книги / Модели и методы обеспечения функциональной и технологической воспроизводимости интегральных микросхем
..pdfВ матричной форме выражение (3.26) приобретает вид
(3.27)
где a ^ S i - S j - r ^ — обобщенный параметр чувствительности (Л = —Ilafjil). В дальнейшем для поиска требуемого решения исполь зуем ряд областей, которые определяются в пространстве входных
ивыходных параметров.
1.Область, образованную пересечением множеств выходных характеристик схемы, определим как область возможных реше
ний и обозначим
Л = 1 , . . - , т ) , |
(3.28) |
где F j —F ^ —6Fh; F£=F„h+6ph — предельные значения выход
ных характеристик согласно техническим условиям.
2. Область, образованную предельными значениями парамет ров элементов схемы, определим как область допустимых решений
Ял = |
{х\x„i — ОX, ^ |
xt ^ xui т |
i = 1, •••, л}, |
(3.29) |
где д — номинальное значение t-ro параметра. |
выводу, |
|||
Анализируя |
выражения |
(3.28), (3.29), |
приходим к |
|
что существует некоторая общая область, поиск решения в кото рой обеспечивает искомый результат.
3. Обозначим эту область как область удовлетворительного
решения ЯУ = Я .П Я , (3.30)
Сделаем допущение, что область (3.30) не является пустой. Используя эти определения, выход годных ИМС в области
(3.30) находим как |
|
У — f f( x , lx)dx dbx . |
(3.31) |
4
Определение областей поиска требуемого решения для двух мерного случая представлено на рис. 3.2.
Иногда возникает необходимость решения задач совместной оптимизации параметров элементов и их допусков. В этом случае целесообразно использовать ограничение вида
о. (*,•8*) - { Vv, M ,l 5jt — |f‘ |
^ [ > 0 . |
(3.32) |
где Fh(x) — текущее значение выходной характеристики; Fkr — значение k-н выходной характеристики согласно техническим ус ловиям.
В этой связи интересно обратиться к максиминному критерию оптимальности, который предложен И .П. Норенковым [54]. Суть
6-3925 |
31 |
его заключается в определении такого вектора входных парамет ров, значения которого обеспечивают максимальный запас рабо тоспособности схемы, т. е. отображающая точка находится в об ласти работоспособности на максимальном расстоянии от ее гра ниц. Этот критерий представлен в виде
max |
min |
q„(x) = 1 - *т- - ^ И-Ф -L , ' |
(3 .3 3 ) |
х ед в |
ft е (1:т] |
° ^ ft |
|
где Fhu(x) — оценка математического ожидания выходной харак-
Рис. 3.2. Определение областей поиска оптимальных решений для двухмерного случая.
Значение (3.33) можно интерпретировать в критерий оптималь ности для решения задачи совместной оптимизации параметров элементов и их допусков, используя для этой цели выражение (3.25). Тогда
m ax |
m in Q k ( х , од:) |
/ V |
^ftn (■ *) |
(3.34) |
|
{S 1 [А к\ Ь х У * |
|||||
x.ixeR ft е [l:m] |
|
||||
Правда, в этом случае максимальному значению запаса работо способности соответствуют минимальные значения допусков, пара метров элементов, и это может сказаться на стоимости проектиро вания и производства. Поэтому минимальное значение допусков целесообразно в этом случае ограничить требуемым значением стоимости.
Основываясь на выражениях (3.9) и (3.26), можно определить обобщенный критерий оптимальности, использование которого дает возможность обеспечить нормальное функционирование при минимальной стоимости схемы.
В этом случае
Q <5д) _ |
£ |
С (д х ,)+ |
£ |
(5„s - 0f i)=, |
(3.35) |
|
t—1 |
|
ft-1 |
|
|
где 6F h = (6 *[Aft]fix) 1'2 |
— |
текущее |
значение допуска ft-го |
выход |
|
ного параметра; б/ч-требуемое значение допуска согласно усло виям ТЗ; ©/,— весовые коэффициенты.
82
Преимуществом обобщенной функции (3.35) является возмож ность одновременного учета предельных значении допусков на выходные параметры, которые представлены в этом случае в ви де функциональных зависимостей от допусков на параметры эле ментов схемы. Таким образом, при решении задачи назначения допусков в качестве функций ограничений следует использовать выражения (3.27) — (3.30), совокупность (пересечения) которых и позволяет сформировать области принятия оптимальных ре шений.
3.2.3.Формализация оценки критерия выхода годных
При решении задачи назначения допусков многие кри терии оптимальности содержат значение величины выхода год ных, максимум которой обеспечивается требуемой (максимальной или минимальной) величиной поля допуска входного или выход ного параметров схемы.
