует, что точка пересе чения р оси динамической симметрии с единичной неподвижной сферой S2, как в случае Ковалевской, совершает сложное движе ние: она движется по замкнутой кривой D = {($, ф) £ S2 : д = = /(£), ф = h(t), t £ [0, г)}, которая вращается как твердое тело вокруг вертикальной прямой с постоянной угловой скоростью Л.
§5. Приложение к исследованию обобщенных лиувиллевых систем
Рассмотрим динамическую систему с тИ-1 степенями сво боды, гамильтониан которой в некоторых канонических пере
менных qi, ... , qn+1, pi, |
, Pn+i имеет вид |
||
|
|
п |
2 |
^ |
— |
£ Г |
+ А + 1С < Ш + D M i) 1 • (5.1) |
2 £ |
M Qi) |
|
i[qi) |
1= 1 |
|
|
|
Функции А{, Bi, Ci и Di будем считать дважды непре рывно дифференцируемыми, причем
^^l((?l)) ••• ) Bniln)
никогда в нуль не обращаются.
218 |
Г л а ва 9 |
Отметим, что если Cj = 0 (j = 1, ... , п), то Ж — гамиль тониан обычной лиувиллевой системы с п степенями свободы.
Координата qn+i — циклическая, следовательно, рп+1 = = const. Каноническая система с гамильтонианом Ж , в ко тором координата рп+1 — фиксированная постоянная, будет приведенной.
Система с функцией Гамильтона (5.1) интегрируется раз делением переменных. Действительно, обозначая постоянную интеграла энергии Ж через h, будем иметь
pj |
+ Pn+iCiiqi) + Di(qi) |
hAi(qi) = a*; i = l, ... ,n , |
2Bi(qi) |
где постоянные а* подчинены условию ад 4- ... 4- ап = 0. От сюда
Pi = \J2 B i(a i + hAi - D i - p2n+1Ci). |
(5.2) |
Выписать полный набор интегралов в инволюции как пол ной, так и приведенной системы не представляет труда. Ис следуем сначала поведение решений приведенной системы. Из уравнений Гамильтона
Q* |
дЖ |
Pi |
= 1, |
п |
|
dpi |
Вi X) Aj |
||||
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
с учетом соотношений (5.2) будем иметь замкнутую систему для определения переменных дд, ... , qn:
VFijqi) |
i = 1, ... , п, |
|
|
Е АзШ |
(5.3) |
3= 1 |
|
Fi = 2(a; + hAi - D i - p2n+1Ci)/Bi.
Вдействительном движении переменные qi изменяются
вобластях, где Fi(x) ^ 0. Ограничимся рассмотрением слу чая, когда координаты qi изменяются в интервалах [сц, bi], где a,i,bi — соседние корни функции Fi, между которыми Fi > 0.
§5. Приложение к исследованию лиувиллевых систем |
219 |
Это равносильно рассмотрению решений приведенной систе мы, лежащих на компактных совместных уровнях первых ин тегралов.
Покажем, что если корень aj(fcj) кратный (т.е. F!(ai) = О (F!(bi) = 0)), то переменная qi совершает лимитационное дви жение. Пусть, например, F-(bi) = 0. Положим,
м = max |
IF"(ж) |> 0, N = |
min |
> о . |
CL2 ^ X ^ |
Ь { |
|
|
По теореме о среднем |
|
|
|
|
Fi(qi) ^ ^~(qi ~ к )2 |
qi£[a,i,bi\. |
|
Из уравнения (5.3) следует, что |
|
|
|
Следовательно, t —►оо, когда q, —> 6*, или, что то же самое, qi(t) -> bi, когда t -> оо.
Будем рассматривать случай, когда корни щ, bi простые. Это, очевидно, эквивалентно случаю, когда первые интегралы независимы на своих совместных уровнях. По теореме Ар нольда [4] эти уровни будут и-мерными торами, которые не сут на себе условно-периодические решения.
В этом случае уравнения (5.3) можно упростить. Сделаем замену переменных qi —> mod 27т, по формуле (ср. с § 2 гл. VII):
В новых переменных уравнения (5.3) будут иметь следу ющий вид:
з
220 Глава 9
Применяя теорему о приведении уравнений на п-мерных торах (гл. VII), систему (5.5) можно привести к следующей:
|
|
П |
= |
л = <2 |
з=1 |
|
|
|
Новые переменные (р±, |
, <рп являются угловыми пере |
|
менными на инвариантных n-мерных торах приведенной сис темы, равномерно изменяющимися со временем. Существо вание таких переменных вытекает из теоремы Арнольда об интегрируемых гамильтоновых системах.
Нам осталось исследовать поведение циклической пере менной qn+1. Из уравнения Гамильтона
П
Е Ci{<u)
Яп + 1 — дРп+\дЖ — P n + l —
ЕAM i i=1i=1
будем иметь
|
|
qn+1 |
о |
f Е |
<?•(«•(*)) ^ |
|
||
|
|
qn+1+ p n+1J |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
где функции qi{t) являются решениями системы (5.3). |
||||||||
|
В |
общем |
случае |
приведенная |
система невырождена, |
|||
и |
по |
теореме |
1 |
§3 |
координата qn+i |
= At + |
0(1), где |
|
А |
(= |
const) |
зависит от постоянных |
первых |
интегралов |
|||
(h, а±, ... , ап, P n + i ) , |
а ограниченный остаток есть п-частот- |
|||||||
ная квазипериодическая функция времени. Мы дадим сейчас доказательство этой формулы без предположения о невырож денности приведенной системы.
Сделаем замену времени t = t(r) вдоль фиксированного решения по формуле
dt dr
(5.6)
i=1