книги / Модели и методы обеспечения функциональной и технологической воспроизводимости интегральных микросхем

Представим вектор допусков Ьх в матричной форме в виде диа­ гональной матрицы 6*=diag(6*2, где бх= {6*i, . . . . 6лгЛ> — вектор допусков. Предположим, что_д(бх) является убывающей функцией

от бх такой, что q(a8x) < q (6 x ) для а > 1 . Тогда задача назначе­ ния допусков формулируется следующим образом:

при условии Вбх[хи> 1] = {x|||6jrI(ic—jfH)||p= l)c :^ A . Необходимо подчеркнуть, что если допустимая девиация 6х{ возрастает, то до­ пустимое изменение х* по отношению к его номинальному значе­ нию увеличивается и стоимость производства i-ro элемента умень­ шается.

В общем случае задача назначения допусков (3.100) является задачей нелинейной оптимизации с ограничениями, однако путем преобразований ее можно свести к эквивалентной задаче линей­ ного программирования без ограничений, осуществляя при этом поиск решения в области RA-

3.4. ФОРМАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИИ

3.4.1. Определение и анализ обобщенной критериальной функции

В настоящей работе задачи принятия решений преиму­ щественно формулируются в терминах задач одно- и многокрите­ риальной нелинейной оптимизации. Поэтому с учетом специфики ИМС и процесса их производства необходимо оценить ряд фор­ мальных методов принятия решения, уделяя при этом особое вни­ мание решению многокритериальных з.адач.

Известно, что многокритериальные методы оптимизации явля­ ются естественным расширением традиционных методов оптимиза­ ции по одному критерию оптимальности. В традиционных методах оптимизации с единичной критериальной функцией q(x) точка х*— это минимальное значение функции, если <7 (х*) <:<7 (х) для всего вектора х. Это неравенство подтверждается тем, что реально можно получить окончательное значение функции, которое явля­ ется минимальным.или, в крайнем случае, равным предпоследнему ее значению. В случае нескольких критериальных функций, как указывалось выше, может возникнуть ситуация, когда с уменьше­ нием одного критерия возрастает другой. Тогда необходимо искать некоторое компромиссное решение для задачи многокритериаль­ ной оптимизации.

Формализуя методы решения, введем некоторые обозначения. Пусть имеется я-параметров проектирования; Хи £=1, 2, 3, . . . , п, которые в методах оптимизации представим как n-мерный вектор а= (хи . . . ,хя) т.

101

Вектор х удобно рассматривать как точку в л-мерном прост­ ранстве входных параметров. Обозначим т критериев проектиро­

странстве выходных параметров.

В общем случае задача оптимизации рассматривается и реша­ ется в некоторой области, которая образована набором граничных

Действительно, решая независимо каждую из т задач скалярной

Другими словами, такое решение должно быть компромиссным. Для его описания введем ряд определений.

Определение 1. Областью допустимых решений в пространстве входных параметров называется область Ran, состоящая из мно­

Определение 2. Областью допустимых решений в пространстве выходных параметров называется область /?дт, которая является отображением RAn посредством вектора критериальных функций

Определение 3, Точка х* является локальной компромиссной точкой тогда и только тогда, если не существует некоторого при­ ращения Дх, которое (х+Д х) е Я дп и

102

Отображение локальной компромиссной точки является локаль­ ным компромиссным решением.

Определение 4. Точка х* является глобальной компромиссной

сных точек для данного класса задач. Совокупность компромис­ сных точек определяет множество компромиссов. Отображение множества компромиссов посредством Q(x) назовем множеством компромиссных решений, или, для ясности, поверхностью компро­ миссов.

Таким образом, на основании приведенных определений можно сформулировать две главные задачи. Первая — как можно полу­ чить компромиссное решение? В общем таких решений бывает множество. Поэтому вторая задача — как найти окончательное компромиссное решение на поверхности компромиссов путем эф­ фективных вычислительных средств?

Сделаем допущение, что Нят является компактным замкнутым множеством, а минимум каждого частного критерия q(x) — един­ ственный. Кроме joro, Rm находится в первом квадранте, т. е. q (x )f= R am при g ( x )> 0 .

Обобщенную критериальную функцию назовем функцией по­ лезности [126], которая определяется «взвешенной р-нормой», т. е.

Компромиссную точку можно найти, минимизируя выражение (3.106). Процесс минимизации геометрически интерпретируется в процесс получения и последующего анализа некоторых уровней

множества решений Ф[р, ш, р], т. е.

где а — некоторое постоянное значение, о > 0 . На рис. 3.7 показаны эти уровни, полученные из выражения (3.106) при ю =1 и р = 1,2

и оо.

