книги / Методы качественного анализа в динамике твердого тела

Лемма 1. Если qi(t) и q2(t) — два решения уравнений движения с начальными данными (/ДО) = <?2(0) = qo, 91(0) = = - 92(0) = V 0 , mo qi(±t) = q2(=Ft)-

Следствие 1. Если q(t) — решение уравнений движения с начальными данными б/(0) = qo, q(0) = 0, то q(t) = q(—t).

Доказательство л е м м ы 1.

Если q(t) — решение уравнений Лагранжа с лагранжиа­ ном = & + У и с начальными условиями (при 7 = 0) 9(0) = = qo, 9(0) = vo, то q(—7) есть решение тех же уравнений с на­ чальными условиями q(0) = q0, q(0) = —v<). Для завершения доказательства остается использовать теорему единственнос­ ти решений уравнений Лагранжа с положительно определен­ ной квадратичной формой & . Я

Таким образом, если в некоторый момент времени точка m(t), т £ D, достигла границы 8D, то скорость точки обра­ щается в нуль и в последующие моменты т движется в об­ ратную сторону по той же траектории с той же по величине скоростью. Поэтому в случае, когда 8D не пуста, естественно отождествить геодезические метрики Якоби (определенные внутри области D) с траекториями движения натуральных механических систем.

Всюду ниже область D считается компактной и связной, а также предполагается, что на границе нет критических то­ чек потенциала У. Другими словами, исключаются из рас­ смотрения те значения h, при которых уравнения движения имеют положения равновесия. Множество исключительных значений полной энергии имеет нулевую меру.

Геометрия геодезических в области D, имеющей края, не похожа на привычную геометрию римановых пространств. Например, если риманово пространство компактно, то любые две его точки можно соединить хотя бы одной геодезической [45, гл. II].

Для компактных областей возможных движений с краем это уже не так. Вот простой пример:

М = R 2{a:, у}, 2У = х 2 + у2, 2У = а 2х 2 + Р2у2,

а/Д £ R \ Q.

132 Глава 6

Пусть точки а, ЪG D. Обозначим через Паь множество всех кусочно-гладких путей 7 : [0, 1] —> D с началом а и концом Ь. Определим функции d : D х D —> R по формуле

d(a, Ь) = inf{I,(7) : 7 G ОаЬ},

где L(7) — длина пути 7 в метрике dp. Неотрицательная функ­ ция d задает отклонение на множестве D [46, гл. IX], так как

Отметим, что отклонение d не является расстоянием на £>, так как d(a, b) = 0 для любых точек а, Ьиз одной связ­ ной компоненты границы 8D. Однако если a £dD, то из ра­

Это число назовем расстоянием между точкой m G i) и гра­ ницей 8D. Если д(т) = 0, то т G 8D. Заметим, что когда 8D связна, то d(m, а) = д(т ) для всех a G 8D.

Справедливы следующие утверждения:

единить геодезической длины d(a, b), целиком лежащей внут­ ри D. Доказательство этих утверждений просто и здесь не приводится.

Теорема 1. Любую точку a G D можно соединить с не­ которой точкой границы 8D геодезическо длины 8 (a).

Обозначим через m(i, а) движение натуральной систе­ мы, начинающееся с нулевой скоростью в точке a G 8D (т.е. т(0, а) = а). Так как уравнения движения обратимы (лемма 1), то справедливо

О< £ ^ £о точка m(t) не может находиться в области V£o =

={h + У ^ е} бесконечно долго.

Следствие 3. Точка m(t) не может асимптотически стремиться к 8D при t —> оо.

За м еч а н и е . По терминологии Адамара [2, § 183] область Vc при малых е является областью отталкивания.

Доказательство леммы 2.

Выберем г 1 столь малым, что в Vei потенциал У не имеет критических точек. Так как VEl компактно, то существует ко­ нечное покрытие множества VEl малыми областями Ws С М (s = 1, ... , N), в которых можно ввести глобально декартовы координаты.

Оценим сначала 'У на VEl. Для фиксированного s обозна­ чим через qi, ... , qn локальные координаты на Ws. По нера­ венству Коши-Буняковского

\ У \ = £ диdqt ^ |gr&dV\y/v,

где v — величина скорости точки ш. Так как У — положи­ тельно определенная квадратичная форма, то в области Ws справедливы неравенства cijSv2 ^ У <СС2,сг;2 (ci)C, С2,с > 0). Из выражения для интеграла энергии У = h + У следует, что в V£l кинетическая энергия У ^ £i- Следовательно, в области V£l П Ws выполняется неравенство |У| <;

Положим С'з = т а х 8сз;8. Тогда на всем множестве V£l

Пусть при t = 0 точка т находится в области VEo. Тогда h + У ^ Сб£2/2 —Сз£. Следовательно, время, через которое то покинет множество {h + 'V ^ е0}, не превосходит положитель­ ного корня следующего уравнения:

С6х 2/2 - Сзж = £0-

Доказательство теоремы 1.

