книги / Модели и методы обеспечения функциональной и технологической воспроизводимости интегральных микросхем

Таким образом, задача назначения оптимальных допусков яв­ ляется системным средством определения требуемых статистиче­ ских вариаций параметров, обеспечивающих: минимальную сто­ имость проектирования и производства ИМС; соответствие выход­ ных характеристик техническим условиям; достаточную вероят­ ность устойчивого выхода годных. В общем случае названные характеристики описываются нелинейными зависимостями, поэтому задача назначения допусков формализуется как задача нелиней­ ной оптимизации.

Рассмотрим микроэлектронное устройство, состоящее из мно­ жества параметров проектирования

и множества выходных характеристик

которые характеризуют функциональную направленность разра­ батываемого устройства и однозначно определяются параметрами проектирования.

В общем случае множество параметров проектирования состоит из двух подмножеств

где х = {xi, л*2, . . . , хп) — множество номинальных значений пара­ метров; ~6х= {6*i, . . . . б*п} — множество значений допусков пара­

метров элементов и компонентов.

Предполагаем, что параметры проектирования статистически связаны между собой корреляционными зависимостями и подчи­ нены нормальному закону распределения. Требуется назначить допуски на параметры элементов и компонентов таким образом, чтобы стоимость проектирования и производства была минималь­ ной при условии нормального функционирования разрабатываемо­

го устройства.

Для формализации задачи оптимизации (как было сказано выше) определяем критериальную функцию Q(y), большему или меньшему значению которой соответствует требуемое решение.

Согласно техническим условиям к параметрам проектирования и выходным характеристикам предъявляется ряд технико-экономи­ ческих требований, которые в общем случае можно представить системой ограничений

g j ( y ) > 0 , / = 1 , 2 , •••,/?.

Тогда задача оптимизации для общего случая формулируется еле-

тимизации.

91

Из предыдущего раздела известно, что область удовлетвори­ тельного решения образована пересечением двух частных областей

Для возможной вариации значений допусков целесообразно ввести область допусков, которая определяется реально предель­

лизируя полученные выражения, приходим к выводу, что сущест­ вует некоторая область, поиск решения в которой гарантирует ис­ комый результат. Обозначим ее как область гарантированного ре-

образом, области поиска оптимальных решений определены. Базовой критериальной функцией возьмем выражение (3.10).

Качество решения задачи назначения допусков по базовому кри­ терию будет определяться суммарным относительным вкладом каждого из частных критериев оптимальности с,-(бд:,) в общую стоимость схемы. Количественно важность частного критерия мож­ но оценить коэффициентом влияния сг(б* 0 на обобщенную целе­ вую функцию Q(6x).

Для этого случая критериальную функцию представим в виде

Вопрос выбора или расчета весовых коэффициентов, их физи­ ческое содержание довольно часто остается нерешенным в задачах такого класса. (Методы формального расчета весовых коэффи­ циентов описаны_ в последующих разделах). В качестве весовых

коэффициентов со используем численные значения коэффициентов

92

скольку коэффициенты чувствительности параметров схемных эле­ ментов в значительной мере определяют количественные и качест­ венные значения допусков t-x параметров элементов.

Для наглядности в процессе формализации задачи назначения допусков область возможных решений представим выражением

Таким образом, задача назначения допусков на параметры эле­ ментов и компонентов ИМС формулируется как задача нелинейной оптимизации с постоянными значениями весовых коэффициентов

представлены в виде постоянных величин, в то время как коэф­ фициенты чувствительности можно записать в виде функциональ­ ной зависимости от параметров элементов схемы

С учетом того что весовые коэффициенты описываются функ­ циональными зависимостями (3.74), обобщенный критерий опти­ мальности представим в виде

г'-го параметра схемы; д(6х) = {gi(6x),_ .. . , <М&*)} — множество

частных критериев оптимальности (</<(6*) =сч(6л:)).

Очевидно, выражение (3.75) принимает минимальное значе­ ние за счет минимизации функций чувствительности, что, в свою очередь, приводит к расширению поля допусков и уменьшению значения обобщенной стоимости. Но в этом случае оптимизируе­ мыми параметрами являются параметры элементов схемы Xi и их допуски Таким образом, задача назначения допусков представ­ ляет собой многокритериальную и многопараметрическую задачу нелинейной оптимизации (функции чувствительности являются в общем случае нелинейными зависимостями).

В этой связи имеет смысл пересмотреть некоторые функции ог­ раничения и в первую очередь функции, которые образуют область возможных решений. Поэтому область возможных решений будет

где a ^ ( x ) = s f( x ) - s kj(x )-rij — приведенные функции'чувствитель­ ности, определяемые параметрами элементов х.

