книги / Модели и методы обеспечения функциональной и технологической воспроизводимости интегральных микросхем

Г Л A B A 3

ОБЕСПЕЧЕНИЕ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ВОСПРОИЗВОДИМОСТИ ИМС ПУТЕМ НАЗНАЧЕНИЯ ДОПУСКОВ НА ПАРАМЕТРЫ ЭЛЕМЕНТОВ

3.1.НАЗНАЧЕНИЕ ДОПУСКОВ —

ЗАДАЧА ПРИНЯТИЯ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

При проектировании ИМС для массового производства важно иметь информацию о виде и размерах областей погрешно­ стей и разброса параметров, характере и методах расчета вероят­ ностных зависимостей, значениях и методах определения точност­ ных характеристик входных и выходных параметров функциони­ рования. В условиях САПР ИМС этот класс задач интерпретиру­ ется в последовательность задач принятия оптимального статисти­ ческого решения. Используя процедуры принятия статистических решений для последовательного поиска экстремальных значений функций, определенных в многомерной области с учетом харак­ теристик распределения параметров, можно решать задачи ста­ тистического анализа и статистической оптимизации, назначения допусков, минимизации ухода параметров функционирования от его номинального значения и т. д.

В процессе проектирования ИМС допуски функциональных па­ раметров (сопротивления, емкости и т. д.) элементов обеспечивают нормальное функционирование разрабатываемой схемы согласно условиям технического задания; требуемый выход годных как на этапах проектирования, так и в процессе технологической реали­ зации; минимальную стоимость проектирования и производства элементов и микросхем; технологическую воспроизводимость ИМС от образца к образцу и от партии к партии. Кроме того, допуски параметров дают возможность связать между собой схемотехни­ ческие и конструктивные параметры с параметрами технологичекого процесса производства разрабатываемого изделия, что очень важно для процесса проектирования микроэлектронных устройств.

Известно, что задача назначения или выбора допусков обратна задаче анализа и математически сводится к решению системы не­ линейных уравнений, для которой количество неизвестных значи­ тельно превышает число уравнений. Поэтому одним из методов решения задач назначения допусков являются методы математи­ ческого программирования, которые служат математическим ап­ паратом для решения широкого класса задач принятия оптималь-

71

ного решения. Качественно такой вывод можно обосновать на основании следующих рассуждений.

Для обеспечения нормального (гарантированного) функциони­ рования ИМС допуски на параметры элементов следует назначать жесткими. Вместе с тем для обеспечения максимального поэле­ ментного в,ыхода годных и минимальной стоимости проектирова­ ния и производства микросхем' следует назначать широкими поля допусков параметров. Очевидно, в этом случае только некоторое компромиссное решение задачи удовлетворит предъявленным тре­ бованиям к значениям допусков. Математически поиск компро­ миссного решения сводится к решению ряда оптимизационных за­ дач. Поэтому в дальнейшем задачу назначения допусков на пара­ метры элементов ИС рассматриваем и трактуем как задачу при­ нятия оптимального решения.

Если связь между характеристиками схемы и допусками ма­ тематически описывается совокупностью линейных выражений, то задача назначения допусков формализуется как задача линейного программирования. В случае, когда она описана нелинейными или аппроксимируется кусочно-линейными зависимостями, такой класс задач формализуют как задачи нелинейного, или сепарабельного, программирования. Многие задачи назначения допусков являются одной из модификаций метода статистических испытаний. МонтеКарло.

Для решения задачи назначения допусков на параметры эле­ ментов ИМС. необходима такая исходная информация: математи­ ческая модель электронной схемы; топологические характеристики ИМС; корреляционная матрица для параметров элементов; пре­ дельные характеристики выходных параметров ИМС согласно ус­ ловиям ТЗ; статистические характеристики распределения пара­ метров элементов (или законы распределения); требуемое значе­ ние устойчивого выхода годных. При этих условиях процесс ре­ шения задачи назначений допусков включает в себя следующие этапы. 1. Формализация задачи назначения допусков: а) построе­ ние критерия оптимальности; б) определение функции ограниче­ ния или области поиска требуемого решения. 2. Построение ал­ горитма решения задачи назначения допусков. 3. Разработка или

начинается с выбора критерия оптимальности (функции критерия, функции цели, функции качества и т. д,), гарантирующего улуч-.

