книги / Модели и методы обеспечения функциональной и технологической воспроизводимости интегральных микросхем
..pdfзаданным условиям при экстремальном значении некоторого кри терия качества (цели). Заметим, что основную оптимизационную задачу размещения источников физического поля можно транс формировать в ряд оптимизационных задач определения числа источников, их интенсивностей и геометрических форм, а также геометрической формы области, в которой осуществляется разме щение источников и т. п.
Таким образом, основная цель решения задач принятия оп тимальных конструктивных решений по теплоэлектрической сов местимости элементов ИМС — определение такого значения тем пературного поля в точках, принадлежащих элементам, которое должно находиться в пределах рабочего температурного диапазо на элементов.
1.5. МЕТОДЫ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ КОНСТРУКТИВНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ
Принятие оптимальных решений для объектов (ИМС)
ипроцессов (операции технологического процесса) со сложной структурой затруднено вследствие сложности вычислений функций
иградиентов, комбинаторной сложности алгоритмов аппроксима ции, неопределимости моделей как в отношении адекватности за ложенных в них эквивалентных схем ИМС, так и в смысле ста тистической неопределимости значений параметров этих моделей.
Это накладывает определенные ограничения на использование из вестных методов принятия решений.
Поскольку модели ИМС и процессов проектирования содержат значительное число параметров, то для вычислений функций и градиентов приходится решать системы нелинейных дифференци альных и алгебраических уравнений большой размерности, что снижает точность решения и требует существенных вычислитель ных затрат. К тому же параметры, подлежащие оптимизации, за ранее неизвестны и не могут быть определены с абсолютной до стоверностью, ибо по самой своей природе подвержены статисти ческим воздействиям. Упускать из виду эти реальные факты при разработке практических методов оптимизации нельзя. Ввиду больших затрат на вычисление функций и градиентов основные усилия следует направить на разработку алгоритма оптимизации, стараясь учесть в нем как можно больше деталей. При этом осо бое внимание необходимо обратить на обеспечение выпуклости и дифференцируемости большого числа ограничений и критериаль ных функций. Возникающие в этой связи трудности значительно усугубляются статистическим характером параметров используе
мых моделей.
Например [125], важный подкласс частных задач проектирова ния ИМС (расчет на наихудший случай) связан с применением метода полного вложения выпуклого тела в допустимую область. Однако .нахождение наихудшего (например, максимального) зна чения функции в выпуклой области — отнюдь не тривиальная да-
дача. Формально определение наихудшего вида функции требует бесконечного числа ограничений. Кроме того, вариант не обяза тельно должен быть единственным, из чего следует, что функции ограничений при наихудшем варианте в общем случае иногда не дифференцируемые. Нередко такого рода трудности устраняют в значительной мере за счет перехода к упрощенной подзадаче наихудшего варианта, заключающейся, например, в отыскании наихудшего варианта только на вершинах гиперкуба. В связи с этим особый интерес применительно к расчету ИМС приобретают теория и алгоритмы нестандартных методов математического про граммирования.
Вместе с тем условия проектирования ИМС обладают важным преимуществом по сравнению с некоторыми другими классами задач проектирования: как правило, это малая размерность п
пространства расчетных |
параметров (обычно п s^50, по |
нередки |
случаи и л ^ Ю ) [125]. |
Такое ограничение размерности, |
обуслов |
ленное монолитностью структуры современных ИМС, играет чрез вычайно важную роль, поскольку открывает возможность разра ботки практических алгоритмов оптимизации, для которых затра ты на вычисления полностью определяются стоимостью модели рования схем.
По-видимому, для рассматриваемого класса задач целесооб разно использовать методы оптимизации, основанные на учете полной информации о виде критериальной функции и функций ограничений. В этом случае возможен автоматический выбор ме тода оптимизации для решения конкретной задачи.
При выборе или разработке численных методов принятия оп тимального решения важно оценить их эффективность для прак тической реализации конкретного класса оптимизационных задач. С этой целью определяют совокупность критериев оценки эффек тивности методов оптимизации.
По-видимому, нельзя указать единый критерий, который по зволил бы оценить в каждом конкретном случае, какой метод хуже, а какой лучше (так же, как и не существует единого универ сального метода принятия оптимальных решений). Однако можно определить ряд характеристик, которые позволяют с разных по зиций оценить используемые или разрабатываемые методы опти мизации. Наиболее целесообразно в этом случае рассматривать экспериментальные оценки методов оптимизации.
