книги / Модели и методы обеспечения функциональной и технологической воспроизводимости интегральных микросхем

раметра могут быть разделены, т. е. выражение (2.42) представ­ ляется в виде

Кроме того, предполагается, что случайная составляющая опре­ деляется некоторой определенной плотностью вероятности f(E), которая предполагается неизменной. Для анализируемого класса объектов и процессов в качестве такой плотности рассмотрим нор­ мальный закон распределения.

Таким образом, для многомерного случая, когда

(2.44)

плотность распределения имеет вид

kl} = kii = М [(е, - от,) (еу - оту)].

Все числовые характеристики (математическое ожидание, диспер­ сия и коэффициенты корреляции) плотности распределения f ( E )

предполагаются известными.

Наличие корреляционных связей затрудняет решение задачи идентификации. В этом случае целесообразно использовать мето­ ды, позволяющие решать задачи в «некоррелированном» простран­ стве. Поэтому в дальнейшем задачу рассматриваем без коррели­ рованной составляющей, что позволит анализировать модель в

где F (•) — известная функция двух векторных аргументов; А — вектор идентифицируемых параметров.

Для определения параметров А сведем задачу к оптимизацион­ ной, функция невязки при этом определяется как

В этом случае параметры А следует оценивать таким образом, чтобы невязки (2.46) были минимальны по модулю

Поскольку в задаче (2.47) используется совокупность функций невязок, то она является многокритериальной, и ее возможно ре­

61

шить посредством свертывания критериев. (Некоторые методы свертки приведены в параграфе 1.5.) Для наглядности приведем несколько видов свернутого критерия невязки:

лг

1 ) Q, (И) = £ |qt {A) |— модульный критерий;

J- I

N

2)Q2 (Л) = q] (Л) — квадратичный критерий;

N

3)ф з ( Л ) = £ \QI (A)\P — показательный критерий;

Необходимо отметить, что последний критерий <?5(Л) обобщает все предыдущие значения при соответствующих значениях р и /. Выбор критерия зависит от вероятностных свойств случайной ве­ личины Е. Для случая нормального распределения наибольшую точность решения задачи дает использование квадратичного кри­ терия невязки. В этом случае решают задачу вида

Если функция ф(Л) имеет непрерывную производную, то за­ дачу можно решить прямым дифференцированием.

Рассмотрим решение задачи (2.48) для идентификации пара­ метров линейной модели. Рассматриваемый объект отличается от объекта (2.33) наличием вектора случайных параметров, т. е.

Модель в этом случае аналогична (2.23):

г = л * + л х .

Так как по условию случайная величина некоррелирована с входными параметрами, то выходную характеристику модели за­ писываем в виде

J - о

Невязка (2.46) в этом случае приобретает вид

параметров. Для этого представим структуру объекта в виде (по результатам наблюдений)

где а* — искомое значение параметров объекта.

Подставим выражение (2.53) в (2.52), после преобразований

В выражение (2.54) подставим ошибку идентификации пара­ метров Дaj= cij—а* (/= 0 , 1, . . . . п), в результате имеем

У- 1 *“1

цируемых параметров совпадает с их точным значением только при одновременном выполнении двух условий:

М[ъ\ = 0 (7 = 0) и А Ц = 0 ( / = 1, ••• ,л),

т. е., когда среднее значение случайной составляющей равно нулю и величина е не связана корреляционной связью ни с одним из входных параметров.

Предположение о том, что случайная составляющая некоррелирована с входными параметрами, является допустимым на на­

63

чальных этапах исследования. Практически в реальных задачах эти величины коррелированы между собой.

Поэтому при решении задачи параметрической идентификации необходимо определить значения коэффициентов парной корреля­ ции Гех, (1=0, 1, . . . , п), по которым формируют корреляционную

матрицу Кехг Для получения корреляционных значений исполь­

зуют либо экспериментальный подход, либо метод статистических испытаний. Далее формируют уравнение (2.56), где в правую часть подставляют полученные значения коэффициентов корреля­ ции. Решая полученную систему, определяют значение ошибок оценки Дао, Да/,. . . . Дап. По результатам ошибок находят несме­ щенные оценки параметров модели:

а } = а } — Дау ( / = 0,1,-• *.« ).