72

шение характеристик или ряда характеристик ИМС в процессе поиска оптимального решения. Казалось бы, здесь не следует ожи­ дать трудностей, так как количественное выражение качества проектируемого объекта уже имеется — это вектор выходных па­ раметров F = f( x ) , где х = { х и . . . , л'п} — вектор оптимизируемых параметров. Однако критериальные функции необходимо строить на множестве выходных характеристик ИМС, чтобы в конечном итоге получить их наилучшие значения, а это вызывает определен­ ные трудности, связанные со способом задания критериев опти­ мальности.

Например, при решении задачи, обеспечивающей максималь­ ную близость полученной характеристики к требуемой, критери­ альная функция строится в виде суммы квадратов отклонений от требуемых значений, т. е.

При этом минимальным будет значение, равное нулю, что со­ ответствует ситуации, когда обе характеристики совпадают в ча­ стотных точках. Следовательно, чтобы реализовать действительно оптимальное по своим характеристикам устройство, необходимо знать потенциально достижим.ые его характеристики. Для этого нужно исследовать потенциальные возможности схемы, что прак­ тически можно сделать лишь при оптимизации. Таким образом, для выбора критерия оптимальности надо решить задачу опти­ мизации, и наоборот. Следовательно, критериальные функции не­ обходимо строить так, чтобы они не зависели от потенциально возможных характеристик ИМС.

Первый этап решения этой задачи — выбор множества частных критериев, достаточно полно характеризующих устройство. В ка­ честве таких критериев выбирают важнейшие выходные характери­ стики и свойства устройства, чтобы можно было оценить степень достижения поставленной цели, и наиболее важные параметры эле­ ментов и схемы. Частные критерии позволяют ранжировать ва­ рианты структур устройства на множество подчиненных решений, т. е. когда критерии не противоречивы, в противном случае возни­ кает конфликтная ситуация и ставится задача получения компро­ миссного. решения. Тогда целесообразно перейти к построению комплексного или обобщенного критерия оптимальности, а задача оптимизации интерпретируется в многокритериальную задачу оп­

73

где F = { f i, f 2, . . . . fm} — множество свойств изделия; x = {xi, . . . .

.vm} — множество функциональных параметров элементов; ~Ь= {бь Й2, . . . . бт} — множество допусков параметров элементов. В об­ щем случае система (3.2) описывает схемотехнические и конструк­ тивно-технологические характеристики разрабатываемого изделия.

Эффективность функционирования ИМС от решения задачи

где Р — вероятность нахождения свойств устройства в области ра­ ботоспособности; F~, F + — предельные значения свойств.

Цель рассматриваемого этапа проектирования — выбор систе­ мы допусков на функциональные параметры элементов. Поэтому каждое из свойств устройства можно реализовать только на мно­ жествах параметров элементов, допусков и отношений между ними. При этом конкретные подмножества параметров элементов, допусков и отношений, необходимых для реализации всех задан­ ных свойств, определяют «стоимость» разрабатываемого устройст­ ва в целом, т. е.

Таким образом, проблема назначения допусков на параметры заключается в удовлетворении выражений (3.3) — (3.4).

При корректно выбранных ограничениях критерием оценки возможных решений задачи назначения допусков является обоб­ щенный критерий эффективность—стоимость

где extr — оператор оптимизации, определяющий принцип приня­ тия оптимального решения; q [•] — оператор, определяющий кон­ кретный вид критерия.

Из выражения (3.5) следует, что таким обобщенным критерием может служить выражение

где С и Э — обобщенные оценки эффективности и стоимости схемы.

где Со(бх) — общая стоимость ИМС; сЦблч) — стоимость i-ro элемента.

74

Для достижения необходимого эффекта функция (3.7) должна обладать следующими свойствами:

Таким образом, значение стоимости изделия должно быть об­ ратно пропорционально..значению допусков. Поэтому правую часть

процесса производства на основании статистического материала. Для каждой группы типов элементов кривые (рис. 3.1) отличаются степенью крутизны, т. е. значением параметра р , который опреде­ ляется путем решения трансцендентного уравнения. Таким образом, качественная характеристика критерия (3.9) и его параметров определена.

Поскольку девиация параметров элементов ИМС обратно про­ порциональна их площади и поскольку стоимость ИМС пропорцио­ нальна этой площади, выражение (3.9) дает грубую оценку стои­ мости схемы.