Поскольку процессу производств ИМС присуща некоторая сте пень неопределенности, требующая рассмотрения функциональных параметров схемы в терминах номинальных значений и распреде лений допусков, то и выходные характеристики являются статис тическими функциями этой неопределенности, которая оценивается соответствующими функциями плотности распределения входных параметров и их числовыми характеристиками.
Если процесс поиска оптимального решения осуществляется в области выходных параметров, то под выходом годных понимаем вероятность того, что выходные характеристики находятся в об ласти, оговоренной условиями ТЗ. Если же поиск решения осу ществляется в области входных параметров, то под выходом год ных понимаем вероятность того, что значения функциональных параметров элементов находятся в соответствующих границах, об разованных значениями их допусков. Считаем, что в обоих слу чаях выход годных является функцией назначаемых допусков. Тем более, что существует вполне определенная компромиссная зави симость между выходными параметрами и статистическими ха рактеристиками схемы.
Рассмотрим микросхему, состоящую из п-статнстических па раметров х, требуемое значение которых обозначим как х„, и на зовем номинальной точкой (номинальное значение) в /г-мерном пространстве входных параметров. К параметрам схемы предъяв
ляются вполне определенные требования: |
|
£ / ( * „ ) > 0, i = h •* -, A; hj(x) = 0 , j = 1, •••,/. |
(3.36) |
Тогда областью допустимых значений в пространстве входных па раметров является множество всех параметров, значения которых удовлетворяют условию (3.36)
Ям = Ы г (*',,) « 0 , Л (;„) = о>. |
(3.37) |
83
Каждый статистический параметр описывается функцией плотно сти распределения f(x , хи), где хя — номинальная точка, а х — случайная переменная. Тогда выход годных определяется
выражением |
_ |
г |
___ |
|
|
Г(лг„) = |
|
f ( x , x a)d x . |
(3.38) |
L
Тогда под максимизацией выхода годных на этапе проекти рования понимаем процесс увеличения выхода годных исключи тельно посредством корректировки (изменения) номинальных зна чений параметров х„. При этом можно сформулировать задачу многокритериальной оптимизации с учетом функции выхода год
ных |
- |
- |
|
min |
Я* (*..) |
|
(3.39) |
|
|
|
<7шй.)
- Y(ka)
Значение выхода годных в большинстве случаев определяется ме тодами статистического анализа, ориентированных на использо вание метода Монте-Карло.
В этом случае выход годных определяется выражением
|
У Ы = |
(3.40) |
|
я' |
|
где |
g (х) = |
1 , если X € RM\ |
|
g (х) = |
0 , если х g Ran. |
Вычисление интеграла (3.40) связано с определенными трудностя ми, а также чрезмерными временными затратами, поэтому его оценяют, используя упрощенное выражение
S в Й ) . (3.41)
N 1-1
где N — число испытаний.
Метод Монте-Карло характеризуется двумя важными харак теристиками. Во-первых, определение выхода годных не зависит от числа статистических параметров. Это очень существенно, ко гда число значительно. Во-вторых, существует возможность опре делять меру доверительного интервала в процессе испытаний.
Используя схему испытания Бернулли, а также биноминальный закон распределения, можно сделать некоторые оценки метода
84
Монте-Карло [108]. Обозначим через Ne число успешных испыта ний, т. е. для этих значений g(x) = l; через N — общее число ис пытаний. Тогда выход годных находят как
r(*„ ) = Ks = ^ . |
(3.42) |
N |
|
Таким образом, если Y — истинная оценка выхода годных, то вероятность появления успешных испытаний
|
|
|
(3.43) |
где |
— функция |
плотности распределения для |
испытания |
Бернулли. Математическое ожидание и дисперсия P[N S] опреде |
|||
ляются как |
|
|
|
|
M [N S\= |
NY, D[NS\= N Y ( \ - Y ). |
(3.44) |
Так как M[Ys\ = Y, то, следовательно, оценка для интеграла (3.40) является беспристрастной.
Вместе с тем разработчику желательно знать вероятность оцен ки выхода годных Ts, которая характеризуется определенным рас стоянием от истинного выхода годных. В работе [108] показано,
что
(3.45)
если
где К (а) определяется распределением Гаусса; а — доверитель ный интервал; г — ошибка.
Так, например, если требуемый доверительный интервал о = =0,95, /((а ) = 1,96, то для У=0,9 и е=0,01, N должно быть 3458. На основании выражения (3.45) можно установить предельное число испытаний, т. е.
(3.46)
Анализируя выражение (3.46), видим, что для уменьшения ошиб ки е на два порядка необходимо увеличить размер выборки в че тырехкратном размере. Поскольку метод Монте-Карло характери зуется чрезмерными вычислительными затратами, которые явля ются следствием многократного анализа схемы для каждого шага испытаний, то для эффективного его использования разработан ряд подходов, которые позволяют уменьшить объем выборки, чис ло анализов, а также дают возможность за один шаг испытаний определить значение выхода годных и его градиент.