Один из основных критериев оценки — быстродействие метода (объем требуемых вычислений). Данная характеристика особенно важна для оптимального расчета параметров элементов ИМС, так как расчет схем средней сложности составляет 0,1 . . . 0, 5 с- Ясно, что любую экстремальную задачу при конечном числе оптимизи руемых параметров можно решить путем перебора всех возмож ных комбинаций. Правда, время перебора может быть настолько велико, что полученное решение практически не выгодно из-за экономических затрат. Это вынуждает искать более эффективные и экономические методы-
Следующее необходимое условие — требуемая оперативная намять для реализации данного метода на ЭВМ. За счет увели чения требуемого объема памяти для метода оптимизации можно уменьшить время вычислений и, наоборот, увеличивая время вы числений, можно уменьшить требуемую память.
Важными характеристиками являются алгоритмичность мето да п степень формализации, позволяющие использовать его без каких-либо существенных изменений для определенного класса задач. В большинстве случаев разработчик программ принимает условия, которые дают возможность получить определенный выиг рыш в быстродействии или надежности поиска решения, посколь ку многократное использование программы окупит затраты, свя занные со сложностью алгоритма.
Заслуживает внимания точность полученных результатов., кото рая непосредственно связана с быстродействием метода. Если схо димость метода доказана, то точность полученных результатов зависит от погрешности, связанной с разрядной сеткой машины, которую можно свести к минимуму за счет применения операций с числами, расположенными в двух последовательных ячейках-
Применение метода оптимизации экономически оценивают пу тем расчета поэтапных затрат на решение задачи принятия реше ния. Этапы могут быть следующие: формализация задачи приня тия решения и метода ее реализации; разработка программы ре шения задачи; программная реализация задачи принятия решения на ЭВМ. Естественно, что в этом случае затраты по этапам долж ны находиться в разумной пропорции. Для настоящего класса задач принятия решения выбор и разработку методов оптимиза ции производят по основным характеристикам — объему требуе мых вычислений и памяти, занимаемой программой оптимизации.
В общем случае задача принятия оптимального решения фор мулируется в терминах задач математического программирования, где в качестве критерия оптимальности используют либо качест венный показатель объекта проектирования, либо специальным
образом сформированную функцию |
|
Q (.x)->m in, |
(1.50) |
~xeR |
|
где х = {xi, Х2, . . . . Хп} — вектор оптимизируемых параметров (до пуски, параметры элементов и т. д.); R — область поиска тре буемого решения, заданная в л-мерном евклидовом пространстве.
Поиск минимума функций Q(x) осуществляют по рекуррентной формуле
> + ! = ;/> + Д ' ^ + Х^р, р = 1,2, — , |
(1.51) |
где хр — значение оптимизируемого параметра на р~й итерации; §р — направление, ведущее к уменьшению функции Q (x); Хр — длина шага оптимизации вдоль направления s*.
Методы определения минимального значения функции Q{x) принято классифицировать по способу вычисления направления поиска оптимального решения sЛ
Методы, в которых для определения направления поиска ре
шения s* используют градиент функции Q(x) |
в точке хр |
||
х0 |
\dQ i'x) |
dQ(x) |
9Q(X) 1 |
AQ' W |
- l - d z r |
’ |
|
принято называть методами принятия оптимальных решений пер вого порядка.
Методы, в которых для определения направления поиска ре шения SP применяют вторые производные от функции Q(Jc) в точ ке хр (гессиан функции Q(x))
a2Q U ) | dxt dxj I
называют методами принятия оптимальных решений второго по рядка.
Методы, в которых используют информацию о значениях функ ций Q(x) для определения поиска решения §р, называют метода ми прямого поиска, или методами нулевого порядка.
Обзор методов численного решения данного класса задач опи сан достаточно подробно [10, 11, 76, 82], поэтому остановимся только на качественных характеристиках методов, обладающих ускоренной сходимостью в точке локального минимума.
Методы нулевого порядка целесообразно применять в тех слу чаях, когда вычисления производных от функции Q(ic) связаны с большими вычислительными затратами или трудностями. В этом случае поиск минимума критериальной функции сводится к по
очередному изменению каждой переменной: |
|
|
|||
* ? +1 = |
# + X f / „ |
2 = 1 , 2 |
, . - . , л, |
(1.52) |
|
где I — я-мерный вектор с компонентами |
|
|
|||
11, |
если |
2 = у, |
|
|
|
1 0, |
если |
i Ф ] , |
j = 1,2, •••, п, |
|
|
определяющий направление поиска вдоль т-й координатной оси; Xf — длина шага оптимизации, минимизирующая функцию Q(x) вдоль направления U, на р-й итерации. В разработанном пакете
программ используют методы вращающихся координат и конфи гураций.