93

обходимого результата за несколько циклов. Правда, такая про­ цедура поиска требует определенных затрат машинного времени, и поэтому ее целесообразно применять для решения задач неболь­ шой размерности.

Задача совместного поиска необходимого решения формули­ руется в виде комбинированной задачи нелинейной оптимизации, обеспечивающей оптимальное значение параметров элементов и их допусков за счет итерационного процесса принятия оптималь­ ных решений. Такая задача ставится как задача многокритериаль­ ной и многопараметрической нелинейной оптимизации

совместной оптимизации; Rr=Ry(\Rbx — область гарантированно­ го решения. Решение задачи (3.79) обеспечивает минимальные значения коэффициентов чувствительности и стоимостных харак­ теристик элементов посредством поиска оптимальных параметров элементов и их допусков, значения которых удовлетворяют тре­ буемым технико-экономическим параметрам разрабатываемых мик­ роэлектронных узлов.

3.3.3. Назначение допусков—поиск «точки динамического равновесия»

Представляет определенный интерес один из методов формализации задачи назначения допусков — как задачи квазнквадратнчного программирования, поскольку методы решения та­ кого класса позволяют получить вполне удовлетворительный ре­ зультат. Д ля данного конкретного случая поиск оптимального зна­ чения допусков осуществляется в области возможных решений. Формально задача назначения допусков ставится следующим образом:

Задача (3.80) сводится к задаче оптимизации без ограничений пу­ тем формирования m-обобщенных критериев оптимальности

95

где ©л — коэффициент штрафа (постоянная величина), значение которого обеспечивает попадание полной квадратичной формы

£ = б £ *[Л Л] 6х в интервал требуемого решения (0,9-M )62Fft. Значе­ ние коэффициента штрафа можно получить, решая аналогичную задачу назначения допусков, только без учета корреляционных

связей.

Поиск необходимого решения задачи (3.80) следует произво­ дить в той части области Ra, граница которой образована наибо­ лее «активным» ограничением (3.81), т. е. в случае, когда допуск на изменение £-й выходной характеристики задан наиболее жест­ ким значением.

Таким образом, задачу (3.80) можно свести к минимизации некоторого k-ro обобщенного критерия, для которого ограничение (3.81) является наиболее «активным», т. е.

Несмотря на корректность поставленной задачи, простоту алгеб­ раических выражений, вычисление градиентов на каждом шаге поиска минимума обобщенного критерия (3.83) требует выполне­ ния значительного числа арифметических операций. Поэтому с учетом того что правая часть выражения (3.83) представлена поч­ ти в квадратичной форме, поставленную задачу можно решить в частных производных:

где V = d!d6Xi — градиент функции по £-му допуску. В результате дифференцирования получают систему нелинейных алгебраиче­ ских уравнений, корни которой являются решением поставленной задачи. Метод решения сформулированной задачи получил сле­ дующее название — метод поиска точки динамического равнове­ сия [2 1 ], сущностью которого является решение системы нели­ нейных уравнений (3.84) путем сведения к последовательному (итеративному) решению системы линейных уравнений с нели­ нейными свободными членами. (Алгоритм решения данной задачи представлен в следующих разделах).

Таким образом, задача назначения допусков (3.80) сводится

к поиску компромиссной точки б**, значение которой удовлетворя­ ет критерию минимальной стоимости и обеспечивает нормальное функционирование схемы.

3.3.4. Назначение допусков путем аппроксимации области удовлетворительных решений

Существует значительное количество работ [90, 91, 92, 93, 97, 119, 121], посвященных решению задачи «центрирования». Например, в работе [92] она трансформируется в классическую задачу нелинейного программирования. Этот подход базируется

96

на разделении общей задачи на части и решении ряда индивиду­ альных оптимизационных задач, а поиск минимального значения критериальной функции осуществляется в области удовлетвори­ тельных решений, которая находится в «-мерном пространстве входных параметров.

Названный подход дает возможность определить вектор опти­ мальных значений в области удовлетворительных решений, но за­ дача аппроксимации или определения новых границ области удов­ летворительных решений в процессе поиска не ставится и не ре­ шается.

В работе [99] предлагается метод, который дает возможность определить оптимальную точку в подобласти, полученной путем аппроксимации границ области удовлетворительных решений. Ис­ пользуя данный подход, можно сформулировать задачу назначения допусков и привести метод ее решения.