Как показали статистические исследования, постоянные пара­ метры А, В, р в выражении (3.9) в пределах группы однотипных элементов для отработанной технологии одинаковы, а для разных

Следовательно, выражение (3.10) является базовым для по­ строения критериальной функции стоимости. Представим некото­ рые модификации критериальной функции (3.10) с учетом реаль­ ной постановки задачи назначения допусков.

75

Во многих задачах обычно известна суммарная общая стои­ мость проектируемой микросхемы или же указывается заданная величина абсолютной или относительной стоимости, значение ко­ торых не рекомендуется превышать, т. е. приводится нормативное значение максимальной стоимости. В этом случае целесообразно использовать критерий вида

V С,(*х0

где Сотн(б^) =Со(б"х)/Стах — общая относительная стоимость мик­ росхемы; Стах — максимальная стоимость микросхемы (заданная величина); о> — положительный весовой коэффициент, который принимает значения

Очевидно, численное значение критерия (3.11) всегда будет ограничиваться значением максимальной стоимости, т. е. в самой критериальной функции заложен эффект ограничительной оцен­ ки, что является важным при поиске оптимального решения.

Обозначим через Ct стоимость проектирования и производства одной схейы. Допустим, что изготовлено в общем N ИМС, т из которых являются годными, т. е. условия функционирования вы­ полняются. Общая стоимость производства ИМС составляет зна­ чение NCi. Если допустить, что (N—т) бракованных микросхем выбрасывается, тогда относительная стоимость производства од­ ной нормально функционируемой микросхемы (годной) состав-

где Си — истинная единица относительной стоимости. Известно, что отношение m/N при больших выборках N определяет значение выхода годных, т. е. численное значение вероятности нормального функционирования схемы. Поэтому выражение (3.11) можно пред­ ставить в виде

76.

1де Y = m /N — значение выхода годных, определяемое отношением mjN. Стоимость производства ИМС Ci состоит из двух видов сто­ имости. К первому виду относится стоимость тех элементов, пара­ метры которых чувствительны к изменению допусков; ко второ­ му — параметры которых не зависят от последних (стоимость труда и. т. п.). Обозначим стоимость, не чувствительную к допус­ кам, через С„. Таким образом, если t-й элемент, или компонент, имеет стоимость, определенную через с*(6*,), то выражение для полезной общей стоимости микросхемы запишется как

С „ + £ С,(8*,)

i —1

(3.14)

у Щ

Необходимо отметить, что выражение (3.14) отражает неко­ торую предварительную стоимость, т. е. выражение (3.14) можно количественно оценить только после производства микросхемы и, следовательно, это довольно сложный критерий. Устранить эту ситуацию можно путем пересмотра значения и понятия выхода годных .В выражении (3.14) использовано понятие прогнозируемо­ го выхода годных на элементном уровне технологической реализа­ ции, т. е. вероятность выхода годных ИМС при контроле на функ­ ционирование:

где РПр — прогнозируемая вероятность того, что значение пара­ метра элемента попадает в границу допусков; _х= {хи . . . ,хп} — вектор функциональных параметров элементов; хн= { х Ы|.........хПп} —

Еектор номинальных значений параметров.

Известно, что вероятность выхода годных (3.15) является п-

ХГ ХП

где * - = (хн<|—6х«), х+ = (Xnn-f6*n) — предельные значения пара­ метров элементов; f {хи . . . , хп) — функция плотности вероятности распределения параметров.

Таким образом, применение обобщенного критерия оптималь­ ности «полезной общей стоимости» (3.14) в задаче назначения до­ пусков дает возможность получить минимальное значение относи­ тельной стоимости при максимальном (или требуемом) уровне выхода годных. Следовательно, нам удалось соединить дваваж­ ных частных критерия в один обобщенный критерий оптимально­ сти согласно выражению (3.6).

77

Для решения задач многокритериального типа критерий оп­ тимальности (3.14) целесообразно представить в аддитивной фор­ ме, а именно:

где <Di, соj — весовые коэффициенты; yj — относительная стоимость элемента в случае брака.

где Q(C, У) — обобщенный критерий оптимальности; X — мно­ житель Лагранжа.

То есть, используя критерий (3.18) в задаче назначения до­ пусков, имеется возможность применить классический метод мно­ жителей Лагранжа для получения требуемого результата.

Указанные критерии построены таким образом, что расширение поля допусков приводит к увеличению выхода годных на этапе элементной реализации.