Метод вращающихся координат базируется на идее X. Розенброка, где процесс поиска оптимального решения разбит условно на три этапа.
1. Определяют значения начального приращения (шага) по каждой из независимых переменных. Этот процесс начинается с
выбора произвольного одинакового для всех координат исходного шага и заканчивается после того, как по каждой координате сде лан хотя бы один успешный шаг, приведший к уменьшению зна чения функции Q(x). Исходный шаг должен быть соизмерен со значениями оптимизируемых переменных.
2.После нахождения начального шага производят одномерную оптимизацию по каждой переменной. Завершают этап в том слу чае, когда по каждой координате сделан неуспешный шаг, при ведший к возрастанию критериальной функции.
3.Осуществляют преобразование координат (поворот осей ко ординат) таким образом, чтобы в новой системе координат одна
из осей совпала с направлением вектора, совмещающего началь ную точку и координату, по которой сделан неуспешный шаг. В дальнейшем координаты начальной точки определяют координа тами точки последнего поворота осей координат. Остальные оси координат взаимно перпендикулярны первой.
Поиск оптимального решения прекращают по двум признакам: а) значение шага достигло определенного, наперед заданного ми нимального значения:
Цхр+1—х *1К е;
б) число вычислений значения критериальной функции достигло максимального значения.
Начинается процесс поиска методом конфигураций из началь ного приближения х°, которое принимают за точку хр. В качестве шага оптимизации задают вектор приращений Дх с компонентами Дх,-, i = l , 2......... п, которые определяют первоначальное изменение каждой координаты х,-. Согласно формуле (1.52) осуществляют «пробные движения» путем пересмотра удачных (в смысле умень шения функции Q(x)) направлений U, для t = l , 2, . . . , п, начиная с i = 1. После пересмотра всех п координат получают точку х?, в которой значение функции Q(XP) меньше или равно значению функции в базовой точке.
На следующем этапе выбирают новую пробную точку по фор муле х = 2 хр—хр- Это удваивает значение шага, если направление совпадает с направлением минимума критериальной функции. В противном случае значение шага уменьшается в R раз и поиск про должают. Условием окончания итерационного процесса являются значение шага оптимизации и точность вычислений.
Методы первого порядка принятия оптимальных решении под твердили эффективность при оптимизации гладких неовражных функций, не имеющих линейных ограничений. Наиболее распрост раненным методом первого порядка является метод наискорейше го спуска, который основан на определении в каждой пробной точке вектора частных производных для получения антиградиента минимизируемой функции, определяющего направление поиска решения, т. е.
$p =V *Q (x*).
35
При этом производят нормировку вектора частных производных по норме градиента ||VQ(X P)||. Длина начального шага должна быть соизмерима со значением переменной (если переменные не нормируются). В случае неудачного итерационного шага значение длины шага оптимизации уменьшается в R раз, где R — коэффи
циент редукции.
Условия окончания итерационного процесса: значение длины шага оптимизации меньше наперед заданной; количество вычис лений критериальной функции достигло определенного значения; разность между значениями функции на предыдущем шаге опти мизации меньше заданной точности вычислений значения крите риальной функции.
Модификация градиентного метода позволяет производить вы числение градиента критериальной функции не в каждой пробной точке, а только в случае неудачного шага. Она эффективна при поиске экстремальных значений гладких критериальных функций. Кроме того, модифицированный метод целесообразно использовать для поиска оптимальных решений в случае, когда начальная точка находится на значительном расстоянии от локальной области. Ус ловия окончания поиска аналогичны условиям метода наискорей шего спуска.
В большинстве случаев критериальные функции, используемые при решении задач принятия решения, являются многоэкстремаль ными, многопараметрическими, овражными и т. п. Поэтому опи санные методы оптимизации — не всегда эффективное средство для поиска требуемого решения. Иногда целесообразно использо вать комбинацию нескольких методов для получения качествен ного решения. Существующие методы принятия оптимальных ре шений, основанные на комбинации методов детерминированной оп тимизации, не полностью удовлетворяют МЭА, так как они не учитывают стохастический характер функциональных параметров-
Разработан метод принятия оптимальных решении, основанный на комбинации стохастического и детерминированных методов, ко торый позволяет определить глобальный экстремум критериальной функции в заданной области поиска решений (области работоспо собности) с учетом случайного характера параметров элементов [39].
Процесс поиска оптимального решения состоит из трех взаимо связанных этапов. На первом методом стохастической оптимиза ции определяют область работоспособности и точки, подозревае мые на локальный экстремум.