где а, (/—0,1, . . . , п) — решение системы уравнений (2.52). Следует отметить, что н« один из рассмотренных методов иден­

тификации не является универсальным. Конкретный выбор кри­ терия адекватности объекта (процесса) и модели, проблемы точ­ ности и выбор алгоритма идентификации определяются особен­ ностями исследуемого объекта или процесса, степенью его изучен­ ности, условиями проведения эксперимента и т. п. Кроме того, не существует универсального метода решения задачи минимизации (оптимизации), поэтому в процессе решения задачи идентификации необходимо осуществить выбор наиболее эффективного алгоритма (метода) поиска оптимального решения.

2.4. ОФТМ КАК ОБЪЕКТ ДЛЯ ПРИНЯТИЯ КОНСТРУКТИВНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ РЕШЕНИИ

Как известно, содержанием автоматизации технологиче­ ской подготовки микроэлектронного изделия является выбор необ­ ходимого технического решения, удовлетворяющего требованиям функционально-технологической воспроизводимости. Основой для принятия требуемого технического решения служит разработанная объединенная физико-технологическая модель элементов ИМС. Иначе говоря, процесс автоматизированного обеспечения техноло­ гической воспроизводимости ИМС основан на использовании мо­ дели как средства анализа и специальных процедур выбора конст­ руктивно-технологических параметров путем автоматизированного поиска решения.

Поскольку решение задачи принятия оптимальных решений на объединенной модели сразу на всем пространстве оптимизируемых (варьируемых) параметров с учетом всех критериальных функций осуществить чрезвычайно трудно (почти нереально) как по объему информации, так и по вычислительной сложности, то ее разбивают на ряд самостоятельных оптимизационных задач, каждая из кото­ рых должна содержать локальные функции цели, множество варьи­ руемых параметров, область поиска решения, только ей свойствен-

64

определяют основные конструктивные, функциональные и техно­ логические параметры процесса производства и объекта проек­

операций, описывающих численные соотношения между множе­ ством входных параметров и множеством выходных функций (па­ раметров). Система выходных параметров при необходимости включает в себя частные целевые функции.

Анализируя системный подход к реализации задач принятия решения с точки зрения методов решения оптимизационных задач,

. следует выделить два характерных признака такого подхода: на­ личие совокупности локальных целевых функций (одно- и много­ критериальных) Q={Q <°, Q<2), Q(3), Q(4)}, которые в общем случае довольно трудно (а иногда и невозможно) привести к единому функциональному критерию, а также большую размерность и физическую неоднородность пространства поиска решения. Поэтому такие факторы, как неоднородность критериальных функций, раз­ личные условия поиска требуемого решения на ограничивающих поверхностях, а также неоднородность области поиска решений не позволяют организовать устойчивую процедуру принятия опти­ мальных решений без использования рациональных методов де­ композиции.

Вданном случае произведена декомпозиция общей системы принятия оптимальных решений на локальные уровни (А, В, С, D)

сучетом однородности критериев оптимальности и однородности областей поиска требуемого решения (рис. 2.4). Для этого осуще­ ствлена рациональная декомпозиция обобщенного критерия опти­ мальности на локальные целевые функции по соответствующим уровням принятия решения.

Вкачестве обобщенного критерия оптимальности выбран кри­ терий обеспечения устойчивого выхода годных ИМС.

которые определяют целевое назначение принятия решения на со­ ответствующих t-x уровнях иерархии.

G6

В результате декомпозиции обобщенного критерия оптималь­ ности (2.57) на локальном уровне принятия решения А целевая функция в общем случае описывается выражением

минимальное, значение которой обеспечивает функционально-тех­ нологическую воспроизводимость ИМС на элементном уровне тех­ нологической реализации. В выражении (2.59) © = (©ь . . , ©п) — вектор весовых коэффициентов; С(У(3), бУ<3)) — частная крите­ риальная функция, используемая при решении задачи назначении допусков на функциональные параметры ИМС (У<3>, 6У<3) — па­ раметры элементов схемы и их допуски); Р(бУ(3>, бУ^4)) — частный критерий обеспечения воспроизводимого выхода годных на эле­ ментном уровне технологической реализации.