Предположим, что проектируемая схема описывается системой

где у — вектор узловых потенциалов, контурных токов; х — «- мерный вектор статистически зависимых параметров с функцией плотности вероятности

2„ — вектор номинальных значений параметров х; ах — среднеквадратнческое отклонение. Через R обозначим «-мерную область, такую, что х е /? . Таким образом, если x„^R , то данная схема функционирует нормально. Для удовлетворения этого требования введем m-мериую систему ограничений, элементы которой опре­ деляются как

Кроме того, параметр х ограничим верхним и нижним допустимы­ ми значениями

Следует заметить, что выражение (3.87) задано в пространстве выходных параметров у, в то время как статистически зависимые параметры х ищут в пространстве параметров проектирования R (сопротивления, значения диффузионных переходов, сопротивле­

(3.89) Отметим, что область Ry является замкнутой и, если ограничения в (3. 88) являются конечными, то и ограниченной. Особый инте-

97

для некоторых i и /.

Рассматриваемый метод базируется на аппроксимации грани­ цы dRy области удовлетворительных решений Ry некоторым мно­ гогранником, который является частью я-мерной гиперплоскости, которая лежит внутри границы dRy или на ней. Этот многогран­ ник, или выпуклую «оболочку», обозначим через RA ■ На первом шаге область RA можно получить путем определения первого множества допустимых параметров проектирования х с после­ дующим формированием одномерных направлений, пересечения которых с границами области и образуют требуемый многогран­ ник. Допустимая точка х* для последующего поиска решения

bk — расстояние от начальной точки к гиперплоскости. Если Ry является выпуклой областью, то выпуклая «оболочка» RA есть внутренней аппроксимацией области Ry. Обозначив матрицу нор­ малей через z — (Zi, . . . , Zm), а расстояние — через вектор Ь = (Ьи ..., bm), RA можно определить как

которая и является аппроксимацией границы области dRy. Мож­ но допустить, что начальная точка поиска лежит внутри области Ry. Такое допущение дает возможность за начальную точку взять начальное номинальное значение. В этом случае каждое значе­ ние 6Л> 0.

Идея аппроксимации области удовлетворительного решения на­ глядно показана на рис. 3.5 для двухмерного случая.

На основании приведенных выражений определяют значения

Вэтом случае можно сформулировать задачу «центрирования». Определить вектор номинальных значений хи параметров про­

ектирования х, значения которого максимизирует выход годных

для данного распределения. Поскольку в общем распределение параметров известно, то процесс решения задачи «центрирования» разделяют на две фазы: а) поиск области «удовлетворительного» решения и точки «центрирования»; б) определение выхода годных.

В общем случае для произвольных унимодальных статистиче­ ских распределений в «-мерном пространстве линия уровня на поверхности функции плотности определяется замкнутым выпук­ лым «телом». Некоторые особенности таких «тел» можно описать путем введения нормы ||х||.

Рис. 3.5. Аппроксимация границы области удовлетворительного решения.

В дальнейшем значение нормы ||х|| будем обозначать через

выражение р-нормы ||Jc|jP. Тогда ||х||2 = , которые соот­

ветствуют «-мерной сфере; используют для характеристики линии уровней «-мерной функции плотности гауссового распределения с номинальным значением хи путем нахождения поверхности ||х— х„||=г. Таким образом, замкнутое выпуклое «тело» может опре­ деляться выражением {х|||х—Хц||<г}, для двухмерного случая оно представлено на рис. 3.6.

В этой связи норму, которую используют для характеристики линии уровня функции плотности распределения (ФПР), назовем «норма-ФПР», а замкнутое выпуклое «тело», которое описывается нормой, — «норма тела».

Для задачи назначения допусков важно рассмотреть возмож­ ность расчета расстояния от точки, находящейся в замкнутом про­ странстве, к гиперповерхности. В этом случае расстояние в тер­ минах р-нормы ||х|| от точки х к некоторой гиперповерхности D

Предположим, что в выражении (3.95) гиперплоскость D описы­ вается следующим выражением: .

(3.96)

где z Tk — вектор-нормаль к А-й гиперплоскости; bh — расстояние

от точки к &-й гиперплоскости.

Отметим, что выражение (3.95) целесообразно использовать

В этом случае задачу оценки выхода годных можно интерпрети­ ровать как задачу помещения максимальной «нормы тела» в об-

Рис. 3.6. Линии уровня для двумерной функции плотности нор­ мального распределения (а) и проекция линии уровня на прост­ ранство параметров (б).

ласть удовлетворительного решения. Тогда задача максимизации выхода годных формализуется как

Если учесть возможность аппроксимации границ области удовлет­

Задачу назначения допусков можно рассматривать как обоб­ щенную задачу максимизации выхода годных, в которой соотно­ шение вписывания «нормы тела» в заданную гиперповерхность дает возможность минимизировать функцию стоимости

? ( * * ) = £ ci (*■ */)• /-1

ю р