Метод стохастической оптимизации основан на одной из мо дификаций метода Монте-Карло, которая позволяет за один ите
рационный шаг определить значение выхода годных |
(плотность |
успешных испытаний) и направление его возр.адтонця |
(градиент) |
[ 3 ] . Т. е. |
|
3?
^ ' • Р = 0" 1 7 7 |
£ 9 ( * i ) (xt — Лц), |
(1.53) |
iV |
i=i |
|
где P — выход годных (плотность успешных испытаний); N — количество испытаний; х„ — математическое ожидание функцио нального параметра; 0-1 — матрица, обратная дисперсионной; V.Y,,/3 — градиент возрастания функции выхода годных;
если Условия работоспособности выполняются;
(О, если условия работоспособности не выполняются.
На данном этапе метод стохастической оптимизации дополнен алгоритмом случайного поиска с последующим сужением области поиска глобального экстремума. Максимум функции выхода год ных (плотности успешных испытаний) ищут по рекуррентной фор
муле |
(1.54) |
xP+l =xP+<j)PVpp. |
В этом случае, если Рр ^<с Рр, шаг оптимизации уменьшается: о)р =
— ыР-а, где O ^ a s ^ l — рекуррентный множитель.
Для ускорения процесса поиска оптимального решения на вто ром этапе используют методы первого порядка — модифицирован ный иаискорейшего спуска и градиентный повышенной устойчи вости. Однако градиентные методы обычно имеют большую по грешность в случае, когда функции ограничений линейны и зада ны в виде равенств. Поэтому на втором этапе применяют комп лекс процедур оптимизации, позволяющий осуществить выбор ме тода поиска оптимального решения в зависимости от типа (вида) критериальной функции и систем ограничений.
На третьем этапе поиск требуемого решения осуществляют ме тодами нулевого порядка, поскольку они менее чувствительны к рельефу критериальной функции — гребням, оврагам, барьерам и т. д. Использование разработанного комбинированного алгорит ма оптимизации позволяет применять поиск качественного опти мального решения при допустимых временных затратах.
Приведем исходную информацию, необходимую для принятия оптимального решения: 1) явное или неявное описание критери альной функции; 2) описание области поиска решения в виде си стем ограничивающих функций; 3) диапазон изменения номиналь ных значений параметров; 4) статистические законы распределе ния параметров и их начальные значения.
Необходимо отметить, что в этом случае решение задач нели нейного программирования сводится к задаче минимизации функ ций многих переменных без ограничений путем использования ме тода штрафных функций.
В случае противоречивых критериальных функций для иссле дования возможных компромиссов используют методы многокри
териальной (векторной) оптимизации, т. е. когда |
критерий q(x) |
является не скаляром, а вектором |
|
Ч(х) = { ? i ( 4 '">Ят (* )} |
(1.55) |
37
и задача состоит в одновременной минимизации всех т критериев
qt (х) -*■ min, i = 1,2, •••, т, |
(1.56) |
где Rx — множество допустимых решений; qi{x) — частный кри терий оптимальности.
Задачи в форме (1.56) не относятся к стандартным задачам математического программирования, так как они связаны с бес конечным числом ограничений. Поэтому поиск решения многокри териальной задачи осуществляют в области компромиссов, обра зованной множеством Парето, используя некоторую дополнитель ную информацию, с помощью которой многокритериальную зада чу сводят к стандартной математического программирования:
(1.57)
где Q(x) — скалярная функция, минимум которой является реше нием исходной задачи; ш —свертка функции qt(x), i = 1, . . . , т, использующая необходимую информацию. Различные методы ре шения многокритериальной оптимизации отличаются в основном методами свертки исходных критериев в один глобальный крите рий Q(x). Все существующие методы свертки можно подразделить на три класса: априорные, апостериорные и адаптивные.
|
Априорный метод связан с построением |
критериев (1.57) на |
||||
основе только априорных сведений об объекте проектирования. |
||||||
|
В этом случае глобальный критерий (1.57) представляют вы |
|||||
ражениями |
|
|
|
|
|
|
|
|
Q W - |
S |
* > ib (x ) |
или Q ( * ) = |
(1.58) |
|
|
|
|
|
|
(-1 |
где |
оэ» |
весовые |
коэффициенты, /= 1 , . . . , |
т. «Сворачивание» |
||
критериев можно производить в несколько другой форме: |
||||||
|
|
|
|
Я Й = р [ д ( х ) - д * ], |
(1.59) |
|
где |
р(-) |
некоторая |
функция |
расстояния; |
а* — вектор мини |
|
мальных значений критериев |
|
|
||||
|
|
|
|
? * = { ? ; . •••.»;>• |
(1.60) |
|
где |
|
q', = |
m ln q (x ), |
(i = l, |
|
|
|
|
|
|
xtR |
|
|
|
В этом случае решение однозначно определяется заданием |
|||||
весовой функции р (-). Например, |
|
|||||
|
|
|
|
£ |
М * ) |
(1.61) |
|
|
|
|
(-1 |
|
|
зв
Априорный метод решения задач многокритериальной оптими зации используют в том случае, когда объем априорной информа ции достаточно велик с тем, чтобы однозначно выбрать способ «свертывания» всех критериев в один.