В этой связи заслуживает внимания подход, описанный в ра боте [116].
Требуется оценить выход годных
У (* „ )= | f ( x , x H)d x . |
(3.47) |
Предположим, что мы имеем функцию плотности распределения выборки Р(х, х „ ) > 0 такую, что
J* P (x,x»)dx = 1 |
(3.48) |
где RanczT. Тогда (3.48) может быть записано как
(3.49)
JР(Х,Хн)
Вэтом случае выход годных можно оценить выражением
Г ( I . ) = 1 1 [ * < ; > £ § § ] - jj i * й > • ( 3 . 5 0 )
где m = f( x , хи)/Р (х, хн) — весовой коэффициент. Дисперсия вы ражения (3.50) определяется как
J E |
Y ( x ^ P ( x ,x > ) d x . |
(3.51) |
|
Идея этого метода заключается в выборе такого распределения Р(х, хн), знач_ение которого уменьшает дисперсию (3.51). Напри мер, если Р(х, хн)= af\ x , хн), где а=1/У (хц ), дисперсия равна нулю. Ясно, что такое значение невозможно, поскольку неизвест но значение У(хи)._Однако в этом случае появляется возможность выбрать такое Р(х, х„), при котором дисперсией (3.51) можно уменьшить размер выборки или наименьший размер выборки мож но использовать для получения аналогичной дисперсии.
Известно, что функция плотности f(x ) зависит от некоторого вектора статистических параметров z (в функции плотности но минальная точка х„ упущена для общности анализа). Например, если параметры распределены по нормальному закону, то компо нентами вектора z являются числовые характеристики параметров, т. е. z= [x „ , б*, гц ]. Цель решения статистических задач — опре деление вектора г, значение которого минимизирует некоторую функцию стоимости и максимизирует выход годных. С учетом связи случайной величины х с параметром z функцию плотности можно записать как f(x, z). Тогда весовой коэффициент в выра
жении (3.49) |
. |
. |
_ |
|
ш/(2) = |
/ ( |
* . * ) ( 3 . 5 2 ) |
66
Как видно из формулы (3.52), параметр х присутствует только в весовой функции, поэтому выход годных оценивается выраже нием (3.50) для разных значений 2 , а градиент функции выхода годных — соотношением
(3.53)
Преимущество такого подхода заключается в том, что при изме нении значения z не требуется нового анализа схемы, поскольку (учитывая (3.52)) значение градиента определяется выражением
части параметра)
Рис. 3.3. Взаимосвязь между функциями плот ности выборки и параметров (математическое ожидание обеих распределений совпало).
(3.53) с одновременной оценкой выхода годных, путем нахожде
ния значения оптимизируемого параметра £ = [*„ , бх, гу]. На рис. 3.3. представлен двухмерный случай с учетом нормального закона распределения параметров.
Известен еще один подход [3], который позволяет за один шаг статистических испытаний определить значение выхода годных и его градиента. В этом случае выход годных оценивается выра жением
а его градиент определяется как
<лп
87
T- e' |
(3-54) |
Если распределение параметров описывается нормальным законом, то приведенные выражения принимают вид
У (х )= J В (х) f (х) dx; V ,„ - j [g (x ) (x - * ,) ) . (3.55)
RiП
где
/ w = (2д)^ |е|.^ехр| - \ % % |
- *»>} - |
|
Л |
функция плотности для нормального закона распределения; ©ij —
элемент |
обратной |
дисперсионной матрицы; |
|0 j |
— определитель |
|
дисперсионной матрицы. |
градиент |
(3.54) оценивают |
|||
Практически выход годцых и его |
|||||
выражения |
|
|
|
|
|
I ' W |
" ^ | |
е (х ,) . V ,, У (х) = ~ |
£ |
g & )( * , - х . ) . (3.56) |
|
Таким образом, формализован метод оценки выхода годных, который основан на использовании метода Монте-Карло, как наи более эффективном при решении задач статистического характера.
3.3.ФОРМАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ НАЗНАЧЕНИЯ ДОПУСКОВ
3.3.1.Сведение задачи назначения допусков
к задаче линейного программирования
При формализации задачи назначения допусков необ ходимо учитывать, что параметры с малыми (жесткими) допуска ми трудно технологически реализовать и стоимость реализации довольно высокая. Параметры с широким полем допуска могут отрицательно сказаться на функционировании устройства, хотя технологические и экономические характеристики будут улучшены. В этой связи необходимо определить такой вектор допусков, значе ния которого были б.ы компромиссными для указанного набора характеристик.