Локальной целевой функцией на уровне В (рис. 2.4) является функция вида

экстремальное значение которой обеспечивает теплоэлектрическую совместимость элементов и компонентов как на поверхности под­ ложки, так и в объеме полупроводниковой структуры. Здесь © = = (© 1..........©я) — вектор весовых коэффициентов; ГДУ*1), Ус3)) — значение температурного поля i-й координаты в зависимости от месторасположения элементов и компонентов, i = l , 2, . . . . л; бУ^3 — температурные допуски элементов; Г,-„ — требуемое значе­

ние температурного поля.

На уровне С декомпозированная локальная целевая функция

где /(У (3\ УЮ) — функция связи функциональных параметров эле­ ментов и параметров технологического процесса; (У<3>, У<*)) — мно­ жество функциональных и технологических параметров; С(У(*), 6У<4)) — частная критериальная функция для решения задачи назначения допусков на параметры технологического процесса; ()'W, бУ<4>) — множества технологических параметров и их допус­ ков; ^ (У ^ , 6У<4)) — частный критерий оптимальности обеспече­ ния выхода годных на этапе технологической реализации. Приме­ нение функции (2.61) в качестве критерия оптимальности обеспе­ чивает оптимальную технологическую воспроизводимость ИМС на элементном уровне реализации.

Критерий обеспечения устойчивой технологической адаптации ИМС к базовому технологическому процессу характеризует ло­ кальный уровень принятия решения D. Данный критерий описы­

67

где f{YM, У(5)) — функция связи параметров технологического процесса с выходными параметрами схемы (У<4> — множество тех­ нологических параметров, Y& — множество выходных параметров схемы); ^(УЧ5), У<4>) —-функция классификации при воздействии

решения (У}5) — множество текущих значений параметров, У*.5р) —

множество требуемых значений параметров).

При решении задачи декомпозиции обобщенного критерия оп­ тимальности учитывают также то обстоятельство, что количествен­ ное и качественное содержание локальной целевой функции опре­ деляет локальная (базовая) составляющая объединенной модели (см. рис. 2.3), на которой принимают оптимальное решение. Так, решая задачу принятия решения по обеспечению теплоэлектриче­ ской совместимости элементов и компонентов ИМС (уровень В ), за базовую принимают теплоэлектрическуга модель микросхемы, а модели элементов и конструкций являются в этом случае вспо­ могательными. Поэтому локальная целевая функция определяется основными выходными характеристиками температурного поля, а варьируемые параметры — параметрами конструкции микросхе­ мы (размеры элементов, координаты месторасположения и т. д.).

Полученные локальные целевые функции можно использовать как для: решения многокритериальных, так и однокритериальных оптимизационных задач путем декомпозиции целевой функции на частные критерии оптимальности. Это определяется конкретной формализацией задачи принятия решения, ее размерностью, мето­ дами поиска решения, поскольку, в свою очередь, оптимизацион­ ные задачи на локальных уровнях принятия решения могут быть декомпозированы на более простые экстремальные задачи, что позволяет с меньшими вычислительными затратами получить бо­ лее качественное решение.

Например, задачу обеспечения функционально-технологической воспроизводимости ИМС, которую решают на уровне А, декомпо­ зируют на ряд самостоятельных оптимизационных подзадач (рис. 2.5): оптимальной селекции функциональных параметров; назначения допусков на функциональные параметры схемы; оп­ тимизации функциональных параметров элементов и их допусков. Естественно, что при решении задач такого класса определяют одноили многокритериальные целевые функции, формируют ло­ кальные области поиска решения, подбирают либо разрабатывают эффективные математические методы поиска решения. Следует отметить то обстоятельство, что задача назначения допусков на параметры технологического процесса вообще перенесена на уро­ вень С (хотя такая декомпозиция является спорной). Правда, та­ кой перенос можно объяснить тем, что предыдущие уровни (уро­ вень А и В ) формируют требуемую область поиска оптимальных решений на уровне С. Это позволяет утверждать, что при таком подходе к реализации общей задачи принятия решения возможно

66