Эффективность использования этих критериев в процессе поис­ ка оптимальных значений допусков определяется в основном мето­ дами расчета значения выхода годных и их градиентов. Расчет значения выхода годных рассмотрим в последующих разделах.

3.2.2.Формирование областей принятия решений

Прежде чем перейти к рассмотрению конкретных функ­ ций ограничении, совокупность которых образует области поиска решений, целесообразно проанализировать общий случай — пост­ роение области компромиссов в задачах векторной оптимизации.

В отличие от задач скалярной оптимизации, имеющих один принцип оптимальности q {x *)^ tq {x ) — в случае максимизации функции и q ( x * ) ^ q ( x ) — в случае минимизации критериальной функции, в задачах векторной оптимизации имеются противоречия между частными критериями, которые обычно являются нестро­

противоречие хотя бы с одним из критериев. Здесь улучшение ка­ чества решений по одним критериям вызывает ухудшение качест­ ва других, и вектор любого решения основам на компромиссе. Сле­ довательно, область возможных решений состоит из двух непересекающихся подобластей

Оптимальное решение должно принадлежать области компро­ миссов, и только этой областью надо ограничивать область поиска. Поиск оптимального решения осуществляется посредством выра­

78

ботанной стратегии поиска компромисса, так как неодинаковые варианты компромисса обычно приводят к различным оптималь­ ным решениям.

При решении задач оптимизации по частным критериям важным является получение области возможных или области гарантиро­ ванных оптимальных решений. Для этого необходимо определить систему функций ограничений, пересечение которых в я-мериом пространстве должно образовать необходимые области поиска оп­ тимального результата [91, 92, 115, 121].

С точки зрения физики процесса, происходящего в ИМС, це­ лесообразно определить функции ограничений, обеспечивающие качество функционирования, что является адекватным удовлетво­ рению требований технического задания. Следовательно, первый шаг — это определение системы ограничений, которая бы обеспе­ чивала требуемый выход годных. В этом случае задача обеспече­ ния требуемого выхода годных трансформируется в задачу опре­ деления необходимого компромисса между: а) выходом годных и изменением значений выходных характеристик; б) между изме­ нением значений выходных характеристик и изменением парамет­ ров элементов и компонентов; в) между параметрами элементов и значениями допусков.

Отношение между выходом годных и среднеквадратичным от­ клонением выходных характеристик. Выход годных ИМС можно записать как вероятность того, что их выходные характеристики лежат п области допустимых отклонений (согласно ТЗ), т. е.

значение выхода годных, ограничив число выходных характери­ стик (т— 1 ) выражением

F +

(3.21)

где /[/(■ *)] — функция плотности распределения. Предположим, что выходные характеристики распределены -по закону Гаусса, тогда /[F(x)| может быть нормализована. Из выражений (3.20) и (3.21) становится очевидным, что изменение значений выходных характеристик, а следовательно, и выхода годных, ограничивается среднеквадратичным отклонением выходного параметра.

Отношение между отклонением выходного параметра и откло­ нением значений параметров элементов и компонентов. Отношение между дисперсией выходного параметра a 7F и дисперсиями пара­

79

метров элементов схемы а* описывается известным уравнением точности:

где а*,- — среднеквадратичное отклонение параметров элементов; rij — выборочный коэффициент парной корреляции; S i = d F ( x )/ /dXi'XifF(x) — коэффициент влияния t-ro параметра элемента на значение выходной характеристики.

Отношение между среднеквадратичным отклонением парамет­ ров элементов и значением допусков. Известно, что ах-=р -бх, где р — постоянная, зависящая от типа распределения параметров

Если предположить, что параметр элемента может иметь экстре­ мальное значение, т. е.

Для обеспечения нормального функционирования необходимо, чтобы правая часть выражения (3.25) была меньше или, по край­ ней мере, равна левой части. Тогда с учетом того, что входные и выходные функциональные параметры схемы распределены по нормальному закону и предельные отклонения параметров эле­ ментов отсутствуют, запишем систему функций ограничений, обес­ печивающих нормальное функционирование в виде

О» (Sr) = i-l j -1 s j •Ь , ■ г„ > о. (3.26)

где бFk — половина поля допуска k-ro выходного параметра &==

=1 , . . . . т.

Вдальнейшем выражение (3.26) будет основным активным ограничением при решении задачи назначения допусков, так как его текущее значение определяет выход годных (с точки зрения

функционирования) и тем самым обеспечивает степень эффек­ тивности метода назначения допусков.