Рассмотрим микроэлектронную схему, состоящую из «-входных
функциональных параметров |
элементов x = { x t......... хп} и т-вы - |
ходных характеристик Fh(x), |
k = 1...........т. Статистическую де |
виацию функциональных параметров характеризует половина по ля допуска 6x = { 6xi..........бхт). Предположим, что незначительные изменения допусков входных параметров вызовут малые изме нения выходных параметров:
^ Ik = bxi |S/*| , |
(3.57) |
где 6Fih — изменение (допуск) k-ro |
выходного параметра за счет |
|||
изменения допуска |
/-го входного |
параметра; Sih= — • - |
— |
|
, , |
, |
-го |
д *1 |
i-му |
коэффициент чувствительности 6 |
выходного параметра к |
|||
входному.
Тогда общий допуск на 6-й выходной параметр ограничивается некоторой предельной величиной а*, заданной согласно техниче
скому условию, т. е. |
|
|
£ |
Ь = \ ,• • • ,«. |
(3.58) |
i-i |
|
|
Естественно, что для m-выходных параметров это условие транс формируется в систему выражений
(&0 = |
£ |
|
|
|
г-1 |
|
|
ё , М = |
2 8x,|sj3| < a a. |
|
|
ё т (**) = |
2 |
I Sim I ^ а т- |
(3-59) |
|
г-i |
|
|
По своему физическому содержанию система линейных неравенств (1.3) задает область нормального функционирования схемы:
#Ф = '& (8*) Л * ( Ь ) - Л gm (Ъх) = П ёк (8*)- (3.60) * -i
Для построения критериальной функции в качестве базового возьмем выражение (3 .1 1 ), линейную форму которого можно по лучить путем аппроксимации зависимости стоимости производст ва ИС от значения допусков на параметры элементов линейной функцией. Графически это показано на рис. 3.4.
В таком случае критериальную функцию можно представить в линейной форме:
где Стах — заданная максимальная стоимость (постоянная вели чина); U — постоянная уменьшения стоимости (определяется по наклону характеристики (рис. 3.4)).
Учитывая экономически оправданные технологические возмож ности производства, следует ограничить значения допусков неко-
торыми предельными значениями для каждой группы элементов,
Т' С' |
gi (8дг) = |
bxi — Zxt min ^ |
0> |
i = 1. — , л; |
|
|
|
|||||
|
g k (bx) = |
bxkmах — 3<«Л>0, |
!г = |
1, |
|
|
|
(3.62) |
||||
Совокупность |
выражений (3.62) |
формирует |
область |
|
допустимых |
|||||||
решении: |
# д = g ( (Ьх) Л gk (fo), |
t, А = 1, ••- , и. |
|
|
|
(3.63) |
||||||
На основе выражений (3.60) |
и |
(3.63) |
определяют область гаран |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
тированного решения |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Яг=/?*ПЯд. |
(3.64) |
|||
|
|
|
|
|
|
Введем |
вполне |
|
обоснованное |
|||
|
|
|
|
|
|
допущение, что область Rr не |
||||||
|
|
|
|
|
|
является |
пустой. Тогда задача |
|||||
|
|
|
|
|
|
назначения допусков формули |
||||||
|
|
|
|
|
|
руется |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q (8ж) -*■ |
min |
~ |
> |
Zx*, |
(3.65) |
|
|
|
|
|
|
|
где ()Х*= (6JCb . . . , |
8хп) |
— ре |
||||
Рис. 3.4. Линейная аппроксимация |
зави |
зультат |
решения |
задачи опти |
||||||||
симости |
относительной стоимости |
ИМС |
мизации. |
|
|
|
|
|||||
|
от |
допусков. |
|
|
|
Так |
как |
критериальная |
||||
|
|
|
|
|
|
функция |
и функция ограниче |
|||||
ний представлены линейными зависимостями — задача назначе ния допусков (3.65) является классической задачей линейного программирования.
3.3.2.Сведение задачи назначения допусков
кзадаче нелинейного программирования
Известно, что эффективность обеспечения поэлементного выхода годных на этапе технологического процесса производства ИМС определяется достаточно широкими допусками параметров элементов, значения которых уменьшают стоимость серийно вы пускаемых схем. Вместе с тем расчет значений параметров сле дует осуществлять таким образом, чтобы значение чувствитель ности выходных характеристик к параметрам элементов было минимальным, дабы обеспечить широкое поле допусков, т. е. зна чительный статистический дрейф номинальных значений пара метров.
В этом случае задача обеспечения требуемого выхода годных трансформируется в задачу определения необходимого компромис са между выходом годных и изменением значений выходных ха рактеристик, изменением значений выходных характеристик и из менением параметров элементов, и, в конечном итоге, — между параметрами элементов и значениями допусков.
90