Если a G сШ, то заключение теоремы очевидно. Пусть a G Int-D. Обозначим через S сферу малого радиуса 6 с цент­ ром в точке а. Так как 5 компактна, а функция д(х), х G 5 непрерывна, то на S существует точка Ътакая, что

д{Ь) = тш д(ж ).

Обозначим через 7 единственную геодезическую, проходя­ щую через точки а и Ь. Пусть s — натуральный параметр на y(s), причем 7(0) = а. Очевидно, что -y(S) = Ъ. Покажем, что для всех 8 ^ s < д(а) справедливо тождество

§ 0]). Так как каждый путь из а в некоторую точку на dD пересекает S, то

д(а) min(d(o, х) + д{х)) = 8 + д(Ь).

X & S

Следовательно, равенство (1.2) справедливо для s = 8.

Пусть SoG(<5, 9(a)) — верхняя грань значений s, для кото­ рых верно тождество (1.2). По непрерывности равенство (1.2) справедливо и для з = з0. Пусть S' — сфера малого радиуса 8' вокруг точки y(so) G Int D и а' — точка на S', наименее удаленная от 8D (рис. 15). Тогда

д(у(80)) = min(d(y(s0), х) + д{х)) = 8' + д(а').

Ж6*57

Следовательно,

д(а') = д(а) - (s0 + 8').

136 Глава 6

Утверждается, что а' есть 7(^0 + <^)* Действительно, с учетом неравенства треугольника,

d(a, а') ^ д(а) - д(а') = s0 + S'.

Но путь длины so + S' получится, если идти по 7 от а до 7 (^0), а затем по кратчайшей геодезической из 7(so) в а'. Так как этот путь лежит внутри области D и имеет наименьшую воз­ можную длину, то он является геодезической, а поэтому сов­ падает с 7. Итак,

7 (so + S') = a', 8 (j(s 0 + <П) = 8 (a) - ($о + S').

Противоречие с определением so завершает доказательство

ченно приближается к 8D, оставаясь внутри области D (схо­ димость здесь и ниже рассматривается относительно метри­ ки ds).

Обозначим через Ue £-окрестность в метрике ds множест­ ва 8D. Если т не стремится к 8D, то существует е > 0 такое, что при произвольно больших t точка т находится вне Ueo. С другой стороны, при 0 < t < 00 точка т побывает в точках гпк £ D , сколь угодно близких к 8D. Начиная с некоторого номера к, эти точки будут лежать в Ueo/ 2. Расстояние в мет­ рике ds между точками множеств 5 \ UEo и D П USo/2 ограни­ чены снизу некоторым положительным числом. Так как m(t) бесконечно много раз пересечет «полосу» USo \ Ueo/2, то длина 7 (s), 0 ^ s < 8 (a), бесконечна. Однако это не так.

Следовательно, при t —1 оо точка m(t) асимптотически стремится к 8D. Однако согласно лемме 2 такого быть не мо­ жет. Полученное противоречие показывает, что t' < ос.

Так как функция m(t) непрерывна по t и

lim d(m(t)) = О, t->t'

то m(t') Е dD. Переходя в равенстве (1.2) к пределу при t —> t', заключаем, что длина кривой m(t), 0 ^ t t' равна д(а). Я

§ 2. Аналог леммы Гаусса

Так как граница 8D = {h + У = 0} компактна и в некото­ рой ее окрестности нет критических точек функции У, то при малых е > 0 область 14 = {0 ^ /i + У ^ е} С D диффеоморфна прямому произведению 8D х [0, 1] (см., например, [47]).

Введем в D локальные координаты х ,у ,х = ( x i ,..., xn- i), так, что х \, ... , x n- i — локальные координаты на многооб­ разии dD, а множества {х, у : у = уо} С D являются уровня­ ми функции У. Будем считать, что в области D координата

у^ 0, причем у = 0 на границе dD. Заметим, что функция

У(у) монотонно возрастает в окрестности нуля.

Рассмотрим решения уравнений движения со следующи­ ми начальными условиями: х = жо, у = х = у = 0. Обозначим их через

Траектории этих решений являются, конечно, геодезически­ ми метрики Якоби.

На границе нет положений равновесия, следовательно, формулы (2.1) можно представить в виде

ж = ж0 + t2X (t, ж0), у = t2Y(t, ж0),

где X , Y — гладкие функции на R х dD, причем Т(0, ж0) для всех ж0 G dD .