Таким образом, выбор метода принятия оптимального решения определяется: видом анализируемой математической модели (ли нейная, нелинейная), на основании которой формируются функции критериев и ограничений; размерностью массива оптимизируемых параметров и их типом (детерминированные, или статистические); уровнем формализации задачи оптимизации (многокритериаль ные, однокритериальные); сложностью вычисления градиентов; объемом памяти и быстродействием вычислительных средств и т. д. Поэтому в каждом конкретном случае следует проводить соответ ствующие теоретические и практические исследования как моде ли объекта, так и метода принятия решения для получения наибо лее качественного результата.
1.6. ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНЫХ КОНСТРУКТИВНО ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ НА ОБЪЕКТАХ ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
Анализируя проблему повышения эффективности и улучшения качества решения задач анализа и принятия конструк тивно-технологических решений на объектах иерархической струк туры, можно выделить два важных взаимосвязанных направления научных исследований.
1.Разработка методов моделирования и анализа конструктив но-технологических решений объекта проектирования и процесса производства на соответствующих этапах решения комплекса за дач автоматизации ТПП опытных образцов ИМС.
2.Формализация задачи и разработка методов принятия оп тимальных конструктивно-технологических решений на соответст вующих уровнях иерархической структуры решения основной за
дачи.
Структура процесса моделирования конструктивно-технологи ческих решений представлена в виде стратифицированного описа ния (см. рис. 1.3), которое является основой для формализации и решения задач второго направления исследований, а именно, при нятия требуемых конструктивно-технологических решений.
Как известно, системное обоснование принятия оптимальных конструктивно-технологических решений предусматривает форми рование необходимого множества целей принятия решений, отра жающих разнообразные стороны объекта проектирования и про цесса производства через функциональные, физические и конструк тивно-технологические параметры.
Множество целей можно качественно представить в виде со вокупности локальных целей принятия решений на соответствую щих уровнях системы принятия решений.
з»
1.Принятие оптимального функционального и конструктивного решения ИМС для обеспечения теплоэлектрической совместимости (влияния) элементов и компонентов.
2.Обеспечение функционально-технологической воспроизводи мости путем оптимального назначения допусков на функциональ ные параметры элементов и компонентов ИМС.
3.Параметрическая оптимизация базового технологического
процесса для обеспечения устойчивого выхода годных проектируе мой ИМС.
4. Принятие решения по техно логической адаптации конструкции ИМС путем модельной диагностики дефектов базового технологического процесса.
Реализация указанной совокуп ности целей принятия решений со ставляет основной предмет научных исследований нашей работы.
Почти в любой реальной ситуа ции принятия решения существуют две предельно простые, но чрезвы чайно важные особенности [75]. Когда приходит время принимать решение, принятие и выполнение его нельзя откладывать, однако неяс
Рис. 1.9. Многослойная схема си ность относительно последствий раз стемы принятия решений. личных альтернативных действий и отсутствие достаточных знаний о имеющихся связях препятствуют достижению достаточно полного
формализованного описания ситуации, необходимого для рацио нального выбора действий.
Эти два фактора приводят к основной дилемме принятия ре шения: с одной стороны, необходимо действовать немедленно, с другой — столь же необходимо, прежде чем приступать к дейст виям, попытаться лучше понять ситуацию. Решение этой дилем мы — в иерархическом подходе. Устанавливают семейство проб лем, которые пытаются разрешить последовательно в том смысле, что решение любой проблемы (цели) из этой последовательности определяет и фиксирует какие-то параметры в следующей проб леме, так что последняя становится полностью определенной и ре шаемой. Поскольку проблемы (цели) принятия решения опреде лены, то иерархию принятия решения можно представить в виде многослойной системы (рис. 1.9).
Каждый блок представляет собой принимающий решение эле мент. Таким образом, сложная проблема принятия оптимального конструктивно-технологического решения в процессе автоматиза ции ТПП опытных образцов ИМС разбивается на семейство по следовательно расположенных более простых подпроблем так, что решение всех подпроблем позволяет решить и исходную проблему.
'40