Из рис. 3.7 видно, что, используя максимальную норму, можно получить все компромиссные решения, изменяя значения весовых коэффициентов и минимизируя значение (3.106) с учетом огра­ ничений. Дальше покажем, что целый ряд обобщенных критериев оптимальности является частным случаем функции полезности, которая определена «взвешенной р-нормой» (3.106). Более того, если Ф (й* ) < Ф ( й) Для всех возможных значений q, то q* будем

1 0 3

называть единственным минимумом функции Ф[со, q, р]. Для под­ тверждения данного положения сформулируем теорему.

исуществовать некоторая точка q ( x ) ^ R Am,

‘< j ! со-<71|„о для всех pjx) е Я дт, кроме тех критериев, для которых 9 (х )е Д дт, q{x)=£<q*{x) таких, что

довательно, q*(x) не является компромиссным решением, что явно противоречиво.

Заметим, в данном случае не сделано допущения о том, что каждое компромиссное решение имеет единственный вектор весо­

вых коэффициентов со, хотя это является фактом, так как если

ный минимум функции Цсо'^Ноо, то min||a)*-9 *!|oo = l. В дальнейшем такой весовой вектор называем «каноническим весом» для ком­ промиссного решения при р = оо.

Для последующего использования «взвешенной р-нормы» или функции полезности (3.106) необходимо определить функциональ­

ную зависимость между вектором весовых коэффициентов со и значением компромиссного решения q*{x ).

Известно, что, если точка р* (х) является компромиссной и най­ дена путем минимизации выражения (3.106), градиент «взвешен­

ней

Расстоянием называется вещественная функция, определенная для любых точек х и у в евклидовом пространстве R n, обладаю­ щая следующими тремя свойствами:

1) d ( x , x ) = 0; d (Я у) > 0 ; х Ф у;

2 ) d (x ,y ) = d(y,x)\

3 ) d ( x ,~ y ) ^ d ( y ,z ) + d ( x ,z ) .

Примером расстояния является выражение

где х = (Xi, . . . , хп) т и у = (у\, . . . . уп) т. Когда указанные точки яв­ ляются параметрами некоторых функций q (x ), то выражение (3.111) является частным случаем функции полезности (3.106), а именно: если qi = qi(x), а q2 = q 2 {y), то расстояние между этими функциями в евклидовом пространстве запишем в виде выражения

(3.115) не будет оптимальным (компромиссным) для разрабаты­ ваемой схемы. Поэтому для получения компромиссного решения целесообразно использовать выражение

106

нием или физическим содержанием, задача выбора приемлемого решения на множестве компромиссных теряет смысл с точки зре­ ния вариации весовых коэффициентов.

В предыдущем_параграфе выражением (3.110) определен «ка­ нонический вес» «а (р) для получения компромиссного решения

Для поиска «канонического веса» следует знать предварительно значение s* и q *(x ). В этом случае поиск компромиссного реше­ ния осуществляют путем выбора весовых коэффициентов и исполь­ зуют два общих подхода: во-первых, следует попытаться получить или аппроксимировать всю поверхность компромиссов, во-вторых, применить интерактивный метод, которой позволяет с помощью разработчика относительно быстро отыскать решение, которое удовлетворяет его.

Приведем несколько методов поиска компромиссного решения, которые базируются на получении переменных значений весовых

где а — положительная случайная переменная с математическим ожиданием та = 1. Программа оптимизации рассматривает Q(a>, q) как фиксированную функцию, а выбор а к приводит к ее медлен­ ному изменению. На каждом итерационном шаге точка хк анали­ зируется как «успешная» таким образом: I) хк — компромиссная, если принимаются во внимание все известные компромиссные точки; 2) расстояние от хк к любой известной компромиссной точ­ ке является большим, чем некоторое предельное (пороговое) зна­ чение. Процесс поиска продолжают до тех пор пока не будет до­ стигнуто требуемое расстояние между предыдущей и последующей компромиссными точками. Такая процедура дает возможность по­ лучить равномерную аппроксимацию поверхности компромиссов.

Описанный метод имеет очевидные недостатки. Если рассмат­ ривается многокритериальная задача с ограничениями, то он дол­ жен исключить получение недопустимых решений, а это почти невозможно обеспечить. Вместе с тем, если область поиска не явля­ ется выпуклой, то не совсем ясно, как пользоваться этим методом. Тем не менее предлагаемый метод можно использовать для поиска требуемого решения в интерактивном режиме работы.

Рассмотрим второй метод, основанный также на минимизации критериальной функции вида (3.120). При этом должно выпол-

108