Обозначим р(т, жо) длину геодезической (2.1) в метрике Якоби dp, когда t изменяется в интервале [0, т]. Так как dp =

Откуда

Р = V2[h + r(y (t, ж0))],

Следовательно, при t = 0p = p = 0, a Р > 0 . Значит,p(t, х0) = = t3P (t, ж0), где Р — гладкая функция на R х dD, причем Р(0, ж0) > 0 при всех х 0 £ dD.

Рассмотрим взаимно однозначное отображение окрест­ ности границы dD х [0, 1) на D, определенное функциями х' = х, у' = yjy. Это отображение является диффеоморфизмом вне dD. В новых переменных

где Y' = д/ F (£, х0) — гладкая функция. Так как Т'(0, ж0) > 0, то при малых значениях t равенство (2.2) можно разрешить относительно t. В результате получим функцию t = t(y', Жо), гладкую на прямом произведении [q, s) х dD. Следовательно, функция p(t, Жо) = р(у', а?о) тоже гладкая. Ее можно предста­ вить в виде

которых до границы dD вдоль геодезических (2.1) равно р.

гладкой функции / = ^/р, не имеющей критических точек при малых значениях переменной у'. Следовательно, ^2р — гладкое многообразие, когда 0 ^ р ^ р0, р0 мало. Так как

а е S p>0 ^ Р ^ Ро> расстояние 3(a) = р.

Доказательство.

Расстояние д(а), очевидно, не превосходит р. Предполо­ жим, что для некоторых а£ ^2 , рЕ [0, ро], выполнено неравен­ ство д < р. По теореме 1 существует геодезическая метрики Якоби с концами в точках а и &ЕсШ такая, что ее длина равна в точности д(а) = р'. Рассмотрим геодезическую 7, исходя­ щую из точки Ь, лежащей на границе. Тогда, очевидно, точка а, отстоящая от границы 8D на расстоянии р' вдоль 7, будет по определению принадлежать Y2P" Так как р' < р ^ р0, то согласно лемме 4 множества ^2р, и ^2 не пересекаются. По­ лученное противоречие доказывает справедливость леммы.

Т еорем а 2 («лем м а Гаусса»). Существует р0 > 0 та­ кое, что для всех р£ (0, ро] геодезические, исходящие из точек границы 3D, пересекают гиперповерхности ^ под прямым углом.

З а м еч ан и е. Геодезические, выходящие из 3D, ортогональны ^2р как в метрике др, так и в метрике ds, ибо эти метрики конформ­

но эквивалентны.

Доказательство теоремы 2.

Предположим противное, т. е. что не­ которая геодезическая 7 с концом в точке хо G 3D не ортогональна ^2р (рис. 16).

Пусть а — точка на 7, достаточно близкая к ^2р. Рассмотрим геодезическую У, проходящую через точку а и ортого­ нальную ^2 (такая геодезическая всегда

существует [49, 50]). Дуга ас С 7' короче дуги ab С 7 (см. [49,

140 Глава 6

гл. VIII]). Но тогда кусочно-гладкая кривая, состоящая из ду­ ги хоа С 7 и дуги ас С j ' имеет длину меньше р. Это проти­

т. е. геодезическая, соединяющая две достаточно близкие точки из сгр, целиком лежит в ар. Это утверждение аналогично теореме

Уайтхеда о выпуклых окрестностях в римановой геометрии [51]. Мы здесь не доказываем этот факт, так как в дальнейшем он не используется.

§ 3. Либрации в системах со многими степенями свободы

Лемма 6. Не существует решения уравнений движения, траектория которого пересекает границу 3D более чем в двух различных точках.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Предположим, что существует решение, траектория ко­ торого пересекает 3D последовательно в трех точках а, Ъ, с. Тогда точка т, двигаясь из точки а, через некоторое время попадет в точку Ь. Дойдя до Ь, точка т согласно следствию из леммы 1 будет двигаться по той же траектории в проти­ воположную сторону и через конечное время попадет снова в точку а. По следствию из леммы 1 точка т затем будет двигаться по той же траектории от а к Ъи так далее. Следо­ вательно, точка т никогда не попадет в с. Полученное проти­ воречие доказывает лемму 6. ■

Предложение 1. Если траектория некоторого решения уравнений движения имеет с 3D две общие точки, то других общих точек нет, и решение является периодическим.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть 7 — траектория этого решения. Согласно лемме 6 кривая 7 имеет с 3D только две общие точки. При этом точ­ ка т совершает периодические колебания между концами 7 (по следствию из леммы 1). ■